单位脉冲函数δ(t)及其性质

概要: 本文给出了单位脉冲函数的定义及若干性质,并结合傅里叶变换给出了一些性质的应用,对工程技术中单位脉冲函数的应用具有指导意义｡

关键词: 单位脉冲函数 性质 工程技术

单位脉冲函数δ(t)(以下简称δ(t))是物理及工程技术中的一个重要的函数,有其相当多的物理背景,其物理意义为t=0在时刻有一个强度为1的冲击｡工程上一般采用弱极限来定义,但δ(t)与普通函数又不一样,不是值与值的对应关系,它是一个广义函数,而其本质是一泛函,对于具有一般高等数学知识的人员来说是难以理解的｡下面,笔者根据δ(t)严格的数学定义以及结合傅里叶变换给出它的一些性质及应用｡

1.单位脉冲函数δ(t)的定义

设D是-∞

2.单位脉冲函数的性质

性质1:δ(t)=δ(-t),即δ(t)为偶函数｡

证明:设f(t)为任一连续函数,则f(-x)也为连续函数,

于是由?蘩δ(t)f(t)dt=f(0)

可得?蘩δ(-t)f(t)dt =?蘩δ(x)f(-x)d(-x)=?蘩δ(x)f(-x)dx=f(0)

所以?蘩δ(t)f(t)dt=?蘩δ(-t)f(t)dt=f(0),则有δ(t)=δ(-t)｡

性质2:?蘩δ(t-t )f(t)dt=f(t ),其中f(t)为任一连续函数,t 为一有限值(以下同)｡

证明:?蘩δ(t-t )f(t)dt =?蘩δ(x)f(x+t )dx=f(0+t )=f(t )｡

注:因f(t)=1为连续函数,所以立刻可得到我们熟悉的公式:?蘩δ(t-t )dt=1｡此式也是δ(t)在工程技术上广泛应用的依据｡

性质3:δ(t-t )=δ(t -t)

证明:设f(x)为任一连续函数,

则?蘩δ(t -t)f(t)dt =-?蘩δ(x)f(t -x)dx=?蘩δ(x)f(t -x)dt=f(t -0)=f(t )

又由性质2可知,δ(t-t )=δ(t -t)｡

注:在此式中令t =0即可得性质1｡

性质4:δ(t-t )f(t)=δ(t-t )f(t ),其中f(t)为连续函数｡

证明:由?蘩δ(t-t )f(t)dt=f(t )及?蘩δ(t-t )f(t )dt=f(t )即可得此性质｡

性质5:δ[a(t-t )]= δ(t-t ),其中a≠0｡

证明:设f(t)为任一连续函数,

当a>0时,

?蘩δ[a(t-t )]f(t)dt = ?蘩δ(x)f( +t )dx= f( +t )= f(t )

当a

?蘩δ[a(t-t )]f(t)dt = ?蘩δ(x)f( +t )dx=-?蘩δ(x)f( +t )dx=- f(t )= f(t )

又?蘩 δ(t-t )f(t)dt= ?蘩δ(t-t )f(t)dt= f(t )

所以有δ[a(t-t )]= δ(t-t )｡

3.δ(t)性质应用举例

例1:求函数f(t)=sin(5t+ )的傅里叶变换｡

解1:f(t)=sin(5t+ )= sin5t+ cos5t,

由傅里叶变换的线性性质,有

F[f(t)]= F(sin5t)+ F(cos5t)

= πi[δ(w+5)-δ(w-5)]+ π[δ(w+5)+δ(w-5)]

=π( + i)δ(w+5)+π( - i)δ(w-5)

解2:由傅里叶变换的位移性质,

F[f(t)]=F[sin5(t+ )]=e πi[δ(w+5)-δ(w-5)]=πi[e δ(w+5)-e δ(w-5)]

两种解法结果形式上不一致,可利用δ(t)性质4变形,有

F[f(t)]=πi[e δ(w+5)-e δ(w-5)]

=πi[e δ(w+5)-e δ(w-5)]

=πi[cos(- )+isin(- )]δ(w+5)-[cos +isin ]δ(w-5)

=π( + i)δ(w+5)+π( - i)δ(w-5)

最终两种解法可得到同样的结果｡

例2:求函数f(t)=cos5t的傅里叶变换｡

解:由公式F[cost]=π[δ(w+1)+δ(w-1)]及傅里叶变换的反比特性,有

F[cos5t]= π[δ( +1)+δ( -1)]

= π[δ( +1)+δ( )](由δ(t)性质5得到)

= π[|5|δ(w+5)+|5|δ(w-5)]

=π[δ(w+5)+δ(w-5)]

注:类似此例也可得到公式F[cosw t]=π[δ(w+w )+δ(w-w )]

例3:求F(w)= e +πδ(w)的傅里叶逆变换｡

解:因为F(w)= e +πδ(w)= e +πδ(w)e

=e [ +πδ(w)]=F[u(t-1)]

则有F [ e +πδ(w)]=u(t-1)

注:此例反用δ(t)性质4,使解题过程简洁｡

由以上三例可以看出,只有熟悉δ(t)函数的性质,才能在工程技术应用中,才能真正实现单位脉冲函数δ(t)的价值｡

参考文献:

[1]张韵琴.单位脉冲函数中的若干问题[J].工科数学,1994,(3):116-120.

[2]程其襄,张奠宙,魏国强.实变函数与泛函分析基础[M].北京:高等教育出版社,1983.

[3]陈洪,贾积身,王杰.复变函数与积分变换[M].北京:高等教育出版社,2002.

注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”

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