数学软件与数学实验课程的研究

摘要：利用数学软件开展数学实验教学是培养学生创新能力的有效途径。本文结合作者多年数学软件与数学实验课程教学经验，论述了数学软件与数学实验课程的教学目标、教学内容，探讨了课程的结构体系及教学模式，提出了以素质教育为目标，从低到高、从基础到前沿、从理论到实践、从传授知识到培养综合能力，逐级提高的数学实验课程新体系。

关键词：数学软件；数学实验；数学建模；matlab；教学模式

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）14-0244-03

一、引言

数学实验是一种新的教学模式，它在现代教育理论指导下，使用数学软件（如Matlab，Maple，Mathematica等）通过实验学习、掌握数学知识。在各种界面友好、简单易用的数学软件的帮助下，数值计算、图形分析更加方便，实验过程将数学理论、数学建模和计算机求解相融合，学生的观察、分析和解决问题的能力得到很好的提高，把学数学进阶为用数学。教育部在1998年颁布的《普通高校本科专业目录和专业介绍》中也明确将《数学实验》列入数学类专业的主要课程，其地位不亚于大学物理实验和化学实验课。

目前国内外很多大学都将数学实验课程的教学内容、结构体系进行了研究[1，2，3]。目前大体上有三种思路：（1）以灵活掌握数学理论知识为目标，在数学专业课程教学中加入典型案例，与数学软相结合来组织课程。（2）以提高动手能力，培养学生的专业思维和创新意识为目标，教学内容中加入开放性数学问题，激发学生兴趣兴趣，鼓励学生探索未知。（3）强调数学技能的掌握，结合数学课程设置实验问题，力求增强实用性[4]。其中第二种尤其适合高校理工科学生和数学专业的学生。本文首先简要介绍数学软件与数学实验课程的教学目标、教学内容，接着在此基础上探讨课程的结构体系及教学模式，最终提出了以素质教育为目标，从低到高、从基础到前沿、从理论到实践、从传授知识到培养综合能力，逐级提高的数学实验课程新体系。

二、数学软件matlab

数学软件与数学实验课程以数学软件为工具，目前应用较多的数学软件有Matlab，Mathematica，Maple，Lingo，SPSS等，本课程选用Malab作为实验平台。Matlab是美国Mathworks公司推出的一个高性能的科技计算软件，它集数值计算、符号运算、图形图像处理、编程等多种功能于一体，应用非常广泛。Matlab是一个可视化开发环境。提供了大量库函数，Matlab还是一个高级编程语言，应用Matlab编程运算与人进行科学计算的思路和表达方式一致，对所求解的问题，用户只要简单列出数学表达式，其结果便以数值或图形方式显示出来。这些特点保证了具有初步计算机知识的人在短时间内掌握Matlab并解决实际问题[5]。

本课程始终把数学软件Matlab的学习放在具体的数学环境中，采用边讲解边举例演示的方法，每个功能模块的函数，都配上2～3个实例，引导学生一起建立模型，设计算法，编写程序，调试运行。利用计算机把实验、教学内容（包括理论教学）、教师指导和学生的思考、操作有机融合为一体，形成一部可操作的活的教科书。

三、数学实验的教学目标和基本内容

1.数学软件与数学实验课程的教学目标。以往数学教学通常围绕定义、定理、证明、计算展开，侧重知识讲授和培养学生推理演算能力，即“算数学”，创新性较为缺失。基于此，数学实验课程应该取长补短，在原来授课内容基础上加入“用数学”的内容，培养学生的科学精神，激发学习兴趣和创造力，使学生能够熟练运用数学理论和数学软件解决具体的数学问题或实际问题。因此数学实验课程的教学目标是：（1）强化用数学方法抽象实际问题的能力，即数学建模训练；（2）强化培养运用数值计算方法和数学软件求解问题的能力。作为数学理论课程的实践部分，数学实验课程与数学理论课程相辅相成，是大学数学教学的一个必不可少的环节，不可替代。

2.数学软件与数学实验课程教学的基本内容。本学院的数学软件与数学实验课程是在学生学习完数学分析、高等代数、概率统计等数学基础课后在大二第二学期的。本课程的教学内容分为Matlab语言基础、基本实验和综合实验。以软件基本应用为基础，以基础实验为主体内容，以综合实验作为提高与扩展。实验项目的选题主要围绕数学分析、高等代数、概率统计中一些重要数学理论，适当扩展到与微分方程、数值计算相关的知识。由于在实验项目设置上和学生熟悉的数学理论贴近，学生比较容易接受和掌握，并且通过实验验证了理论结果的正确性，加深了学生对于抽象理论的理解。这一过程也为今后学生从观察分析工程数学中的实验结果然后上升到理论高度实现突破打下坚实基础。

