立体几何图形教学三步曲

学习高中立体几何，要求学生有足够的空间想象能力，看到空间几何体的直观图就要知道可作图的最基本的元素，即点、线、面以及各元素间的关系。能把已知条件和所问问题转化为空间几何体的直观图，最后把空间问题转化为平面问题来解决。通过数形结合的思想来解决问题。要想学好立体几何，就要形成空间几何体的图形观。对立体几何的认识须经过三个步骤――认识图形、作图、用图即各几何体的定义以及图形之间的联系和区别。

在平面几何中，常用的几何图形如平行四边形、三角形、梯形、圆都能用作图工具，在平面中很快做出相应的图形，但是一个空间几何体要在平面中做出直观图就不像在平面内作平面图形简单，而是在二维的平面上画出三维空间的真实形象，也就是立体感很强的图形。在考察立体几何内容时，空间想象能力是考察的核心，针对学生在初学时存在的问题，笔者从学习立体几何入门讲解立体几何图形，即认识图形、做出图形、会用图形三个步骤来探究原因，提高自身的教学和学生的学习热情。

识图

认识图形是学会立体几何的基础之一。在教学中随时让学生观察眼前能看到的图形，让学生体会所学的知识和生活实际的联系。找到具体的模型与直观图间的联系，让学生自觉地把初中学习的平面几何的概念和定理在立体几何中能够再认识和辨析，尽可能地避免学生用平面几何的惯性思维来考虑立体几何问题。例如，在平面几何中垂直于同一条直线的两条直线平行，但在立体几何中这两条直线可以异面，这说明平面几何的一些结论不能直接推广到空间几何中应用。又如，在平面几何中矩形的四个角为直角，而这个平面图形的直观图中的四个角就不是直角了。通过具体的观察可避免学生把一些平面几何知识直接应用到立体几何中来解决问题。

案例1：如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 O′A′=6，O′C′=2，则原图形是（ ）

A.正方形 B.矩形

C.菱形 D.梯形

分析：图中是水平放置图形的直观图，根据斜二测画法可知水平面中坐标轴夹角是45°，平行于纵轴的长度变为原来的一半，则平面图形中的四个角就不是直角了故排除A、B。平行于横轴的长度保持不变，平面图形的平行性保持不变。平面图行中两组对边O′A′，和C′B′平行且相等，故可排除D。所以选C。

作图

作图是学习立体几何的基本功，是培养学生在平面上绘制出空间图形的各部分之间的大小、位置和相互关系的直观图，也是培养学生空间想象力的核心。在作图中用到空间许多点、线、面的关系，所以作出空间图形的直观图是解决问题的第一步，做好图形利于解决问题。

案例2：过异面直线中的一条直线a，作一个平面平行于另一条直线b.

作法：在直线a上任取一点A，过直线b与直线外一点A作平面β，在平面β内作直线c∥b，过相交直线a与c作平面α，则平面α即为所求。

由此例可见，作空间图形取决于所求作的图形能否归结为空间作图的规则。作空间图形的可作元素很多，如：①是否用到题中所有的已知条件；②确定平面的方法（如过直线和直线外的一点有且仅有一个平面；两条相交直线可确定一个平面；两条平行直线可确定一个平面；不共线的三点可确定一个平面）③空间中点的选取。所有能作图的这些依据就是空间作图的可做元素类。空间作图不仅把最基本的作图元素联系在一起，更重要的是培养了逻辑推理。

用图

在立体几何学习中，学生经常会遇到一些要证明的结论与题中所给的条件一时无法联系，这时就要考虑用一个特殊的图形来结论，得出与结论中所涉及到的定义中的遗漏部分，这样的图形就是一个反例图形。如果学生心中有这样的典型图形，就可以迅速做出判断。

案例3：判断下面的命题是否正确？若一个几何体有两个面互相平行，其余各面是平行四边形，则这个几何体是棱柱。举一个反例如图。

分析：根据棱柱的定义：一般有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱。通过定义可以总结出棱柱的三个本质特征：①有两个面互相平行；②其余各面是平行四边形；③这些平行四边形面中，每相邻两个面的公共边都互相平行。图中不具备特征③故不是棱柱。

学习立体几何图形是核心，如果学生能在学习立体几何时每解决一个问题，就能画出直观图，通过数形结合解决。既培养了识图、作图能力，又培养了空间想象力。因为图形给学生直观的感觉，所以在立体几何初学期间学生要树立图形观，通过认识几何体的直观图，根据已知条件做出恰当的图形解决问题，用反例图形判断与定义或概念似是而非的一些结论。通过立体几何的学习培养学生空间想象能力和思维能力。

（作者单位：内蒙古自治区阿拉善盟第一中学）