函数与导数综合测试题

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）

1．已知曲线y=x24-3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为.

2．已知曲线y=x3-1与曲线y=3-12x2在x=x0处的切线互相垂直，则x0=.

3．已知f(x)=2x3-6x2+m（m为常数）在［-2,2］上有最大值3，那么此函数在［-2,2］上的最小值为.

4．函数f(x)=x3-3bx+3b在（0，1）内有极小值，则b的范围为.

5．在函数y=x3-8x的图像上，其切线的倾斜角小于稹肌 4的点中，坐标为整数的点的个数是.

6．点P在曲线y=x3-x+7上移动，设点P处切线的倾斜角为幔蚪轻的取值范围是.

7．设f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N,则f2012(x)=.

8．设函数y=xsinx+cosx的图像上的点(x0,y0)的切线的斜率为k，若k=g(x0)，则函数k=g(x0)的图像大致为.



9．已知函数y=xf′(x)的图像如右图所示（其中f′(x)是函数f(x)的导函数），下面四个图像中y=f(x)的图像大致是.



10.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x

11.若0

12．函数f(x)=x3+3x(x∈R)，若f(mx2)+f(1－mx)>0恒成立，则实数m的取值范围是.

13.若曲线y=h(x)在点P(a,h(a))处的切线方程为2x+y+1=0，则h′(a)与0的大小关系是h′(a)0（填≥、≤、＞、＜中最准确的一个）.

14．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)=0，xf′(x)－f(x)x2>0（x>0），则不等式x2f(x)>0的解集是.

二、解答题（本大题共6小题，共计90分）

15．(本小题满分14分)

设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点．

（1）试确定常数a,b的值；

（2）试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.

16．(本小题满分15分)

设关于x的方程2x2-ax-2=0的两根为 , ( < )，函数f(x)=4x-ax2+1．

（1）求f( )穎( )的值；（2）证明f(x)是［ ,猓萆系脑龊唬 3）当a为何值时，f(x)在区间［ ,猓萆系淖畲笾涤胱钚≈抵钭钚。俊迹冢耍姜

17.(本小题满分15分)

甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x=2000t，若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格)．

(1)将乙方的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；

(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？

18．(本小题满分15分)

已知f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1，x=-23时，都取得极值．

（1）求a、b的值．

（2）若对x∈［-1,2］，都有f(x)

19．(本小题满分15分)

已知x=1是函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一个极值点，其中m,n∈R,m

（1）求m与n的关系式；

（2）求f(x)的单调区间；

（3）当x∈［-1,1］时，函数y=f(x)的图像上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围.

20．(本小题满分16分)

已知函数f(x)=1(1－x)n+aln(x－1),其中n∈N,a为常数.

（1）当n=2时，求函数f(x)的极值；

（2）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x≥2时，有f(x)≤x－1．

参考答案

一、填空题

1.3；2.313；3.-37；4.（0,1）；5.0；

6.［0,稹肌 2）∪［3稹肌 4,穑 7.sinx；8.A；

9.C;10.(-∞,-3)∪(0,3)；

11.令f(x)=x-2sinx则f′(x)=1-2cosx

f(x)在［0,稹肌 3］上单调递减，在［稹肌 3,稹肌 2］上单调递增

f(0)=0，f(稹肌 2)=稹肌 2-2

x

12.［0,4)；13.h′(a)

二、解答题

15.解：f′(x)=ax+2bx+1

（1）由极值点的必要条件可知：f′(1)=f′(2)=0

即a+2b+1=0，且a2+4b+1=0，解方程组可得a=-23,b=-16