二元函数在某点处求偏导的基本和简便方法

【摘 要】 研究一元函数引入了导数的概念，为了研究多元函数的变化率我们又引入了新的研究方法：求偏导。本文讨论二元函数在某点处求偏导的基本方法和简便方法。

【关键词】 二元函数；偏导数

例1：求函数z=x2+3xy+y2在点（1，2）处的偏导数。

解：把y看成常量。得： =2x+3y，把x看作常量得： =3x+

2y，将（1，2）代入上面的结果，就得： =2×1+3×2=8 =3×1+2×2=7对于这种比较简单的函数我们只要把一个未知数看成常量，然后按照一元函数的求导法则和求导公式就可以很轻松的求出。但有的函数用一般的方法却很难求出。

小结（1）：求函数f（x，y）在点（a，b）处的偏导数f'x（a，b）及f'y（a，b）的方法是：

1.先求出偏导数的函数式，然后将（a，b）代入计算即可。

2.先求出g（x）=f（x，b）和h（y）=f（a，y），再求出g'（b），h'（a）便得到f'x（a，b）和f'y（a，b）。

3.若函数f（x，y）是分段函数则一般采用定义来做。

复合具体函数的导数求解：

基本法则： = +

= +

其本质与一元函数的求导法则是一样的，只不过是将暂时不求的变量看成常量而已。

例2：z=f（x，y）=（x+y）xy，求f'x（1，1），f'y（1，0）；

法一：设u=x+y，v=xy，则z=uv函数的复合关系为：z是u，v的函数，u，v分别是x，y的函数。

则： = +

=xy（x+y）xy-1+y（x+y）xyln（x+y）

=y（x+y）xy[ +ln（x+y）]

f'x（x，y）= y（x+y）xy[ +ln（x+y）]

所以：f'x（1，1）=1+2ln2

由于f（x，y）的表达式中的x，y依次轮换，即x换成y，同时将换y成x，表达式不变，这叫做函数f（x，y）对自变量x，y交换具有轮换对称性。具有轮换对称性的函数，只要在f'x的表达式中将x，y调换即得到f'y。即：f'y（x，y）= y（x+y）xy[ +ln（x+y）]，所以f'y（1，0）=0

这里我们只是简单的阐述了二元函数求一阶导数的一些方法，至于其高阶偏导的求法，原理与之相同，其实只要大家真正理解了其本质和掌握了“研究一个变量固定其他变量的基本思想”。任何一种方法都是等效的，我们都将运用自如，游刃有余。

【参考文献】

[1]贺家乐，熊东锋.准VandeΥmande行列式的计算与应用[J].十堰职业技术学院学报.1989（01）

[2]王江云.隐函数存在定理的推广[J].兰州石化职业技术学院学报. 1994（01）