导数与函数的单调性

用导数求函数的单调性是高考必考查的内容，因此弄清导数与函数的单调性的关系、单调区间的求解过程和函数单调区间的合并是十分有必要的.

一、导数与函数的单调性的关系

我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性.下面以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数y=f（x）在某个区间内可导.

（一）f′（x）＞0与f（x）为增函数的关系.

f′（x）＞0能推出f（x）为增函数，反之则不一定.如函数f（x）=x在（-∞，+∞）上单调递增，但f′（x）≥0，f′（x）＞0是f（x）为增函数的充分不必要条件.

（二）f′（x）≠0时，f′（x）＞0与f（x）为增函数的关系.

若将f′（x）=0的根作为分界点，因为规定f′（x）≠0，即抠去了分界点，此时f（x）为增函数，就一定有f′（x）＞0.当f′（x）≠0时，f′（x）＞0是f（x）为增函数的充分必要条件.

（三）f′（x）≥0与f（x）为增函数的关系.

f（x）为增函数，一定可以推出f′（x）≥0，反之则不一定，因为f′（x）≥0，即为f′（x）＞0或f′（x）=0.当函数在某个区间内恒有f′（x）=0，则f（x）为常数，函数不具有单调性.f′（x）≥0是f（x）为增函数的必要不充分条件.

函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性.因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题.但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理.

对于f′（x）＜0与函数单调递减关系，仿照上面的三点即可得到答案.

二、单调区间的求解过程

已知函数y=f（x），其单调区间的求解过程如下：

（1）分析函数y=f（x）的定义域；

（2）求函数y=f（x）的导数y′=f′（x）;

（3）解不等式f′（x）＞0，解集在定义域内的部分为增区间；

（4）解不等式f′（x）＜0，解集在定义域内的部分为减区间.

三、函数单调区间的合并

函数单调区间的合并主要依据是函数f（x）在（a，b）单调递增，在（b，c）（其中a＜b＜c）单调递增，又知函数在f（x）=b处连续，因此f（x）在（a，c）单调递增.同理，减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为一个区间.

四、应用举例

例：求下列函数单调区间

（1）y=f（x）=x-x-2x+5

（2）y=

（3）y=+x（k＞0）

（4）y=2x-lnx

解：（1）y′=3x-x-2=（3x+2）（x-1）.

令y′＞0，解得x＜-或x＞1;令y′＜0，解得-＜x＜1.

函数y=x-x-2x+5的单调递增区间为（-∞，-），（1，+∞）;单调递增减为（-，1）.

注意:此题的单调递增区间不能表示为（-∞，-）∪（1，+∞）.

（2）y′=，当x≠0时都有y′＞0，

函数y=的单调递增区间为（-∞，0），（0，+∞）,此函数没有单调递减区间.

（3）y′=1-

令y′＞0，解得x＜-k或x＞k;

令y′＜0，解得-k＜x＜0或0＜x＜k（其中k＞0）.

函数y=+x（k＞0）的单调递增区间为（-∞，-k），（k，+∞）;单调递增减为（-k，0），（0，k）.

（4）y′=4x-=，原函数的定义域为（0，+∞）

令y′＞0，解得x＞;

令y′＜0，解得0＜x＜，

故函数y=2x-lnx的单调递增区间为（，+∞）;单调递增减为（-，0）.

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