四、数学软件与数学实验课程的结构体系

数学软件与数学实验课程在教学中力求贯彻现代教育思想，坚持以学生为主体，老师为主导的教学方式，努力做到：（1）实现理论教学与实验教学的结合，在实验的过程中，加深对抽象数学理论的理解，强调理论知识的运用和问题的解决。（2）突出和数学软件的结合，加强应用与实践。（3）强调激发学生求知欲，提高数学素质，培养创新意识。

基于以上目标数学软件与数学实验课程的结构体系设置必须体现继承与创造相结合、传统与现代教学内容相结合的教学观点，形成以素质教育为目标，从理论到实践、从基础到前沿、从知识传授到培养综合能力，逐步提高的数学实验课程新体系。

1.从数学软件使用出发使学生深入理解数学基本概念和理论。在学习过高等数学、线性代数、概率论与数理统计等课程后学生已经掌握了数学的一些基本原理和方法，但学生常常把数学误解为形而上学的东西，与现实生活脱节，把数学的作用仅理解为逻辑思维能力的锻炼，而非解决问题的方法。在数学实验课程中通过使用数学软件，不仅可以帮助学生复习、巩固所学的理论知识，并且可以展示给学生传统数学方法中见所未见、闻所未闻的一个新天地。Matlab程序设计实验选材时应紧密结合高等数学、线性代数、概率论与数理统计的理论知识，将典型数学问题的求解过程做分解，对定理部分可作为演示实验，对算法或数据计算可作为验证实验，使学生掌握如何利用数学软件进行运算、绘图、仿真等操作。

2.以培养学生利用数学软件和数学理论解决数学问题的能力为目标设计基础实验。基础实验项目的设置与现有各学期的数学课程内容紧密结合，激发学生学数学、用数学的兴趣和动力。一个好的实验项目，不仅能培养学生数学的计算能力，还通过学生自己的思考、实践，培养学生的数学思维、数学表达能力和数学应用能力。

3.以培养学生运用所学知识建立数学模型，运用数学软件解决实际问题的能力设计综合实验数学建模最能体现数学的应用性以及数学对其他科学的有效性。著名的数学教育家波利亚曾指出：“数学有两个侧面，一方面，它是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学；另一方面，创造过程中的数学，看起来却像一门实验性的归纳科学。”[6]数学既是一门演绎科学，也是一门实验性的科学。教育改革的主要任务是培养学生数学素质和创造性思维、意识和能力。数学素质除了包括逻辑思维能力、抽象思维能力、空间想象能力、数学运算能力外，还包括数据处理能力、数学建模能力、数值计算能力，要求学生能用数学解决实际问题，会用数学软件进行科学计算。因此数据处理能力、数学建模能力和数值计算能力的培养对提升学生创造力起着至关重要的作用。

因此综合实验项目的选择应结合数学建模竞赛等活动，从实际生活出发，结合实际问题，如环境污染问题、经济效益问题、排队问题等与数据处理、数学建模、数值计算方法紧密联系。通过解决较为复杂的综合问题扩展学生的知识面，培养学生数学思维，使学生具有应用数学知识解决实际问题的意识和能力。

五、数学软件与数学实验课程的教学模式

数学实验是一个带有研究性质的实验课程，因此它的教学模式应该以学生为主体，以问题为载体，学习方法为手段，计算机及其软件为工具，在教师指导下通过学生自己动手完成指定的实验课程，使学生在模拟的科学研究环境中了解和掌握解决实际问题的全过程。其教学模式应该遵循以下4个基本原则：

1.正确处理教学中教师的主导作用与学生的主体作用之间的关系[6]。在保证教师主导作用的同时，充分发挥学生的主体作用。通过教师的主导性来调动学生的主动性，激励学生的学习兴趣。在教学方式上，以讲授、演示、讨论、分组、实验报告等多种方式混合进行。

