数学思想方法教学的三个着力点

【摘要】 数学思想方法教学的三个着力点：深入研究教材，挖掘教材背后蕴含的数学思想方法；细化教学过程，有意识地落实数学思想方法；突出数学思想方法在解题教学中的指导与统摄.

【关键词】 数学思想方法；数学教学；着力点

数学思想方法是指支配学习者如何学习、如何思考、如何解决问题的一套程序.这套程序支配的不是外在的数学符号，而是学生自己的思维过程，因而从心理学角度看，它属于策略性知识范畴，即数学认知策略. 数学思想方法蕴含于数学知识与技能之中，需要结合数学知识与技能的学习来进行教学. 然而中学数学课程内容的编排一般是沿知识的纵方向展开的.大量的数学思想方法只是蕴涵在数学知识的体系之中，并没有明确的揭示和总结.这就产生了如何在数学课中进行数学思想方法教学的问题.下面笔者结合自己的教学实践就数学思想方法教学的三个着力点作以探讨.

一、深入研究教材，挖掘教材背后蕴含的数学思想方法

数学思想方法是前人探索数学真理过程的积累，但数学教材并不是这种探索过程的真实记录，恰恰相反，教材对完美演绎形式的追求往往掩盖了内在的数学思想方法，因此我们必须深入分析教材，挖掘教材背后蕴含的数学思想方法，使教材发挥更大的学习功能.

这样，对初中阶段绝对值概念及其反映的数学思想方法就有了一个完整的认识.于是教师对绝对值概念的教学可以重点地进行如下两方面的设计：引入绝对值概念时，有意识地渗透数形结合、分类讨论的思想方法； 运用绝对值概念解题时，运用分类讨论、数形结合等常用的数学思想方法来指导学生的思考，让学生对绝对值概念及其反映的数学思想方法不断地得到领悟.

又如“一元二次方程”这一章，化归思想是本章的主导思想.一元二次方程化归为一元一次方程来解，无理方程化归为有理方程来解，分式方程化归为整式方程来解，高次方程化归为一元一次方程或一元二次方程来解，二元二次方程组化归为一元二次方程或二元一次方程组来解.还有整体思想，根与系数关系的应用就体现了整体思想. 这章还渗透了配方法、消元法、降次法、换元法等数学方法.教师对教材中数学思想方法理解的深度和广度，直接影响着教学方法的设计，决定着教学的成败，所以我们必须把研究教材放在第一位，全面把握教材，理解教材背后蕴含的数学思想方法，以制订出良好的教学策略.

二、细化教学过程，有意识地落实数学思想方法

1. 在数学概念、定理的教学中，有意识地落实数学思想方法

数学概念、定理本身就蕴含者数学思想方法，教学时要有意识地落实.所谓有意识地进行数学思想方法教学，就是对数学概念、定理教学的过程进行精心设计，将凝结在数学概念、定理中的数学家的观察、试验、归纳、概括、逻辑推理与证明等思维活动打开，并设计一定的载体（如教学情境、教师讲解、学生探究和反思、变式训练等），用以展开这些数学思维活动，从而使数学的思想方法、思维方法及研究方法得以渗透和提炼，充分地向学生展现如何思考的过程，使学生领悟其中的数学思想方法.

例如，在教学“圆周角”一节时，教师有意识地设置下面的问题情境，来渗透数学思想方法.

问题1：请你画出同一条弧对应的圆心角及圆周角的基本图形.

设计意图：训练学生画图能力，渗透分类的思考方法，让学生通过画图（如图1、图2、图3）观察到：一条弧对应一个圆心角，但一条弧对应着无数个圆周角，培养学生的观察能力.

问题2：一条弧所对的圆心角与它所对的圆周角有什么大小关系？

设计意图：让学生动手测量、观察，发现它们之间的关系，并得出猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.培养学生观察、归纳、猜想的数学思维方法.

问题3：根据图1，请说一说你的思路：如何证明上面得到的猜想？

问题4，对于图2、图3的情况，请你独立证明，证明后与同伴交流.

设计意图：有意识地渗透转化、类比的数学思想方法.

事实上，中学数学概念、定理在教科书中往往是在抽象意识、化归意识、分类、一般化思想指导下设计的，教学时，要把这些数学思想方法的精神实质传递给学生，让学生在探索思考的过程中获得对数学思想方法的体验和领悟，进而形成运用这些数学思想方法进行思考的意识和习惯.

