中考数学典型综合题赏析(上)

一年一度的中考已经结束，纵观2007年全国各地的中考数学试题，我们发现有许多有代表性的综合题，认真研究这些典型的综合题，对我们把握学习的方向，掌握学习的尺度，提高学习的效率，是很有必要的。下面以2007年全国各地的一些典型中考题为例，说明它们的特点与解法，供同学们学习时参考。

一、 操作探索与推理论证同行

操作是直觉思维，推理是逻辑思维，巧妙地将它们结合在一起是近年来中考命题的一个亮点，2007年各地中考题又有了新发展，操作中得到的结论有成立的，也有不成立的，前者要举出反例说明其不成立，后者要通过推理说明其成立。

例1（2007年四川省资阳市中考题）如图1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点（不与A、C重合），PEBC于点E，PFCD于点F。

（1）求证：BP=DP；

（2）如图2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；

（3）试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论。

分析（1）是一个常见问题，利用全等或正方形的轴对称性即可得证；（2）是一个探索题，可在操作中发现结论不成立，只要举出反例即可；（3）也是一个探索题，在操作中可发现BE与DF始终相等，再证明这一猜想成立即可。

解:方法一：在ABP与ADP中,利用全等可得BP=DP。

方法二:利用正方形的轴对称性,可得BP=DP

(2)不是总成立。当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转,点P旋转到BC边上时,DP>DC>BP,此时BP=DP不成立(说明:未用举反例的方法说理的不得分)。

(3)连接BE、DF，则BE与DF始终相等.证明如下：

在图1中，可证四边形PECF为正方形，在BEC与DFC中，可证BEC≌DFC,从而有BE=DF。

点评本题将操作猜想与推理论证有机结合在一起，先探索出有关结论，再举出反例说明结论不成立或利用推理论证说明结论成立，体现了探索数学结论的一般方法。

二、阅读理解与即时应用并举

利用阅读材料向考生介绍一些新知识、新方法、新思想，然后要求考生应用这些新知识、新方法、新思想去解决一些新问题，用以考查考生的自主学习能力和数学应用意识。这种知识与方法的综合题，背景公平，要求一致，能充分体现考生可持续发展的潜力。

解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；

（2）请利用以上知识解方程x4-x2-6=0。

分析首先通过阅读理解用换元法解高次方程的基本思想，再应用换元法来解决问题。

解：（1）换元法：

（2）设x2=y,那么原方程可化为y2-y-6=0,解得y1=3;y2=-2

点评本题通过阅读材料向同学们介绍了用换元法解高次方程的方法，要求同学们从思想方法的高度来领悟这一解题技巧，并且要“活学活用”，对能力的要求较高。

三、 统一要求与个性选择互补

对于同一份试卷，如何在统一要求的基础上体现每个考生的个性（这是新课程标准所倡导的），是近年来各地命题专家们重点研究的课题，其研究成果构成了中考试题中的一道道亮丽的风景。

例3（2007年江西省中考题）如图3，在正六边形ABCDEF中，对角线AE与BF相交于点M，BD与CE相交于N。

（1）观察图形，写出图中两个不同形状的特殊四边形；

（2）选择（1）中的一个结论加以证明。

分析首先观察图形，找出两个不同形状的特殊四边形，这是共性要求，然后要求考生对自己找出的两个不同形状的特殊四边形进行证明，这是个性选择。

解： （1）矩形ABDE，矩形BCEF；或菱形BNEM；或直角梯形BDEM，AENB等。

(2)①选择ABDE是矩形。

证明因为ABCDEF是正六边形，∠AFE=∠FAB=120°，∠EAF=30°，∠EAB

=∠FAB-∠FAE=90°.同理可证∠ABD=∠BDE=90°四边形ABDE是矩形.

②选择BNEM 是菱形。

证明同理可证：∠FBC=∠ECB=90°，∠EAB=∠ABD=90°，BM∥NE，BN∥ME.四边形BNEM是平行四边形，BC=DE，∠CBD=∠DEN=30°，∠BNC=∠ENDBCN≌EDN.

四边形BNEM是菱形。

③选择四边形BCEM是直角梯形。

证明同理可证：BM∥CE，∠FBC=90°，又由BC与ME不平行，得四边形BCEM是直角梯形.

点评要求从图形中找出两个不同形状的特殊四边形，这是统一要求，随着自己所找的图形的不同，证明的方法也各异，每位考生都可以根据自己的情况选择图形与解题的方法，充分体现了“不同人在数学上得到不同的发展”的新课程理念。

四、 特殊结论与一般规律相辅

“从特殊到一般”就是从特殊、个别的事例推出一般规律的过程，是一个归纳、创新的过程，在这个过程中，试验是基础，在试验中要注意分析和观察规律；观察是关键，在观察中要透过现象看本质，从特殊中找出一般；猜想是核心，会推理判断，能归纳猜想，就能有所发现；论证是结果，是对实验、观察、猜想的科学总结。

例4（2007年浙江省金华市中考题）学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律。如图4，在同一时间，身高为1.6m的小明（AB）的影子BC长是3m，而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6m。

（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G。

（2）求路灯灯泡的垂直高度GH；

点评本题寓特殊情况下结论的计算与一般情况下规律的探索于一体，通过特例的计算，发现其规律，探索一般性结论就容易了，可见命题老师的良苦用心与创新设计，令人拍案叫绝。

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