轨道飞行器轨迹改进

亚轨道飞行器(SuborbitalLaunchVehicle，SLV)是指从地面发射，在亚轨道空间运行作业，然后重返地面的跨大气层可重复使用飞行器［1］。SLV返回段具有飞行高度低、任务多样性、飞行环境多变的特点。快速、准确、鲁棒的SLV返回轨迹优化可以实现快速任务规划从而极大地降低成本。返回轨迹优化本质是求解一类高度复杂的最优控制问题。常见的数值方法主要包括间接法和直接法。近年来，直接法中的伪谱法因其求解精度高、收敛速度快、具有很好的鲁棒性而备受关注［2］。伪谱法主要有:勒让德伪谱法(LegendrePseudospectralMethod，LPM)、拉道伪谱法(RadauPseudospectralMethod，RPM)和高斯伪谱法(GaussPseudospectralMethod，GPM)。国内外关于GPM及LPM研究较多，而RPM国内未见相关文献。Huntington［3］对上述3种伪谱法在计算效率和精度方面进行了比较，但所用的RPM是向后Radau伪谱法，并且算例较为简单，没有比较各种伪谱法在处理复杂问题时的能力。目前，国内外还没有文献对向前RPM与GPM进行过比较。本文针对亚轨道飞行器，分别采用GPM和向前RPM进行了SLV返回轨迹快速优化研究，同时对2种伪谱法进行了比较分析。结果表明，Gauss伪谱法在处理含控制量约束的问题时比向前Radau伪谱法更具优势。

1Gauss伪谱法与向前Radau伪谱法

1．1Gauss伪谱法与向前Radau伪谱法基本原理伪谱法是一种正点法，其基本思路为:通过选择合适的正点与节点，构造全局插值多项式来逼近状态和控制变量，配点处状态量的导数可由全局插值多项式求导来近似，从而将微分方程约束转换为一组代数约束。性能指标中的积分项可由相应的Gauss求积公式计算得到。经上述离散化方法，原最优控制问题转化为非线性规划问题，而后通过有效的大规模稀疏NLP求解器即可求解。Gauss伪谱法与向前Radau伪谱法基本原理如图1所示，其主要区别在于:1)选用的配点不同。GPM选勒让德－高斯(Legendre－Gauss，LG)点∈(－1，1)，而向前RPM选标准勒让德－高斯－拉道(Legendre－Gauss－Radau，LGR)点∈［－1，1);2)近似状态量所用的方式不同。GPM用LG点与初始时刻点为节点构造插值多项式，终端状态通过高斯求积公式得到，而向前RPM用全部离散点为节点构造插值多项式近似所有状态量。关于Gauss伪谱法文献较多，在此不再赘述。具体GPM离散化方法可参见文献［4］。

1．2向前Radau伪谱法离散化最优控制问题［5］1)时域变换为将原问题由t∈［t0，tf］转化到τ∈［－1，1］，对时间变量t作变换:

2SLV返回轨迹优化

2．1动力学模型考虑地球旋转影响，假定飞行器侧滑角为0SLV无动力返回动力学方程为［6］:从实际系统考虑，控制舵面偏转限制必然使得攻角α、倾侧角σ存在带宽和速率限制，在模型中考虑α，σ角速率限制。令

2．2优化性能指标与各类约束1)性能指标与终端约束为描述性能指标与终端约束，引入“末端进场走廊”(FAC)概念(见图2)，FAC也可以理解为“进场着陆窗口”，是在返回段终端速度、航迹角与航向角、着陆场位置及方向给定情况下，能够保证飞行器安全返回的终端位置(经纬高)的范围。FACFACFAC度、纬度，FACL，FACW，FACH分别为三维FAC的长、宽、高。由于SLV返回的主要目标是能够安全返回指定的着陆场，因此选择如下性能指标:

3优化算例与结果分析

3．1优化算例本文采用X－33总体参数及气动模型进行仿真计算［6］。SLV质量35828kg，参考面积149.3881m2，地球半径Re取6378．1km。

3．2优化结果分别采用Gauss伪谱法和向前Radau伪谱法对不采用伪控制量和采用伪控制量2种情况进行了优化，采用国外大规模稀疏NLP软件包SNOPT求解，优化结果如表1及图3～7所示。两种方法均选用30个配点，优化时间都在10s以内，考虑到本文算法在Matlab平台下实现，雅克比矩阵通过自动微分方法计算，如采用C代码、解析雅克比矩阵、无量纲

3．3可行性与最优性验证对于采用离散化方法求解连续最优控制问题而言，验证解的可行性与最优性是非常必要的。可行性通过数值积分结果与优化结果相比较来验证，积分时的控制量由最优离散控制量插值得到。从图3中可以看出GPM及向前RPM优化与数值积分结果非常吻合，表明所得结果是可行的。与一般直接法不同，伪谱法可以根据协态映射原理估算配点处的协态信息，从而求得哈密尔敦函数值以检验解的最优性。对于存在路径约束、终端时刻自由的自治系统最优控制问题，最优轨迹对应的哈密尔敦函数应恒为0。图7中哈密尔敦函数接近于0，实际数据在10－11量级，可以认为所得结果接近最优解。4结论本文利用Gauss伪谱法和向前Radau伪谱法进行了亚轨道飞行器返回轨迹优化，比较了2种方法在处理复杂问题时的能力。仿真结果表明，在满足控制能力约束、路径约束等条件下，GPM能够快速准确地生成捕获FAC中心的SLV返回轨迹。这2种方法计算效率相当，但向前RPM在处理存在控制量约束问题时效果不佳，不能满足终端控制能力约束。