2. 重视归纳总结，落实数学思想方法的概括和提炼

数学思想既来源于数学基础知识与基本方法，又高于数学基础知识与基本方法，它指导知识与方法的运用，能使知识向更深更高层次发展. 在数学课上，由于能力、心理发展的限制，学生往往只注意了数学知识的学习，而忽视了联结这些知识的观点，以及由此产生的解决问题的方法与策略.即使有所觉察，也是处于“朦朦胧胧”“似有所悟”的状态.所以在反复渗透数学思想方法的同时，要引导学生进行对数学思想方法进行归纳总结.例如，涉及比较大小的问题，可这样提问：“到今天为止，比较两个数的大小或两个代数式的大小，你会哪些方法了？”来引导学生进行归纳总结.在课堂小结中，既要让学生小结数学的基础知识与技能，又要让学生小结基础知识与技能背后蕴含的数学思想方法.例如，“同底数幂的乘法（1）”这节课的小结可这样设计：今天我们发现、归纳、运用了一个新的法则，请同学们思考：

（1）法则的内容是什么？

（2）我们是怎样发现和归纳这个法则的（从特殊到一般、观察、归纳、发现等数学思想方法）？

（3）在运用法则过程中要注意什么？

通过概括和提炼，使学生对数学思想方法的理解由“朦朦胧胧”到逐渐明朗.

三、突出数学思想方法在解题教学中的指导与统摄

1. 解题教学，不是搞题型训练，更不是搞题海战术，它的正确含义是要通过解题和反思活动，在解题的基础上总结归纳解题方法，并上升到思想的高度. 学生学习数学思想方法一般来说可分以下三个阶段：模仿形式阶段；初步应用阶段；自觉应用阶段.

在模仿阶段，教师应及时引导学生进行总结.如学生开始学习用换元法解分式方程时，对换元法的理解是按老师要求——设未知数、换元、解换元后的方程等解题步骤，这些解题步骤教师要引导学生进行总结.此时，学生是把换元法当做解题步骤来记忆，而未能体会出换元思想是数学中常用的思想方法.

在初步应用阶段，教师应设计变式训练，有意识地引导学生运用和反思数学思想方法，让学生慢慢理解解题过程中所使用的探索方法和策略，并会概括总结出来.如换元法解分式方程，由题目注明要求用换元法解分式方程，到题目没有注明换元法时，学生能主动地用换元法解方程.这说明学生对数学思想的认识已经比较明朗，能够初步应用.

随着学生对数学思想方法深入地理解与应用，学生能依据题意，恰当运用某种思想方法进行探索，以求得问题的解决.

例如，对于解下列关于x的方程：

事实上，学生学习数学思想方法，是不可能一步到位的，应有一个相应的循序渐进、由浅入深和循环反复的过程.

2.充分发挥数学思想方法对发现解题途径的定向、联想与转化功能，突出数学思想方法对解题的统摄与引领作用.

例如，对“简单的二元二次方程组的教学”，教师在讲每一道例题时，要从总体上把握住消元和降次这两种数学方法，将其确立为解这类题的指导思想，并由此设计教学方法，促使学生明白，什么情况下可以考虑用消元法，如何运用消元的方法（代入、加减），什么情况下可以考虑用降次的方法，如何运用降次的方法（因式分解），这样，学生在数学思想方法这一层次上，就能比较全面和确切地把握解二元二次方程组的解法.

又如，比较 | a | + | b | 与 | a + b | 的大小.

解这道题要分析数a，b，a + b的符号，如按常规，仍将a，b分别划分为正数、负数和零，那么问题就有九种可能情况，显然很繁杂，但如果引导学生将a，b的符号分为“同号”“异号”“至少一个为零”，那么问题就只有三种可能.由此，渗透分类思想的本质属性，使学生领悟到分类思想方法的重要作用.

数学思想方法的形成绝不是一朝一夕可以实现的，必须日积月累、长期渗透才能逐渐为学生所掌握.学生通过对数学思想方法的反复学习和领悟，对数学思想方法的认识不断提高，可以逐渐内化为自己的行动方式，这时就可以使他们对自己的学习过程、解决问题的过程以及解题时所采用的数学方法的合理性等进行自觉的、及时的调控.一旦学生的数学思想方法具备了这样的水平，我们就可以说学生的思考达到了策略水平.

【参考文献】

[1]邵光华.作为教育任务的数学思想方法[J].上海：上海教育出版社，2009 .