人民币兑美元汇率混沌动力学预测模型

[摘要] 应用混沌理论对人民币兑美元汇率系统进行建模及预测。建立了两个混沌动力学模型，即人民币兑美元汇率的日收益序列预测模型和人民币兑美元的日汇率序列预测模型。实证结果表明，两个模型的预测结果都好于均值模型的预测。其中，前者的预测均方根误差比较大，而后者的预测均方根误差非常小,表明两个模型中，后者更适合于人民币兑美元汇率的预测。

[关键词] 汇率 混沌 预测

2005年7月21日,中国人民银行宣布了改变人民币汇率形成机制的公告，我国开始实行以市场供求为基础、参考一篮子货币进行调节、有管理的浮动汇率制度。由于人民币汇率不再盯住单一美元，因此，人民币汇率的变动趋势更加复杂化，汇率的波动带来的风险也大大超过以往，而汇率的频繁波动及由此带来的外汇风险对于国际金融、贸易和投资都具有关键性的影响作用，因此， 正确预测人民币汇率的变化也变得越来越重要。

虽然人民币汇率不再盯住单一美元，但美元仍在一篮子货币中占有最大的比重。因此正确预测人民币兑美元汇率走势将有助于我们有效的规避外汇风险。

人民币兑美元汇率系统是一个具有混沌特性的系统。而混沌理论认为，由于混沌系统对初值的敏感性使得对其进行长期预测是不可能的。但是，在短期内，系统运动轨迹发散应较小，从而利用观测资料进行短期预报是可行的。因此，本文应用混沌理论对人民币兑美元汇率系统进行短期建模及预测的尝试。

一、理论与方法

1.相空间重构理论

相空间重构是对汇率序列进行混沌预测研究的基础，通过相空间重构可以找出隐藏在混沌吸引子中的演化规律，使序列数据能够纳入某种可描述的框架之下。

相空间重构是由Packard和Takens提出的，其目的是在高维相空间中恢复混沌吸引子。系统任一分量的演化是由与之相互作用的其它分量所决定的。因此，这些相关分量的信息就隐含在任一分量的发展过程中。这样，就可以从某一分量的一批时间序列中提取和恢复系统原来的规律，这种规律是高维空间下的一种轨迹。Packard等建议用原始系统中的某变量的延迟坐标来重构相空间，Takens则证明可以找到一个合适的嵌入维，即如果延迟坐标的维数是动力系统的维数，在这个嵌入维空间里可以把有规律的轨迹（吸引子）恢复出来。其原理可表示如下：

假设时间序列为，如果能适当选定嵌入维数和时间延迟，则可得到：

（1）

（1）式即为延滞时间重构的相空间，在微分同胚意义下，它保持原系统的几何结构、拓扑结构，并与其有等同的动力学特性。根据Takens定理，只要重建的相空间维数m足够大，就可以在拓扑等价的意义下恢复吸引子的动力学特性，从而揭示出传统坐标系所无法揭示的系统运动规律。

2.时滞时间和嵌入维数

重构相空间的关键在于嵌入空间维数m和时滞时间τ的选择，而计算嵌入空间维数m和时滞时间τ的方法并不惟一，因此首先要选择时滞时间和嵌入维数的计算方法。

常用的求时滞时间τ的方法有自相关函数法和互信息量法。大量的数值实验表明相空间的特征量依赖于τ的选择。选择合适的 τ，自然要求线性独立，即选取自相关函数的第一个零点。但是自相关函数仅仅度量了两个变量的线性依赖性；而互信息函数却度量了两个变量的总体依赖性。在大量的数值实验中发现，自相关函数法（对应第一个零点）的互信息量较大，从而无法对吸引子的动力学特征进行定量研究。而互信息法（对应第一个极小值）的互信息量较小，因而能够通过重构相空间来定量和定性分析吸引子的动力学特征。所以，互信息方法在时滞时间τ的选取上要优于自相关函数法。因此，在对汇率的预测中，选择互信息量法确定时滞时间τ。

计算嵌入维数的常用方法有关联维数法和虚假邻域法等。关联维数法是从时间序列计算吸引子的关联维数的一种算法。而虚假邻域法则是一种通过考察假最近邻点数目随相空间维数增加而发生的变化来确定嵌入维数的一种方法。这些方法的共同缺点是在选择嵌入维数时都包含主观参数或主观判断。而零阶近似法[3]不依赖主观参数，因此选择零阶近似法来确定嵌入维数。

二、人民币兑美元汇率的建模与预测

选取2005年7月22日～2008年11月7日人民币兑美元的汇率序列，应用混沌理论进行建模与预测。数据来源于美国联邦储备银行圣路易斯官方网站。

1.预测模型的确立

对2005年7月22日～2008年11月7日人民币兑美元汇率序列的建模，分两种情况进行，即以人民币兑美元汇率的日收益序列为样本进行建模，和以人民币兑美元的日汇率序列为样本进行建模。

由于人民币兑美元汇率系统具有混沌特性，而混沌时间序列预测的基础是相空间的重构理论，因此，首先要通过重构相空间矢量来重构相空间。

混沌时间序列可表示为,则重构的相空间矢量为

（2）

式中τ为时滞时间，由互信息量法确定；d为嵌入维数，可由零阶近似法确定；,且为样本值个数。由嵌入理论可知，存在一映射使得

（3）

当时间序列的观察函数是光滑的且嵌入维数足够大时，式（3）的动力学行为与重构前原混沌系统的动力学行为是拓扑等价的。在实际应用中,使用一标量方程来代替式（3）的矢量方程，即

