高中数学常用数学思想方法的应用

摘 要： 数学思想是数学的灵魂，也是一种数学意识，指引我们去发现问题、思考问题、解决问题，并且可以对一些常见的问题提出一些新的解法或者是一些巧的解法，使我们的学习研究达到事半功倍的效果。在中学阶段常用的数学思想方法有：数形结合思想方法、分类讨论思想方法、函数与方程的思想方法、等价转化思想方法。高考试题也十分重视对于数学思想方法应用的考查，所以我们就更应该善于去应用数学思想方法分析问题、解决问题，来提升自己的数学能力，培养自己的数学素质。

关键词： 高中数学 数学思想方法 应用

美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而通常我们解题就是把要解的题变化为已经解过的题，然后用熟悉的题型去“套”，这样会使我们的做题速度加快，并且能够提高正确率，以达到事半功倍的效果。可是当真正遇到一些新题型，或者新解法时，我们又不能把它“套”进以前所见过的熟悉题型，这时该怎么办呢？只有多了解一些高中数学常用的数学思想方法，并且将它们融会贯通，灵活应用到每一道题里面，我们才能够提出新看法、找出巧解法。高考试题也十分重视对于数学思想方法应用的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想。因此，我们在平常训练时要有意识地应用数学思想方法去分析问题、解决问题，养成良好的习惯，培养自身的数学素质，提高自己数学研究方面的能力。

一、数形结合的思想方法

数形结合的思想方法，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在应用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义，以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

例：若方程lg（-x+3x-m）=lg（3-x）在x∈（0，3）内有唯一解，求实数m的取值范围.

分析：将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解题.

解：原方程变形为3-x＞0-x+3x-m=3-x

即：3-x＞0（x-2）=1-m

设曲线y=（x-2），x∈（0，3）和直线y=1-m，图像如图所示.由图可知：

①当1-m=0时，有唯一解，m=1;

②当1≤1-m＜4时，有唯一解，即-3＜m≤0.

m=1或-3＜m≤0

此题也可设曲线y=-（x-2）+1，x∈（0，3）和直线y=m后画出图像求解.

注:一般的，对方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了。

二、分类讨论的思想方法

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

引起分类讨论的原因主要有以下几个方面。

1.问题所涉及的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a＞0、a=0、a＜0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。

2.问题中涉及的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q=1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。

3.解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax＞2时，分a＞0、a=0和a＜0三种情况讨论。这称为含参型。

进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。

解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象，以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重；再次对其逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。

例：设0＜x＜1，a＞0且a≠1，比较|log（1-x）|与|log（1+x）|的大小.

分析：比较对数大小，应用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论.

解：0＜x＜1

0＜1-x＜1，1+x＞1

①当0＜a＜1时，log（1-x）＞0，log（1+x）＜0，所以

|log（1-x）|-|log（1+x）|=log（1-x）-［-log（1+x）］=log（1-x）＞0；

②当a＞1时，log（1-x）＜0，log（1+x）＞0，所以

|log（1-x）|-|log（1+x）|=-log（1-x）-log（1+x）=-log（1-x）＞0；

由①、②可知，|log（1-x）|＞|log（1+x）|.

三、函数与方程的思想方法

函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，应用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还能实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差数列、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。

例：若（z-x）-4（x-y）（y-z）=0，求证：x、y、z成等差数列.

分析：观察题设，发现正好是判别式b-4ac=0的形式，因此联想到构造一个一元二次方程进行求解.

证明：当x=y时，可得x=z，x、y、z成等差数列.

当x≠y时，设方程（x-y）t-（z-x）t+（y-z）=0，由=0得t=t，并易知t=1是方程的根.

t•t==1，即2y=x+z，x、y、z成等差数列.

四、等价转化的思想方法

等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。转化有等价转化与非等价转化。因此我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时既确保其等价性，又要保证逻辑上的正确性。

在实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从无理式到有理式、从分式到整式等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。

例：若x、y、z∈R且x+y+z=1，求（-1）（-1）（-1）的最小值.

分析：由已知x+y+z=1而联想到，只有将所求式变形为含代数式x+y+z，或者应用均值不等式后含xyz的形式.所以，关键是将所求式进行合理的变形，即等价转化.

解：（-1）（-1）（-1）=（1-x）（1-y）（1-z）

=（1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz）=（xy+yz+zx-xyz）

=++-1≥3-1=-1≥-1

=8

注：对所求式进行等价变换：先通分，再整理分子，最后拆分。将问题转化为求++的最小值，则不难由平均值不等式而进行解决。此题属于代数恒等变形题型，即代数式在形变中保持值不变。

参考文献：

［1］施献慧.数形结合思想在数学解题中的应用［J］.云南教育，2003，（35）.

［2］徐望斌.对解题教学中分类讨论思想方法的探讨［J］.湖北师范学院学报（自然科学版），2005，（4）.

［3］陈许生.例谈函数与方程思想解高考题［J］.科技信息，2011，（10）.

［4］吴炳光.浅谈等价转化思想在解题中的应用［J］.数学学习与研究，2010，（17）.

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