现代数理逻辑在马克思主义的哲学研究中的作用

现代逻辑，也称为数理逻辑，是在传统逻辑的基础上，发端于17世纪，成熟于20世纪的一门年轻的学科。它自身是思维科学的一个分支，也是数学的一个分支。当前，数理逻辑有两个重要特征应当引起马克思主义哲学工作者的注意。

第一，由于具有强有力的形式表达和形式分析的能力，数理逻辑在哲学、语言学、经济学、法学、计算机科学、人工智能、决策学等诸多领域的现展中，得到了广泛的实质性的应用。数理逻辑的方法，已成为当代人文科学的一种重要方法。熟悉和掌握数理逻辑基础，已成为当代人文科学工作者，包括马克思主义哲学工作者应当具备的一种知识结构和素养。一个最简单的事实是，如果不懂数理逻辑，上述诸多领域中的一些最新研究成果实际上不能读懂，在此基础上对这些成果的所作的哲学概括和思考难免不得要领。讲到数理逻辑，容易联系到分析哲学。不懂数理逻辑当然难以懂分析哲学，但如果因此以为，对于一个哲学工作者来说，懂数理逻辑的意义只在于可以懂分析哲学，则是一个误解。

第二，数理逻辑的一系列重要成果，极富哲学意蕴，有些对传统的哲学思考颇具挑战性，是马克思主义哲学审视和丰富自己的珍贵营养。由于历史的原因，中国的马克思主义哲学工作者基本上（至少在技术上）不熟悉数理逻辑。从马克思主义哲学的视角，对数理逻辑的科学成果进行哲学思考和提炼，是一个重大课题。

本文尝试尽量避开技术性环节，介绍现代数理逻辑的一两个重要成果，并对此作些力所能及的哲学分析。作者不是马克思主义哲学的专业工作者，因此，这种分析将注定不会是到位的。因此，我们面临的同一问题可以作两种不同的表述：我们缺少在数理逻辑上训练有素的马克思主义哲学工作者，或者说，我们缺少在马克思主义哲学方面训练有素的数理逻辑工作者。

1．传统的哲学思考只注意到了有穷和无穷的对立统一，但没有注意到无穷内部的对立统一。

在我所受的马克思主义哲学教育中，对不可知论的一个最通俗也曾经是最普及的驳斥，是这样表述的：客观世界的发展是无穷的，人的认识能力的发展也是无穷的。因此，只有尚未认识的事物，没有不可认识的事物。

这个驳斥，包含着一个前提：无穷的事物在量上是无差异的。也就是说，进行数量比较，只有在有穷事物之间，或者在有穷与无穷之间才有意义，在无穷的事物之间则没有意义。如果不预设这个前提，即如果事实上无穷的事物之间也如同有穷的事物之间一样，存在着数量上的等级差别，那么，作为客观世界发展的无穷，完全可能比作为人的认识能力发展的无穷“长”得多，这就不是在驳斥而是在论证不可知论了。

这里，我们面临的是一个逻辑学的常识问题。现代逻辑早已证明，基于实无穷的观点，无穷集合之间存在着不同的数量等级，并且这种等级的数量是无穷的！也就是说，上述驳斥所预设的那个前提是不成立的。

在无穷集合之间如何进行量的比较呢？其实，这种比较的方法，和在有穷事物之间进行比较的方法是一样的，即构造一一对应。五个苹果为什么和五个梨子一样多？因为它们之间能够建立一一对应；五个苹果为什么比四个梨子多？因为，第一，两者之间无法建立一一对应，第二，后者能和前者的一个真子集建立一一对应（集合A的任一元素都是集合B的元素，但存在集合B的元素不是集合A的元素，则称A是B的真子集。例如，偶数集就是自然数集的真子集：任一偶数都是自然数，但有的自然数不是偶数）。同样，对于任意无穷集合A和B，如果两者能够建立一一对应，则属于相同的数量等级，称为等势；如果两者不能建立一一对应，但（不妨说）后者能和前者的一个真子集建立一一对应，则前者比后者的数量等级要高。

不难在自然数集和偶数集之间建立一一对应（令1对应于2，2对应于4，3对应于6，……一般地，n对应于2n），因此，在无穷的领域里，整体和部分在数量上可以相等。同样可以在自然数和有理数之间建立一一对应。但是，德国逻辑学家康托尔证明了：实数无法和自然数建立一一对应，这说明前者比后者的数量级要高，即所有的实数要比所有的自然数多得多；一个无穷集合的幂集（即以其所有子集为元素组成的集合）比该集合要高一个数量级，这就是说，无穷集合的数量级是无穷的。表示无穷集合数量等级的概念是基数。自然数集“quot;稀”，它的基数记为ω。显然，偶数和有理数的基数都是ω。实数的基数记为c。显然，基数为c的集合的幂集的基数是c，以此类推。

