导数概念的通俗讲解

摘 要： 导数概念的讲解对于职业学校的学生来说，理论性强、难度大。常规讲解下学生表示不理解，老师也很无奈。作者尝试在导数的概念教学中，从头发的生长率入手，先引起学生的兴趣；再计算爬一座山的坡度，理解距离越近坡度的计算就越准确，当距离接近于0时，就是这一点的坡度值，为导数的几何意义做铺垫；最后用书本的引入例题自由落体运动在2秒的瞬时速度与计算极限的吻合，让学生体会导数就是这个特殊极限，从而引起学生对导数学习的兴趣。

关键词： 导数概念 头发生长率 两点的坡度 自由落体运动 瞬时速度

导数概念是高等数学的一个难点，在职业学校的教学中，学生往往还没有学习就先把自己吓倒，说导数和微积分根本学不懂，等着考试“挂红灯”.老师要想做好学生的思想工作，最好的方式莫过于上一堂让学生真的感受到高等数学并不是高不可攀的引入课，让学生树立学习的决心和信心.

一、常规导数概念的讲解学生似懂非懂

常规讲解导数概念一般分以下几个步骤.

1.定义的陈述：设函数y=f（x）在x及其近旁有定义，当自变量x在x处有增量x时，函数y=f（x）相应的有增量y=f（x+x）-f（x），当x0时，比值的极限存在，我们称这个极限就是函数y=f（x）在x处的导数，记为y′|.

即：f′（x）==.

2.理解概念要注意的几个要点：①函数应在x的近旁有定义.②x0但不能为0，y可以为0.③导数是一个局部的概念，与x的取值无关，只与函数y=f（x）在x旁的函数值有关.④若比值的极限不存在，我们说y=f（x）在x处的导数不存在.

3.通过一点的导数，推广讲解函数在一个区间内的导数，再推广到一个函数的导数.

4.回顾定义，总结出计算导数的三个步骤：①求增量y=f（x+x）-f（x），②算比值，③求极限.

5.通过例题巩固导数的概念.

这样讲解，符合数学学科的严谨性和科学性，但对于职业学校的学生来说，教学的效果并不好，我通过下面与生活相关的例子进行引入，收到了较好的效果，现写出来与同行共享.

二、生活中三个实例的通俗讲解帮助学生对导数概念的把握

实例一：你的头发，在过去的一年中，平均每秒增长多长毫米？在过去的半年中，平均每秒增长毫米？在过去的一个月中，平均每秒增长多少毫米？在过去的一星期中，平均每秒增长多少毫米？在过去的12小时中，平均每秒增长多长毫米？在过去的10分钟内，平均每秒增长多少毫米？在过去的10秒内，平均每秒增长多少毫米？在过去的0.1秒内，平均增长多少毫米？在过去的0.001秒内，平均增长多少毫米？在过去的0.00001秒内，平均增长多少毫米？……时间越来越短，当时间段接近于0秒时，这个平均增长速度就是你的头发在这个时刻的增长速度.这里头发的生长率，就是导数的概念，是长度对时间的求导.

由平时学生不会考虑的头发增长速度的问题讲解联系到课堂要学习的导数，引起了学生学习的兴趣，去除了学生对导数微积分学习的畏惧心理，为师生的学习合作打下基础.

实例二：我们爬一座山，一座山的高度与上山的路程的比，就是我们上山的平均坡度；山一半的高度与半山腰到山顶上山路程的比，就是我们上山后一半的坡度；山三分之一的高度与后三分之一的上山路程的比，就是我们上山后三分之一的坡度……距离越来越短，一直这样无止境缩小下去，当距离缩短到接近于0时，就是我们站在那一个点的坡度值.这一点的坡度，也是我们讲的导数的概念，是高度对距离的求导.

由纵向的高度与横向的距离比的引入为导数几何意义的学习打下基础，避免我们的学生因害怕图形，阻碍对导数概念的进一步理解.

实例三：物理上我们会计算变速直线运动的物体在一段时间内的平均速度.但我们不能计算变速直线运动的物体在某一个时刻的速度，但导数解决了这个生活中的难题.我们以自由落体运动在2秒时的瞬时速度为例，看看如何能够计算出物体的瞬时速度.

附：自由落体运动在2秒到3秒内部分时刻的平均速度表

解读表格，分析时间越接近2秒，平均速度越接近2秒时的自由落体运动的瞬时速度，当时间无限趋近于2秒时的平均速度的极限值就是自由落体运动物体在2秒时的瞬时速度.

即：==

=

=

=×9.8×（4+4t）=19.8=v（2）

由极限值正好等于2秒时刻的瞬时速度值，告诉学生这不是一个偶然的巧合，这是数学发展史上经过大量的验证与演绎逐渐得出来的导数的概念.这不仅让学生感受数学学科与物理学科的联系，而且让学生感受数学学科与我们生活的息息相关，数学的发展更离不开数学家们坚持不懈的努力与非凡的意志力.我们也要在学习生活中不断培养自己的耐心与钻研精神，同时坚信我们的努力定有回报.

在这样引入的基础上，再对导数概念进行常规的讲解训练，达到了让学生快乐学习的目的.

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