数学课堂拓展教学的“适度”策略

数学课堂拓展环节的教学，可以使数学学习内容由课内向纵深处或向课外延伸。可以是主体内容的辐射、铺垫和延续，也可以是某一知识点的综合、深化和提高。有效的教学拓展，能使趋于平静的课堂再起波澜，一方面使本课的教学内容得到升华和总结，另一方面为学生的后继学习埋下伏笔，做好铺垫，从而优化教学效果。许多教师深谙此理，非常重视课堂教学的拓展，使教学内容由易到难、由浅入深、由课内向课外相机渗透，既丰富课程内容资源，又为发展学生的数学思考服务。但是，教学的拓展是一门教学技术，也是一门教学艺术。现行课堂拓展环节的教学普遍存在着深度偏难、广度太泛、取舍偏失、选材失真等“失度”现象。因此，把握数学课堂拓展教学的“适度”，显得尤为重要。

一、合理把握“深与浅”——深度适“群”

既是拓展延伸，就一定有提高的要求，和基础题目比较，挑战性会更突出。因此，“深浅度”的把握是教师首先要考虑的。太“浅”，缺乏真正的数学味，不能体现数学学习的思考价值，如同“排排坐，分果果”，不是“跳一跳，摘果子”，失去了拓展的实际意义。太“深”，只适合于极少数的优秀学生，使得拓展延伸成为优秀学生的“专利”，后进生乃至成绩一般的学生，对拓展延伸望而却步。因此，“深度适群”是拓展教学有效的必要保证。“深度适群”的意义是指：“拓展延伸”需要的知识基础一定要适合绝大多数学生，至少可让绝大部分学生尝试解决。

1. 立足群体认知水平——适当提高。如同一位优秀的歌手找准每一节的音调一样，优秀教师在拓展环节也必定会找准全体学生的认知起点，充分考虑全体学生已有的生活知识经验与学生当前学习水平，让拓展的问题努力靠近维果茨基的“最近发展区”。设计的挑战题力争达到“趣”、“近”、“小”三个要求。“趣”就是符合学生的兴趣；“近”是要和本节课的知识紧密联系；“小”是指目标不是太高，跳一跳，能摘果。

例如，在教学长方形和正方形的面积计算这课内容，最后的拓展环节出示以下两个问题供学生思考：

（1）一块正方形的菜园，有一面靠墙，用长24米的篱笆围起来，这块菜地的面积是多少平方米？

（2）图中每个小方格表示1平方厘米，你能计算出下面长方形的面积吗？

在拓展延伸时，紧紧扣住长、宽、边长与长方形、正方形的面积、周长的关系，设计了多层次、多方位的问题。这些问题的解决都建立在利用面积公式的基础上，但又略高于简单的运用公式；都需要学生“跳一跳”，但又远离偏、难、怪，就在学生的最近发展区内为学生创设了一套“思维训练操”，实实在在地让大部分学生都得到了锻炼，获得了全面和谐、可持续的发展。练习1是求长方形周长的一道变式题，在解决时，要引导学生想到24米实际上并不是周长只是三边的长度，这是解决问题的关键。通过这样的练习，学生对长方形和正方形的面积计算必有了进一步的认识。如果说习题1是对生活的延伸，那么习题2就是对本节课所学的探究方法的拓展。在解决这个问题的过程中，学生要运用到本节课开始所用的操作探究的思路，然后经过分析知道1平方厘米正方形的边长是1厘米，经过综合知道长方形的长、宽，从而求出长方形的面积。在一系列的思维转换中，学生对长方形、正方形的面积与长、宽、边长的关系又有了辩证的掌握，为以后学习其他平面图形的面积计算打下了基础。

2. 关注群体发展需要——整体提升。尊重每一个课堂中的生命，尊重每一个生命拥有的课堂权利，所以课堂拓展环节也应该是属于每一个学生的。从这个意义上来讲，教师设计的拓展就不能是点缀，不能是形式，更不能是属于某一部分人的“舞台”，所以它一定不能是太深太难的，需要适合群体的发展。比如，在《能被3整除数的特征》教学中设计这样的拓展题：比一比，赛一赛，看谁能最先判断出下列各数是不是3的倍数。

