中学数学解题途径六法

摘 要：“良好的方法能使我们更好地发挥运用天赋的才能，而拙劣的方法可能阻碍才能的发挥。”数学习题类型繁多，技巧灵活，不可能总结出一套普遍适用的解题法则.一些结构简单的问题，通过精心的联想就能找到合 数学习题类型繁多，技巧灵活，不可能总结出一套普遍适用的解题法则.一些结构简单的问题，通过适当的联想就能找到合理的解题途径；而结构复杂，抽象多变的数学题，需要在联想的基础上，联合运用解题方法和技能技巧，才能逐步探求解题线索.本文以各种数学思维方法作指导，总结出六种中学数学解题的途径，供同仁们参考.

一、枚举寻径法

有些数学问题中包含着多种可能情形，难以用一个算式完成解答.这时可以根据问题的条件，把各种可能情况一一列举分别予以考查，从而完成原题的解答.这是完全归纳法在解题中的具体运用.在枚举各种可能情况时，要充分利用划分的思想，做到既不重复，又不遗漏.

例1.就k的不同取值，讨论方程x2+（k-1）y2-3ky+2k=0代表何种曲线.

思考方法：这是一道解析几何的讨论题，枚举k值的各种情况，就是对k值进行划分.为此应用二元二次方程的判别式ΔB2-4AC可以从定型和定位入手，对k进行二次划分.

略解：ΔB2-4AC=02-4×1×（k-1）=4（1-k）.

若Δ>0，即k

若Δ=0，即k=1时，方程代表抛物线形.此时方程为x2=3（y-■）即表示顶点在（0，■），对称轴为y轴，开口向上的一条抛物线；

若Δ1时，方程代表椭圆形.当1

二、特殊探索法

当一个问题无法入手时，我们不妨先考虑一下这个问题的特殊情况，当特殊情况得到解决的办法时，往往会对一般的解法有所启示，从而探明解题方法.特殊法是不完全归纳法在解题中的灵活运用.

例2.在ABC中，AB=AC，证明BC边上的任意一点P到其他两边的距离和是一个定值.

思考方法：定值多少不知道，而P又是BC上的任意一点是导致解题困难的原因.把点P取为一个特殊点B，试一试看.

证明：当点P就是B点时，它到两边距离之和就是AC边上的高BD.任取BC边上一点P，由点P分别向AC、AB作垂线，垂足分别是E、F，现在只需证PE+PF=DB即可.作PG//AC，交BD于点G，于是PE=GD，且∠FBP=∠C=∠CPB，从而RtPGB≌RtPFB，因而PF=BG，于是，PE+PF=BG+GD=BD.证毕.

三、逆推尝试法

有些数学问题，条件和结论之间的关系比较复杂，直接从已知条件入手有时会在途中迷失方向，使解题无法进行下去.在这种情况下，不妨按照下面的途径来逆推：（1）假设结论成立，看看可以推出什么性质；（2）想一想推出的性质和结论是不是互逆的，如果可逆，那么推出的性质可以作为结论的“需知”；（3）进而考查推出的性质和条件在逻辑上有什么必然的联系，从而使解题的方向逐步明确.逆推法是分析法在探索解题途径中的运用.

例3.在ABC中，若sinA，SinB，SinC成等差数列，求证：cot（■），cot（■），cot（■）也成等差数列.

思考方法：假设结论成立，即有cot（■）+cot（■）=2cot（■）……（1）而由条件可推得sinA+sinC=2sinB……（2），为证得结论成立，只需由（2）推出（1）.

证：由已知条件得，sinA+sinC=2sinB即2sin[■]cos[■]=

2sin（A+C）

由此得2sin[■]cos[■]=4sin[■]cos[■]，而sin[■]≠0.

得cos[■]=2cos[■]，移项得，cos[■]-cos[■]=cos[■]，即2sin（■）sin（■）=sin（■）（3），又cot（■）+cot（■）=

■+■=■=■=■=2cot（■），故命题得证.

