中考方案设计型问题例析

方案设计型问题是指根据提供的信息，进行设计和操作，通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题. 方案设计型问题涉及生产生活的方方面面，如：测量、购物、生产配料、汽车调配、图形拼接等. 这类问题的应用性非常突出，需要选择合适的数学模型求解.

1 设计搭配方案

例1 （2013年黄冈卷）为了支援四川雅安地震灾区，某市民政局组织募捐了240吨救灾物资，现准备租用甲、乙两种货车，将这批救灾物资一次性全部运往灾区. 它们的载货量和租金如下表：

如果计划租用6辆货车，且租车的总费用不超过2 300元，求最省钱的租车方案.

解析：列不等式组求整数解. 题目蕴含两个不等关系：甲、乙两种货车总载货量≥240吨，租用甲、乙两种货车总费用≤2 300元.

设租甲种货车x辆，则乙种货车（6-x）辆，依题意有

45x+30（6-x）≥240，400x+300（6-x）≤2 300.解得4≤x≤5.

x为正整数，共有两种方案.

方案一：租甲种货车4辆，乙种货车2辆；方案二：租甲种货车5辆，乙种货车1辆.

方案一费用：4×400+2×300=2 200元，方案二费用：5×400+1×300=2 300元，

2 200

租用甲种货车4辆，乙种货车2辆时最省钱.

温馨小提示：解答这类问题，先列不等式组，求出整数解，通过计算得出最优方案.如果方案比较多，还可构建一次函数，运用一次函数的性质求解.

2 设计销售方案

例2 （2013年遂宁卷）四川省第十二届运动会将于2014年8月18日在我市隆重开幕，根据大会组委会安排，某校接受了开幕式大型团体操表演任务.为此，学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商. 经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元.经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费.另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，设参加演出的男生有x人.

（1）分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式；

（2）该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由.

解析：（1）总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式分别是：

y1=0.7[120x+100（2x-100）]+2200=224x-4 800，

y2=0.8[100（3x-100）]=240x-8 000.

（2）当y1>y2时，即224x-4 800>240x-8 000，解得x

当y1=y2时，即224x-4 800=240x-8 000，解得x=200；

当y1

即当参演男生少于200人时，购买B公司的服装比较合算；

当参演男生等于200人时，购买两家公司的服装总费用相同，可到任意一家公司购买；

当参演男生多于200人时，购买A公司的服装比较合算.

温馨小提示：在形形的让利、打折、摸奖等促销活动中，需要理智的分析. 通过计算不同销售方案的盈利情况，可以帮助我们明白更多的道理. 本题考查了求一次函数的解析式，运用不等式设计方案. 建立不等式确定优惠方案是难点.

3 设计图案方案

例4 （2013年无锡卷）下面给出的正多边形的边长都是20cm.请分别按下列要求设计一种剪拼方法（用虚线表示你的设计方案，把剪拼线段用粗黑实线，在图中标注出必要的符号和数据，并作简要说明）.

（1）将图1中的正方形纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱模型，使它的表面积与原正方形面积相等；

（2）将图2中的正三角形纸片剪拼成一个底面是正三角形的直三棱柱模型，使它的表面积与原正三角形的面积相等；

（3）将图3中的正五边形纸片剪拼成一个底面是正五边形的直五棱柱模型，使它的表面积与原正五边形的面积相等.

解析：（1）在正方形四个角上分别剪下一个边长为x的小正方形，由已知得4x2=（20-2x）2，解得x=5，把四个边长为5的小正方形拼成一个正方形作为直四棱柱的底面即可. 如图4，沿黑线剪开，把剪下的四个小正方形拼成一个正方形，再沿虚线折叠即可.

（2）在正三角形的每一角上找出到顶点距离是5的点，然后作边的垂线，剪下后拼成一个正三角形，作为直三棱柱的一个底面即可. 如图5，沿黑线剪开，把剪下的三部分拼成一个正三角形，再沿虚线折叠即可.

（3）在正五边形的每一角上找出到顶点距离是5的点，然后作边的垂线，剪下后拼成一个正五边形，作为直五棱柱的一个底面即可.如图6，沿黑线剪开，把剪下的五部分拼成一个正五边形，再沿虚线折叠即可.

温馨提示：图形的分割、拼接问题能考查动手操作能力与空间想能力，在各地的中考试题中经常出现.本题考查了图形的剪拼，解题的关键在于根据拼成几何体的表面积与原图形的面积相等，从而判断出剪下的部分拼成的图形是几何体的一个底面.