（1）93963 （2）97263155

第（1）题，利用各数字之和的方法判断出93963是3的倍数，适合全体学生解决。“看谁能最先判断”就要求学生思考更简洁的方法，“因为这个数是由9、6、3这3个数字组成的，而9、6、3这3个数字都是3的倍数，所以我判断这个数是3的倍数”。不少善于观察、思考的学生会站起来这样说，在他们的启发下，其余学生随即会恍然大悟，欣喜地接受这个方法。第（2）题的解决，各层次的学生可以有不同的方法，可以加一加求和来判断，可以去掉其中的9、6、3再求和判断，最高层次的思考是：先把9、6、3去掉，因为7与2的和是9，也是3的倍数，所以也可以同时去掉，同样也可以同时去掉1和5，只剩下一个5，5不是3的倍数，所以这个数不是3的倍数。这样的提高练习，具有很强的基础性、层次性、灵活性、趣味性，可以激励全体学生积极参与、努力进取、不断提升，从而体现“不同的人学不同的数学”的理念。

二、适度把握“宽与窄”——点面适“宜”

知识的学习过程就是一个不断联系的过程，有教育专家说，“课堂学习不求多但求联”，就是强调知识学习联通的重要性。因此，我们看到很多老师在教学的拓展环节会把知识延展开，以期学生学习的面更广、知识的联通更透、解题的技巧更活。那么，这个延展的“宽阔度”该如何把握？联系太多太广，漫无边际，费时费力，教学效果事倍功半。联系太少太窄，原地打转，理解欠联，教学效果不尽如意。因此，适度把握知识联通的“宽”与“窄”是拓展教学有效的必要保证。

1. 注重知识体系。在把握知识“宽窄”度的时候，教师首先要明晰知识体系，根据体系在拓展环节做好“量身定裁”的设计。在一些公开课上，有些教师设计的拓展练习其实是课本接下去一课时（或后几课时，甚至是后年级）的教学任务，就是把知识前移作为拓展，这是非常不可取的。因为学段、学年、学期、单元、学时都有其特定的教学任务，知识前移既增加教学难度也打乱教学秩序。

例如，有教师在执教《小数乘以小数》时，在拓展环节安排了这样的两道练习题：（1）算一算，比一比，你发现了什么？0.48×1.3= 0.48×1= 0.48×0.7= （2）巧妙计算：23.4×0.9= 3.8×10.1= 事实上，第（1）题探究积与因数的关系教材做了合理的安排，安排在练习一中呈现，而第（2）题的巧妙计算是教材接下去安排的“整数乘法运算定律推广到小数”中的教学内容。教师安排这样的两道题目作为拓展，一是会占据不少课堂的时间，势必影响小数乘以小数的基础练习，二是给学生增加了不小的学习难度，三是打乱了教材安排的教学体系，这显然是不可取的。

在《小数乘以小数》这一课时，其中的一个教学重难点是积的小数点处理，所以这节课的拓展可以紧扣这个知识点的纵深去思考设计。比如，可以是完成类似（ ）×（ ）=0.48这样的练习，或者是安排一些小数点“安家”的拓展练习，让学生进一步明晰小数乘法和整数乘法的相互关系以及积的小数位数变化规律。

2. 讲究点面适宜。不同的课型，学习的目标不同，当然拓展的思路也会不同。新课学习是“点”位知识，对它的延伸应该是在顺应知识脉络的那条线上生长。如果是“面”上的知识，虽说相互知识有联系，但知识点总是不同的，学生学来费时费力，而且对本课新知的学习也有干扰。如，本文前面的案例中，把多边形的内角和知识作为三角形内角和知识的拓展，就是从知识“点”拓展到了知识“面”，起不到对三角形内角和知识的巩固、深化作用，反而因为需要花费时间来研究多边形内角和的知识，挤占了三角形内角和知识的探究时间和练习时间。如果沿着“三角形内角和180度”这个知识“点”设计这样的问题：小明不小心把一块三角形玻璃摔成了两快，一块只有原来的一个角，另一块有原来的两个角，他想重新买一块，可以用什么方法配到和原来一模一样的玻璃？这样的拓展让学生既有兴趣，又有挑战性，而且也是围绕着知识“点”作纵深的挖掘，起到巩固和发展的作用。相反的，练习课或者是复习课的拓展设计，则需要更多地把知识从“点”、“线”拓展到“面”和“体”上，以架构起知识的网状结构。如，复习平面图形面积，最后的拓展可以通过改变梯形“上底为0”变三角形，“上底和下底一样”变平行四边形，及进一步变成长方形、正方形，把各种平面图形的面积计算统一成（上底+下底）×高÷2，帮助学生完善知识网络的建构。

三、艺术把握“取与舍””——取舍适“需”

每一位优秀的教师，“生本”理念是他走进课堂应具有的最基本的教学思想。他们时刻意识到数学课堂教学要以生为本，以学为根，做到一切教学行为都只为教学实际需求服务。这种依实际需求而教的理念也体现在课堂拓展环节的取舍上。