四、变更问题法

数学是一个有机的整体，它的各部分之间相互联系，相互渗透，为问题的转化提供了有利的条件.有些数学问题使用通常方法难以奏效时，可以根据题设及其特点把问题转化为另一种易于求解的形式，从而寻求原题的解题途径.

例4.已知a■+b■=1，求a2+b2.

思考方法：用常规进行思考，将遇到困难.但观察已知等式可得，1-≤b≤1，且a、b中至少有一个为正数.于是不妨设a=sinα， 0≤a≤■，b=sinβ，-■≤β≤■.将问题转换为三角问题.

解：a=sinα，0≤α≤■，b=sinβ，-■≤β≤■.

由题设得sinα cosβ+cosα sinβ=1，即sin（α+β）=1

因为-■≤α+β≤π，所以α+β=■，α=■-β，

故a2+b2=sin2α+sin2β=sin2（■-β）+sin2β=cos2β+sin2β=1.

五、数形结合法

直角坐标平面和极坐标平面上的点与曲线，复平面上的点和向量，它们都与有序实数对或方程与之对应.这种对应奠定了数形结合的理论基础.“数离形时缺直觉，形缺数时难入微”.一般来说，与方程、函数、不等式、复数及三角有关的问题，运用“形”这个直观模型，常有变中求定，动中求静，化难为易之作用.

例5.解不等式4■

思考方法：如果采用纯代数方法解，将要分多种情况讨论，而且计算量大，采用数形结合，则能克服上述弊端.

解：令y1=4■，y2=2-■即求y1

的解集为[-2，■][■，2].

六、化简条件法

有些数学问题，结构比较复杂，不太容易入手。这时可以简化题中的某些已知条件，甚至暂时撇开不管，先开了一个简化命题.这种简化问题，对于解答原题，常常能起到穿针引线的作用.简化条件法是类比法在解题中的具体运用.

例6.设a，b，c均是非负实数，且a+b+c=1.又设x1，x2，x3均为正数，且y1=ax1+bx2+cx3，y2=bx1+cx2+ax3，y3=cx1+ax2+bx3

求证：y1y2y3≥x1x2x3.

思考方法：本题条件比较复杂，注意到x1，x2，x3；y1，y2，y3具有轮换对称的特点，我们可以把原题减少一个变量，考虑下面的简化命题：

设a，b是均非负实数，且a+b=1，又设x1x2均为正数，且y2=bx1+ax2.求证：y1y2≥x1x2.

简化后的命题比原命题要简单得多，显然有y1y2=（ax1+bx2）（bx1+

ax2）=ab（x21+x22）+（a2+b2）x1x2≥2abx1x2+（a2+b2）x1x2

=（a+b）2x1x2=x1x2

化简后的命题与原命题的结构完全一致，于是上述证明途径，可用以指导原题的证明.应用均值不等式、三数和的立方公式及不等式的性质不难证明原题。

化简命题法体现了解题中“进”与“退”的辩证思想，当“进”有困难时，不妨暂时退下来，退到容易看清楚问题的地方，看透了，认准了，然后再前进.

关于中学数学的解题途径，绝不止上述六种。教师在传授知识的同时特别在例题的教学中，要不时时机地渗透数学思想，总结解题方法和揭示解题途径.这样，对培养学生的逻辑思维，形成一定的数学能力有着极其重要的意义.

参考文献：

王仲春，李元中.数学思维与数学方法论.高等教育出版社，1989.

（作者单位 新疆维吾尔自治区霍城县第二中学）理的解题途径；而结构复杂的数学题一般需要联合运用多种解题方法和技巧，才能探求解题线索。以各种数学思维方法作指导，结合教学实践，总结出六种中学数学解题的途径，供数学爱好者参考。

关键词：解题途径；数学思维方法；枚举法；逆推尝试法；数形结合法；变更问题法