（4）

式（4）就是对日收益序列和日汇率序列建立的混沌模型，根据此模型即可由预测出。

剩下的问题是如何去估计函数。假设用个样本值去拟合函数，亦即有，这样就可构造时滞向量，如式（2）。现在要预测，可采用局部线性近似法。局部线性近似法的基本思想是：将相空间轨迹的最后一点作为中心点,把离中心点最近的若干轨迹点作为相关点,然后对这些相关点作出拟合，再估计轨迹下一点的走向，最后从预测出的轨迹点的坐标中分离出所需要的预测值。其预测步骤如下:

(1)找出距最近的个向量；

(2)按照式(4)，由这个向量拟合一线性函数；

(3)的预测值

距v最近的个向量可用表示，。这样对任意k都有，。

线性函数可按式(4)的形式进行拟合，即把每一个看成邻域内的一个点，而看成是与相应的点，来拟合，可以用最小二乘法找到这个线性函数，使得最小。

2.预测精确性的评价

把混沌预测模型的预测精度与均值预测模型比较来评价预测的精确性。

均值预测模型指的是，预测值。是序列的均值。对这两个预测模型用下面统计量来比较它们的预测精度

（5）

式中：p表示外推的数据量；为的预测值。如果RMSE＜1，则表明混沌预测模型比均值预测模型的预测效果好；如果RMSE＞l，则表明前者不如后者的效果好。

3.预测结果

(1)人民币兑美元汇率日收益序列的预测

2005年7月22日～2008年11月7日人民币兑美元日汇率数据，共有833个数据点，首先将其进行如下处理。

对价格序列取对数，然后再进行一阶差分，可得到：

通过上述处理，将价格序列转换成对数收益序列。对数收益序列共计832个数据点。这832个日收益数据即为实证研究的样本。

以832个日收益数据为样本，按照局域预测法的预测步骤建立混沌模型，然后就可以用于预测。具体的做法是，时间序列的前827个数据用于确定预测模型和优化模型参数，后面5个数据用于实际预测。

采用混沌模型对日收益序列进行预测，则可得到序列的预测值，其预测均方根误差为0.8989。由于误差评价比1小，但并不小很多，故认为该模型的预测结果虽好于均值模型的预测，但并不比均值模型的预测结果好多少。

(2)人民币兑美元日汇率序列的预测

人民币兑美元日汇率序列的预测，是指不对数据做预处理，而是对原始日汇率数据直接进行预测。原始日汇率数据样本是833个。

以833个原始日汇率数据为样本，按照局域预测法的预测步骤建立混沌模型后，就可进行预测。具体的做法是，时间序列的前828个数据用于确定预测模型和优化模型参数，后面5个数据用于实际预测。

采用混沌模型对日汇率序列进行预测，则可得到序列的预测值，其预测均方根误差为0.0111。由于误差评价远远小于1，故认为该模型的预测结果远远好于均值模型。

三、结论

本文分别采用两种方式对人民币兑美元汇率建立了混沌动力学预测模型，一种是以人民币兑美元汇率的日收益序列为样本进行建模与预测；一种是以人民币兑美元的日汇率序列为样本进行建模与预测。 本文所建的两个混沌动力学模型，其预测均方根误差都小于1，故认为其预测结果都好于均值模型的预测。但是以日收益序列为样本所建模型，其预测均方根误差为0.8989，与1比较，并不小很多，故认为其预测结果并不比均值模型的预测结果好多少。而以原始日汇率数据为样本所建模型，其预测均方根误差为0.0111，远远小于1，故认为其预测结果要远远好于均值模型的预测结果。由以上分析可得，本文所建的两个模型，其预测的效果相差较大。而这两个模型的不同之处就是对样本数据做预处理和对样本数据未做预处理。因此可以得出，对样本数据做预处理是导致预测误差较大、预测结果不够好的直接原因。也就是说在对数据取对数、再进行一阶差分处理的过程中，很有可能引进了误差噪声，致使处理后的数据相比处理前的数据复杂程度增加，因而，导致预测精度降低。因此可以得出结论，对人民币兑美元汇率进行预测时，对数据进行预处理并不合适；或者说，对人民币兑美元汇率进行预测时，应以原始汇率数据为样本进行建模，这样，预测结果才会更好。

参考文献:

[1]谢赤罗福来孙柏:基于混沌分析的人民币兑美元汇率行为研究[J].湘潭大学学报( 哲学社会科学版),2008, 32 (4): 35～39

[2]吕金虎陆君安陈士华:混沌时间序列分析及其应用[M].武汉: 武汉大学出版社, 2002

[3]Cao L., Practical method for determining the minimum embedding dimension of a scalar time series [J].Physica D, 1997, 121: 75～88

[4]Takens F., Detecting strange attractors in fluid turbulence [A]. Dynamical Systems and Turbulence, Lecture Notes in Mathematics [C].Vol. 898, Berlin: Springer-Veriag, 1981

[5]Sauer T., Yorke T. A, Casdagli M. Embedology [J].Journal of Statistical Physics, 1991, (65): 579～616