2.正确处理传授知识与培养创新型人才培养的关系。教师在传授知识的同时，要注重学生掌握数学的基本思考方法，培养学生的数学思维、计算机应用能力和应用数学知识解决实际问题的能力，以便能很好地适应科技发展、社会发展和学生个体发展的需要。（1）采用开放型的启发式、研讨式、演示教学法等。重视教学实践环节，训练学生进行发散性的思考，尝试从多方面和多个知识点切入进行思考。在教学过程中鼓励学生不拘泥于课本和老师的传授，勇于发表自己的观点。在课堂上强调师生互动，教学过程中教师和学生都可以提出自己的问题，大家来共同解决。在相互启发的过程中养成创新思维习惯，激发了学生学习数学的兴趣和欲望，培养了学生主动探索、努力进取的学风，从而使学生自觉、自信、自主地学习，显著提高能力。（2）以建模方法为主线，增强学生的数学应用能力。教学过程着重于数学方法的掌握、数学思维的建立，使学生能将学习过的数学知识与方法应用于实践。打破各个数学分支自成体系的界限，以建模方法介绍为主线，通过原始问题数学问题数学模型程序求解的过程，引导学生从整体上把握问题，应用所学知识解决实际问题，培养学生良好的数学思维方式和科研思维习惯。

3.正确处理教学内容与教学模式的关系。构建数学实验课的教学模式的原则应该是将传统的教学过程转变成运用现代教育技术理论教学、课堂演示、上机实践相结合，多方面引导学生发现问题、探讨问题，最终获得知识，培养能力的过程。在教学中充分运用多媒体教学和课堂实验演示，以数学软件为工具生动形象地揭示理论的形成过程，让数学的思想和理论“可视化”。教学中采用边讲解，边举例演示的方法，将数学理论和软件求解相结合，引导学生一起建立模型，设计算法，编写程序，调试运行。利用计算机把实验、教学内容（包括理论教学）、教师指导和学习者的思考、操作有机融合为一体，形成一部可操作的活的教科书。使学生在解决问题的过程中，加深理论理解，提高分析解决问题的能力。

4.更新学生学习评价体系，正确评价学生学习效果。课程采用了课堂练习、上机实验、期中考试和期末考试相结合的学习效果综合评价方法。在考试方式和内容的设计方面，注意到数学实验的实践性，考试侧重于实际操作和技能考核方面，避免了学生死记硬背的方式，强调知识的学习和综合能力培养。下面以一个具体实例说明数学实验的过程。

例：某实验中测得一组数据，其值如下：

X 1 2 3 4 5

Y 1.3 1.8 2.2 2.9 3.5

已知x和y成线性关系，即y=kx+b，求系数k和b，并画出图形。

程序设计及运行结果：

>>x=[1，2，3，4，5]；

>>y=[1.3，1.8，2.2，2.9，3.5]；

>>p=polyfit（x，y，1）

p=0.5500 0.6900 %即k=0.5500 b=0.6900

>>x1=1：0.1：5；

>>y1=polyval（p，x1）；

>>plot（x1，y1，’r-‘，x，y，’bo‘）

课堂教学时，给出题目后即可引导学生思考此问题属于哪类问题，请同学们先运用所学数学知识演算解答此问题，然后互相讨论并指出此问题用数学软件解答所需要用到的函数，教师和同学一起写出程序，运行观察结果，启发学生进一步完善程序，将数学实验方法和传统数学解法对比。

六、总结

数学实验课是一种新的数学教学模式，加深了学生对数学理论的理解，强化了学生的数学建模和数值计算能力，培养了创新意识，本学院在历年的数学建模竞赛中都取得了较好的成绩，获得国家二等奖一项，省一等奖二项，省二等奖三项，数学软件与数学实验课程的发展为这些成绩的取得做出了重要贡献。在今后的数学软件和数学实验课教学实践中，我们还应进一步改革、完善现有教学模式，探索新的模式。

参考文献：

[1]冷劲松，黄廷祝，成孝予，刘伟.《数学实验》课程的内容设置与选材[J].工科数学，2001，17（2）.

[2]钟尔杰，付英定，邓建华.数学实验课的建设与实施[J].Experiment Science &Technology，2005，（10）增刊.

[3]尚月强，杨一都.Matlab及其在数学建模中的应用[J].贵州释放大学学报：自然科学版，2005，23（1）.

[4]李尚志，陈发来，吴耀华，张韵华.《数学实验》[M].北京：高等教育出版社，1999.

[5]肖燕婷，戴芳，赵凤群.高等院校数学实验课程的开展与研究[J].宜春学院学报，2009，（10）.

[6]岑冠军，蔡贤资.建构主义下数学实验课的教学设计与实施策略[J].实验室研究与探索.2014，33（9）.