因此，根据“人的认识能力是无穷的”，推不出“世界上没有不可认识的事物”，除非能证明，作为认识对象的无穷，和作为人的认识能力的无穷，其基数前者不大于后者。当我们严格定义了无穷集合间的等势，并且确定了自然数集与它的真子集偶数之间的一一对应，我们实际上严格证明了，在无穷的领域中，整体可以等于部分。整体可以等于部分，这个闪烁着辩证法光辉的命题，在传统的哲学思考中是靠思辩把握的，而在数理逻辑中，它是可严格证明的。事实上，数理逻辑提供了这样一种可能性，对一些以往只能靠思辩来把握的哲学命题，提供严格的形式刻划和证明，或者一般地说，为哲学提供一种形式方法。西方兴起的形式哲学，应该引起我国马克思主义哲学工作者应有的注意。笔者写过一篇论文，尝试从几个可接受度相当高的假设出发证明：空间状态的集合比时间状态的集合高一个基数。因此，时间状态和空间状态的对应，不是一对一的关系，而是一对多的关系。这就证明“运动着的物体每一瞬间既在这儿又不在这儿”，“生长着的个体每一瞬间既是它身又不是它自身”这样的以往只能以哲学思辩来把握的辨证命题，提供了一个形式证明。我认为，这篇论文的主要意义，在于在人文科学包括哲学研究中倡导一种形式分析的方法。论文在一家大学的学报上发表。事前，编辑先生曾建议是否在自然科学版上发表，我坚持上人文科学版。这是我的一个用心。我认为，此用心颇具重要性。

在几乎所有的科学理论中，只有数理逻辑把自己的理论明确区分为两个部分：对象理论和元理论。一般地说，一门科学的对象理论的对象，就是这门科学的对象；一门科学的元理论的对象，是这门科学的对象理论。具体地说，在数理逻辑中，一个逻辑系统的对象理论，就是这个系统自身；这个逻辑系统的元理论，是以该逻辑系统为研究对象的理论。一个系统的元理论要解决的两个最基本的问题是：第一，这个系统是否一致？即是否不矛盾，是否能确保两个互相矛盾的命题在系统中不都可证？第二，这个系统是否完全？即相关的真理（真命题）在系统中是否都可证？例如，一个算术系统如果是完全的，那么，有关算术的所有真命题在其中都可证，否则，它就是不完全的。一致性有关一个理论能否成立，显然，一个不一致，即自相矛盾的理论，不可能是科学理论；而完全性有关一个理论的能力及其限度。也就是说，数理逻辑具有一个极其鲜明的特点：它在构造自己以说明思维或数学的规律的时候，首先极其负责地审视自己：自己是否一致？如果是的话，如何证明？自己是否有足够的能力把握思维和数学领域中的所有真理？如果是的话，如何证明？如果不是的话，这种能力的限度在哪里？如何证明？

数理逻辑的这种“责任心”不是自发地产生的，而是科学发展的实践“迫使”它具备的。

问题最早源于欧氏几何。欧氏几何有五条公理。其中第五条公理是：在同一平面上，过直线外一点可以并且只可以作一条直线和该直线平行。数学家因为这条公理的真理性不太直观而试图把它作为定理从其余四条公理中推出。当直接证明不能奏效时，数学家们用了反证法，即把第五公理的反命题作为一条新的公理，和原来的四条公理一起组成一个新的系统（后来称为非欧几何），并设法在其中推出矛盾。结果，非欧几何中推出了三百多个“怪诞”的定理，如“三角形三内角之和大于或小于180”，但就是推不出矛盾。数学家由此考虑，非欧几何是否有可能不矛盾？这时，一个出乎数学家们意料的结论被证明了：欧氏几何和自然数算术与非欧几何都是等价的！就是说，如果欧氏几何或自然数算术是不矛盾的，则非欧几何也是不矛盾的；也就是说，如果“怪诞的”非欧几何是矛盾的，则欧氏几何和自然数算术也是矛盾的！而人们构造非欧几何的目的，就是试图证明它的自相矛盾！这样，作为人类智慧杰作的欧氏几何，似乎是天经地义的自然数算术，其作为科学理论的合法性，立刻变得十分可疑。数学家突然认识到：第一，欧氏几何和自然数算术的一致性尚未得到证明；第二，这种一致性必须加以证明，否则，人们就没有理由相信几何与算术的定理为真理，因为，如果这样的系统是不一致的，那么，这些定理的反命题同样是可证的。这是科学发展史上一个多么应当引起重视的亮点！一个科学理论，在研究相关领域客观规律的同时，严格的自我审视原来竟是如此至关重要！

用数理逻辑的工具重新表达和构造数学系统，并证明它们的一致性，以及另外一些重要的元性质，这就是数理逻辑的任务。这是一个巨大的挑战和艰辛的探索。在这一过程中，数理逻辑自身得到了长足的发展而臻于成熟，取得了一系列重大的成果，其中包括著名的哥德尔不完全性定理。哥德尔不完全性定理被认为是可以和爱因斯坦相对论齐名的重大成果。