1. 取舍适需。数学拓展延伸环节是课堂学习的延伸与发展，是课堂教学的补充，但它却不是课堂的必备环节。它的存在，首先由教学内容确定，一些对后继学习关联大、数学思维含量高、生活联系紧密、有利数学素养养成的内容需要拓展。例如，在学习了基本的数量关系后，可以熟悉商场的购物发票，熟悉“单价、数量、总价”，让学生根据自己家的实际情况“当一回家”，增强学生应用数学知识解决生活中实际问题的能力等。而有些教学内容就不一定非要拓展，比如低年级中一些内容比较浅显的，再加之学生认知较少，拓展太多太深反而会使学生学习数学的自信心受挫。还有一些初步认识的教学起始课，它的教学目标就是初步感知，后继将进行系统的学习，也不宜太多太深的拓展等等。其次，拓展延伸环节是否需要以及所达到的程度如何要看授课班级学生的学习能力，整体能力突出，可以拓展多点深点，整体能力不是很好，抓好基础更重要，适当提高促发展。综言之，数学课堂拓展环节的教学应该在学生扎实掌握和落实基础知识和基本技能的基础上，立足文本、立足生本、立足发展，进行或知识、或文化、或实践的拓展延伸才是需要的，才是可行的，才是有效的。

2. 学会放弃。课堂教学的时间是个常数，学生学习的历程也不会都是一帆风顺的，磕磕碰碰中时间就悄然而过了。也许，等到可以对所学的知识拓展延伸的时候，时间却不充裕了；亦或许，根本就没有时间了。这个时候，不要走过程，不要走形式，更不能为保证课堂的完整而让你设计的拓展延伸“紧急上场，仓促下阵”，只留下一个“羞答答”的“身影”。比如，同样是教学口算乘法，笔者在自己任教的班级上课，可以按教学设计顺利完成，但送教下乡到一个乡镇小学，由于学生的认知起点较低，在前面的算理和算法的理解中磕磕碰碰，于是，笔者果断地放弃了后面解决问题和拓展应用环节。正因为放弃，学生有足够的时间把口算乘法的算理和算法理解透彻，后面的计算就很顺利，学生学习的积极性也被充分调动。大哲学家书格拉底说：“千鸟在林，不如一鸟在手”，这句话也让我们感悟到有时放弃就是最明智的选择。简言之，数学拓展延伸环节的教学要根据课堂教学的实际做到“取舍”合理。

四、有效把握“学与用”——选材适“切”

实用主义教育家杜威曾提出“如何使学校教育与儿童的日常生活相联系”的重要问题。因此，在拓展环节的教学中，教师要有意识地联系学生的生活实际，设计一些贴近学生生活的拓展练习，让学生尝试着运用所学的知识去解决自己身边的问题，并且指导他们如何寻找生活和数学的联系。

1. 内容贴切。学生生活的环境不尽相同，个人的成长道路亦有差别，这就造成了学生情况的复杂性。因此，拓展延伸时，教师需要综合考虑授课班级学生的各方面因素，比如年龄特征、生活经验、地域特色、特长喜好等，设计的拓展练习尽量选用与学生密切相关的或直接尝试过的数学材料，这样学生才有学习兴趣和动机，才有解决问题的基础，才有探索的价值。比如，学习“折线统计图”的时候，可以虚拟一个股市行情图让孩子模拟演示。

2. 内涵丰厚。课堂的拓展延伸可以使课堂呈现全方位的开放，可以从教材走向生活，从学习走向文化，从感悟走向哲理，这种全方位的开放既丰富了课堂的知识含量，又凸显了数学文化的内涵。因此，课堂拓展延伸的材料选择除了要与学生的生活实际相贴切，还需要追求内涵的丰厚。

请看经典案例——特级教师张齐华《圆的认识》。

师：西方数学、哲学史上历来有这么一种说法：“上帝是按照数学原则创造这个世界的。”石子入水后浑然天成的圆形波浪，阳光下恣意绽放的向日葵，天体运行使近似圆形的轨迹，甚至于遥远天际悬挂的那轮明月、艳阳……而所有的这一切，给予我们的不正是一种微妙的启示吗？

张齐华老师的数学课堂从时空、内容和数学文化等方面进行了全方位的演绎、拓展、延伸，将圆的内涵进行有效地拓展和放大。借助媒体，将自然、社会、历史、数学各个领域中的“圆”有效整合进课堂，将圆内涵的文化特征进行了充分的放大，折射出“冰冷”图形的独特魅力，也使得圆化静为动，化平面为立体，穿梭时空，纵横驰骋在中外文化间，回归了数学与哲学、美学、历史的本位，并从中发现数学美。