中考函数及其图像考点揭密

近年来，有关函数图像的问题已成为中考的一大热点.解决函数图像问题需要熟练掌握一次函数(包括正比例函数)、二次函数、反比例函数的性质和图像，还要具有一定的观察、分析、判断能力.同学们对此普遍感到棘手，为此，笔者试图通过对2006年部分中考题的归类，探讨函数图像问题的基础点、考点及解题思路，以期对同学们的复习有所帮助.

基础知识点

一、平面直角坐标系

1.平面直角坐标系：两条具有公共原点且互相垂直的数轴构成的图形叫做平面直角坐标系.

2.实数和数轴上的点一一对应，有序实数对和坐标平面内的点一一对应；所有有序实数对所对应的点组成了一个坐标平面.

二、函数及其图像

1.函数：设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说 x是自变量， y是自变量 x的函数.函数实际上是变量之间的某种对应关系.

2.函数关系表示法：

（1）解析法：用数学式子表示变量间的函数关系的方法叫做解析法.

（2）列表法：用表格表示变量间的函数关系的方法叫做列表法.

（3）图像法：用图像表示变量间的函数关系的方法叫做图像法.

三、一次函数和正比例函数

1.定义：一般地，如果y=kx+b （k、b 是常数， k≠0），那么 y叫做 x的一次函数.当b=0时，则有y=kx（k为常数，且 k≠0），这时， y叫做 x的正比例函数.

2.图像：一次函数的图像是经过点（-b/k,0 ）和（0，b）的一条直线.正比例函数的图像是经过原点（0，0）和点（1，k）的一条直线.

3.性质：

（1）正比例函数：

当 k＞0时,直线经过原点、一、三象限，y随 x的增大而增大；

当 k＜0时,直线经过原点、二、四象限， y随 x的增大而减小.

（2）一次函数：

当 k＞0， b＞0时，直线经过一、二、三象限， y随 x的增大而增大；

当 k＞0， b＜0时，直线经过一、三、四象限， y随 x的增大而增大；

当 k＜0， b＞0时，直线经过一、二、四象限， y随 x的增大而减小；

当 k＜0， b＜0时，直线经过二、三、四象限， y随x的增大而减小.

4.与方程（组）、不等式的关系

（1）直线y=kx+b 与 x轴交点的横坐标就是方程 kx+b=0的解；

（2）两条直线在同一坐标系中的交点就是对应的二元一次方程组的解；

（3）函数 y=kx+b 的函数值 y＞0时自变量的取值就是不等式 kx+b＞0的解集.

同样，函数y=kx+b 的函数值 y＜0时自变量的取值就是不等式 kx+b＜0的解集.

四、反比例函数

1.定义：形如 y=k/x（ k≠0）的函数叫做反比例函数.

2.图像：反比例函数的图像是双曲线.

3.性质：当 k＞0时，图像的两个分支分别分布在第一、三象限，在每一象限内， y随 x的增大而减小；当 k＜0时，图像的两个分支分别分布在第二、四象限，在每一象限内， y随x的增大而增大.

五、二次函数

1.定义：形如 y=ax2+bx+c的函数叫做二次函数.

2.图像：二次函数的图像是一条抛物线.

3.顶点是(-b/2a,4ac-b2/4a) ，对称轴是直线x=-b/2a.

4.开口方向：

当 a＞0时，抛物线开口向上，当x=-b/2a 时有最小值为4ac-b2/4a；

当 a＜0时，抛物线开口向下，当 x=-b/2a时有最大值为4ac-b2/4a.

考点和热点

考点：平面直角坐标系的有关概念；点的坐标的意义；一次函数与反比例函数的自变量的取值范围；应用一次函数、反比例函数、二次函数的概念、图像和性质解题；应用待定系数法确定一次函数、反比例函数与二次函数的表达式；应用函数知识解决简单的实际问题.

热点:1.对各象限内的点的坐标符号的确定和关于x轴、 y轴及坐标原点的对称点的确定.有时也与方程（组）、不等式（组）等内容结合起来考查.

2.对所给定的函数，确定其自变量的取值范围和建立简单的函数关系式.

3.根据一次函数与反比例函数图像的位置判断系数的符号或函数增减情况，根据一次函数与反比例函数的性质与系数的符号判断其图像的大致位置.

4.用待定系数法求一次函数、反比例函数的关系表达式，常与方程（组）、图形的面积等知识结合起来考查.

5.应用一次函数、反比例函数知识解决简单的实际问题.

6.考查“数形结合思想”和应用图像信息的能力.