数学中的九九归一法

一、九九归一法能让新题用旧知

近期一次听课学习中，老师课上的例1：如图，正方形ABCD的边长为12，连结AC，点E为正方形ABCD内部的一点且ABE是等边三角形，你是否可以在对角线AC上找一点P，使PD+PE最小。并求出这个最小值。

可以说这位学生的解题过程是非常的严谨，班级中的绝大部分同学也能听懂他的解题思路。但实际上有一小部分同学对于这位同学为什么要把点D转移到点C本身就存大很大的困惑。然后再为什么PB+PE最短就是线段BE的长度又留下了第二大困惑。虽然我们老师在题目的分析中也讲得很清楚。

又两点之间线段最短。BC最短。在我自己的上课过程中发现讲解到这的时候对于已经懂的学生是多余的，但对于还处于一知半解的学生，即便解释到额头冒汗也不能把他们弄懂。后来我问学生：我们要求PB+PE最小值，说明PB+PE必定会存在一个范围，也就是会有一个不等式的关系才会有最值的考虑对不对？学生点头，我接着问那么在你的印象中何时PB+PE会存在不等关系？学生马上反应过来：三角形的三边关系。我接着问：那么这三点是否可以组成一个三角形？PB+PE又是存在一个怎么样的不等关系？学生马上发现：PB+PE>BE。那如果使PB+PE最小是在什么时候？是否能达到这个时候？学生马上能发现当点P运动到与BE上的，能得到PB+PE=BE。那又为什么要将PD转移到PB考虑呢？通过这样的提问学生马上能发现，因为三角形的第三边要经过AC，而PD，PE的第三边没有经过AC。所以我们要借助轴对称的性质将线段等量转移。

让学生发现对于求两条线段之和最值的问题原来还是回归到了不等式与三角形的三边关系的问题。体现了数学解题思路的九九归一法。只要抓住题目的本质，一样可以从新的问题中转化到老的问题。

二、九九归一法能让解题思路柳暗花明又一村

紧接着在老师的提高练习中这个问题更能体现。

变式：若点Q是AB中点，连结QC，点P，M是QC，BC上任意点，求PM+PB的最小值。

因为老师前面一直都是强调两点之间线段最短，到了这一个变式时，学生显得有些束手无策。在课堂之中经历了十来分钟还是出现很多学生毫无思路。主要问题是P，M都是动点，对于两点之间线段最短此时找不到解决的切入点。我想如果换一种方式去问：PM+PB最值问题，还是回归到三角形的三边。那么是否可以构造出一个三角形呢？PMB？但要使第三边经过QC，又不改变改变位置的那边的大小，是否有办法呢？生：可以将点B做BQ的对称点B'。

还是让学生把问题回归到三角形的三边关系问题与不等式的最值问题。这样再次把不熟悉的问题的回归到了数学问题的本质。可以说是让学生解题思路柳岸花明又一村。

三、九九归一法让殊题同归

本节课的最后一题是这一节课知识点运用的升华。但就因为学生所形成的两点之间线段最短的解题思路，对于这一题没有明显的帮助，以至于到下课也没有解决，老师只能是让学生放着课后思考。

题如：如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为OB的中点，点E，F为边OA上的两个动点（E在F的左边）且EF=2，四边形CDEF的周长最小值为多少？并求出E，F点的坐标。

对于最值的问题如果学生会想到回归不等式的思想入手，那么就会想到先列式找关系。CD+DE+EF+CF不难发现其中EF，DC是定值。所以求周长的最小值只需要求CF+DE的最小值。但是因为是四个字母没有办法构造三角形，利用三角形的三边关系。但是两边之和的最小值又一定是符合这种关系？那怎么办呢？此时有学生想到了平移，将DE平移到FH，使点D与点F重合，FH=DE.要使FC+FH最短只能是三点共线的时候。师借机问：结合图形，那是否可以不用平移也可达到同样的效果？老师引导：观察最短时FH与CF的位置关系？生：FH∥CF。那如何能使不改变D的位置，可以出现与DE长度相同的边与CF平行？生必能发现将DE做y轴的轴对称图形DE'.可以使DE'∥CF.利用k相等就能求出相应的点E，与点F的坐标。让学生再次感觉数学问题回归的重要作用，两条线段的最小值实际上就是利用轴对称将一条线段转移并且利用三角形的三边关系与不等关系，就能轻松解决这一类问题。