哥德尔不完全性定理包括两个重要结论：

第一个结论：算术形式系统（以及一切不弱于算术系统的形式系统）如果是一致的，则这种一致性在系统内是不可证的。

所谓形式系统，是指用数理逻辑形式化的方法构造的演绎系统。一个形式系统的能力，包括它的形式语言的刻划能力和演绎结构的推导能力。所谓不弱于算术系统，就是指这种刻划和推导能力不弱于算术系统。上述结论告诉我们：这样的系统的一致性，即不矛盾性的证明，不可能在本系统内作出，要完成这样的证明，必须使用（至少在某些方面）比本系统更强、更复杂些的工具才有可能。哥德尔在使用有限型泛函法所构造的系统（称为Y系统）中，证明了算术系统的一致性。但这种证明只是相对的。因为Y系统比算术系统更强，因此由哥德尔定理，它的一致性同样在自身内部是不可证的。要证明Y系统的一致性，需要更强的工具。这说明，算术系统一致性的证明，注定是相对的。

第二个结论：算术形式系统（以及一切不弱于算术系统的形式系统）如果是一致的，则是不完全的，即存在着一个命题，这个命题和它的否定在系统中都不可证。由排中律，一个命题及其否定中总有一个命题是真的，因此，不完全性是指：并非任何真命题都可证，也就是说，算术系统不可能证明所有的算术真理。

在数理逻辑这段令人眼花缭乱的发展历史和科学成果中，我认为，至少以下几点应该引起马克思主义哲学工作者的注意和思考。

第一，一个科学理论，在研究特定的对象世界的同时，应该把审视和研究自身作为本理论的一个组成部分。现在相对于艺术学，也有元艺术学，等等，但是，和现代逻辑不同的是，艺术学并没有把元艺术学当作自己不可或缺的一个组成部分。对各门科学理论应当如此，对马克思主义哲学似乎也应当如此，事实上，马克思主义哲学体系中，业已包括了一些元哲学的内容，问题在于，这些内容是否应当并且可以形成系统的马克思主义哲学的元理论？如果回答是肯定的，那么，马克思主义哲学的元理论应当包括哪些主要课题？

让我举一个例子来说明马克思主义哲学元理论应当关注的问题。2000年的研究生入学政治考试中有一道试题：用对立统一规律分析改革开放的巨大成就和负面影响的关系。答案要点：（1）两点论：改革开放取得巨大成就的同时出现某些负面影响是必然的；（2）重点论：巨大成就是矛盾的主要方面，决定改革开放的性质；（3）转化论：不能忽视负面影响，在一定的条件下负面影响有可能转化为矛盾的主要方面，而改变改革开放的性质。不难发现，上述这些理论要点，当年就是用来证明“成绩最大最大最大，损失最小最小最小的”，就是用来分析“”的“九个指头”和“一个指头”的关系的。现在几乎一字不动地用来论证改革开放。如果上述这样的哲学分析都是成立的，则允许作此种分析的哲学理论的一致性就应受到严重质疑。

第二，一个科学理论，对于说明自身是不够的。算术系统是如此，马克思主义哲学似乎也是如此。例如，“任何事物都将走向自己的反面”（恩格斯语）这一基本原理，就不能说明自身，否则将导致悖论。因此，就从说明和研究自身而言，马克思主义哲学也必须发展和突破自己。或者是否可以这么说，马克思主义哲学的元理论，必然比马克思主义哲学理论体系自身丰富。

第三，哥德尔不完全定理说明，数理逻辑是这样一种科学理论和真理形式，它明确揭示和证明自己把握真理的能力限度。这里，将合乎逻辑地提出这样的问题：是否所有的科学理论都如同数理逻辑一样，存在并能证明自身把握相关领域中真理的能力限度？如果不是，那就是说，存在着两类科学理论，第一类如数理逻辑，第二类不同于数理逻辑，它具有完全把握相关领域全部真理的能力。这样，紧接着的问题自然是，如何证明这一点？总之，数理逻辑有资格向所有的科学理论，包括马克思主义哲学提出这样的问题：你是否有能力把握你的研究领域中的所有真理？如果回答是肯定的，那么请证明；如果回答是否定的，那么，你的这种能力的限度在哪里？同样请证明。

最后顺便提一下，上文所提到的“怪诞”的非欧几何，最后在微观和宇观世界中找到了自己的模型，而被证明是和欧氏几何一样的科学理论。非欧几何是从哪里来的？是从实践中来的吗？不是。是基于感性经验的吗？也不是。它是如此地违背人们的实践经验和感性直觉，以至人们当初构造它的唯一目的是想证明它的不可能成立。它是在自己的理论形态出现上千年后才找到自己的现实模型。马克思主义哲学的专家们应当充满兴趣地在科学的海滩边拾取这些对自己颇具挑战性的贝壳。本文涉及的只是一二个这样的贝壳。事实上，这样的贝壳并不少。