《反比例函数》考点例析

反比例函数是初中阶段我们学习到的一种重要的函数，有关反比例函数的试题在各类考试中也经常出现. 为了帮助同学们学习好本章的知识，进行系统地复习，现归纳出以下几个重要的考点.

考点一：确定反比例函数的关系式

确定反比例函数的关系式的题目主要有以下三种情况.

第一种情况：直接根据题意列出关系式.

例1某种灯的使用寿命为1000小时，它的可使用天数y与平均每天使用的小时数x之间的关系式为___________.

分析：单纯地根据实际问题列出反比例函数关系式的题目难度一般不大.只要读懂实际问题的意思，就能顺利解决问题.

根据题意可得，xy＝1000，所以有y＝.

第二种情况：运用待定系数法，利用给出的一组对应值求出关系式.

例2 在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积V时，气体的密度j也随之改变.在一定范围内，密度j是容积V的反比例函数.当容积为5m3时，密度是1.4kg/m3，则j与V的函数关系式为_____.

分析：题目中已经指出了密度j是容积V的反比例函数，因此只要用待定系数法，设出反比例函数的关系式，再根据一组对应的值，就能够求出j与V的函数关系式.

因为在一定范围内，密度j是容积V的反比例函数，所以设j(k≠0).因为当容积为5m3时，密度是1.4kg/m3，所以有1.4＝，解得k＝7，因此有j.

第三种情况：根据待定系数法，利用反比例函数图象上一个点的坐标求出关系式.

例3 已知反比例函数(k≠0)的图象经过点（1，－2），则这个函数的表达式是____.

分析：由待定系数法确定反比例函数的关系式主要有两种情况：（1）给出一组对应的值；（2）给出双曲线上一个点的坐标.

根据反比例函数(k≠0)的图象经过点（1，－2），可得－2＝ ，解得k＝－2，所以这个函数的表达式是.

考点二：确定反比例函数自变量取值范围

例4函数y＝自变量x的取值范围是（）.

A.x＞0 B.x＜0 C.x＝0 D.x≠0

分析：考查函数自变量取值范围的题目，常见的有四种情况：（1）对整式，自变量取一切实数；（2）对分式，分母不能等于0；（3）对根式，被开方数大于等于0；（4）在实际问题中还应使实际问题有意义.

根据分式的意义可知，x的值不能使分母等于0，因此选择D.

考点三：确定实际问题中反比例函数的图象

例5 已知甲、乙两地相距s（km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t （h）与行驶速度v（km/h）的函数关系图象大致是（ ）.

分析：根据题意可得，汽车行驶的时间t （h）与行驶速度y（km/h）的函数关系为t＝ (v＞0)，因此它的图象是双曲线的一个分支，所以答案选择C.有些同学没有注意到这是一个实际问题，自变量v的取值范围是v＞0，从而错选D.

考点四：识别反比例函数图象所在的象限及增减性

例6 已知函数y＝ (x＞0)，那么( ).

A.函数图象在一象限内，且y 随x的增大而减小

B.函数图象在一象限内，且y 随x的增大而增大

C.函数图象在二象限内，且y 随x的增大而减小

D.函数图象在二象限内，且y 随x的增大而增大

分析：判断反比例函数的图象所在象限及增减性，关键是准确判断出比例系数k的正负情况.

根据比例系数k＝3＞0可得图象在第一、三象限，y 随x的增大而减小.又因为x＞0，所以图象在第一象限.所以答案选择A.

考点五：反比例函数性质的应用

例7 如果两点P1（1，y1）和P2（2，y2）都在反比例函数的图象上，那么().

A.y2＜y1＜0 B.y1＜y2＜0

C.y2＞y1＞0 D.y1＞y2＞0

分析：利用函数及其图象比较数的大小，主要有三种方法：（1）直接把两个点的坐标代入函数关系式，求出相应的y值来比较数的大小；（2）在函数图象上描出各点，再根据各点的位置高低来比较数的大小；（3）利用函数的增减性来比较数的大小.

根据反比例函数图象的增减性，2＞1＞0，故选择D.

考点六：利用反比例函数解决实际问题

例8某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地.为了安全、迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道.木板对地面的压强P(Pa)是木板面积S(m2)的反比例函数，其图象如下图所示.

（1）请直接写出这一函数表达式和自变量的取值范围；

（2）当木板面积为0.2 m2时，压强是多少？

（3）如果要求压强不超过6000Pa，木板的面积至少要多大？

分析：本题与物理知识相结合，难度不大.关键是要会利用建立起来的反比例函数解决问题.

解：（1）设P＝(k≠0).根据点A(1.5，400)，得400＝，解得k＝600，所以 P＝.自变量取值范围是S＞0.

（2）当S＝0.2时，P＝＝3000.即当木板面积为0.2 m2时，压强是3000Pa.

（3）由题意知，P＝≤6000，解得S≥ 0.1，即木板面积至少要有0.1 m2.

考点七：考查一次函数与反比例函数图象的交点问题

例9直线y＝k1x＋b与双曲线y＝只有―个交点A(1，2)，且与x轴、y轴分别交于B，C 两点.AD垂直平分OB，垂足为D，求直线、双曲线的解析式.

分析：这是一道一次函数与反比例函数相结合的题目，解答这个题目时，我们根据交点就可以马上求出反比例函数的关系式，再结合其它条件，列出方程组，便可求出直线的解析式.

解：因为点A（1，2）在y＝上，所以2＝，有k2＝2，故双曲线的解析式为y＝.因为AD垂直平分OB，OD＝1，因此OB＝2OD＝2，故B点坐标为（2，0）.因为A（1，2），B（2，0）在直线上，所以，解得 ，故直线解析式为.

上面列举了在测试中常见的与反比例函数有关的考点，希望对同学们学习好本章的知识有所帮助.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”