数学能力训练中“梯度”的辩证关系

在初中数学教学中，班级中不同层次的学生在个性、知识、基础能力方面的差异较大.因此，解决让全体学生都能“吃好、吃饱”的问题是提高教学效率的关键.近年来，许多教师在初中数学教学中通过进行梯度训练，让不同层次的学生在梯度训练中都能找到适合自己思维发展的平台，让基础差的学生、中等生和优等生都能实现“数学思想方法的提炼”这一目标.实施梯度训练必须注意到以下几个辩证关系，才能收到标本兼治的效果.

首先，要考虑梯度训练的各个大题（或板块）之间知识容量、思维难度的梯度顺序，遵循“易题在先、难题在后”

图1的辩证关系.

例如，在讲“反比例函数及其图象”时，有的教师安排了下列训练题：

1.如图1，在直角坐标平面内，函数y=mx（x>0，m是常数）的图象经过A（1，4），B（a，b），其中a>1.过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作BDy于D，

图2连接AD，DC，CB.

（1）若SABC=4，求点B的坐标.

（2）求证：DC∥AB.

（3）当AD=BC时，求直线AB的函数解析式.

2.如图2，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A（-2，1），B（1，n）两点.

图3（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式.

（2）求AOB的面积.

3.如图3，已知直线y=12x与双曲线y=kx（k>0）交于A，B两点，且点A的横坐标为4.

（1）求k的值.

（2）过原点O的另一条直线l交双曲线y=kx（k>0）于P、Q两点（点P在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标.

这三道题是常规题，其中包含了反比例函数的主要概念、函数关系和图象的几何特征.但是没有理清教学的“梯度”关系.

第2题第一问由点的坐标求函数，这是最简单的要求，而第1题必须由第一问的面积关系计算出点的坐标，进而再求出函数，第3题必须先利用已知点的坐标和一次函数的关系式求出反比例函数，无论从涉及知识点的量还是思维的复杂程度来看，第2题都应该列为第一梯度，重新安排为第1题，让学生有“入手”的问题，便于让思维“动起来”.因此原来安排的第1题应该调整为第2题.

其次，同一道题，前后几问之间要有梯度，前一问为后一问搭梯子.

数学训练的本质就是思维训练.思维一般具有连贯性，学生的思维广度与深度只有逐步培养，不可能一蹴而就.同一道题，前后几问之间要有梯度，前一问为后一问搭梯子，学生在解题时逐个阶梯攀登，他会体会到思维展开的过程，也会养成良好的思维习惯.

例如，上述第2题，在原来的第二问与第一问之间没有多大联系，思维跨度太大，学生解决了第一问后很快被“卡住”.原因是作为初次接触涉及双曲线的图形面积计算，学生缺少相应的能力储备，教师应该在第一问和第二问之间增加几问：如果从点A向y轴作垂线，从点B向x轴作垂线，两根垂线延长后交于点M，如何求ABM的面积？如何求AOM的面积？如何求AOB的面积？这样，学生会逐步体会到如何作出相应的辅助线，进而处理待求的面积与能够求出的其他面积的关系.

再次，在内容选择上既要重视基础知识与基本思维方法，但基础是相对的，是随着学习进程而变化的.

例如，上述第3题，在八年级时，作为反比例函数的训练题，可谓是优等生攀登的顶级台阶了.但进入九年级，学习了圆后，还可以进一步升华，提升这道题思维训练的广度与难度.

总之，以上所说的三个辩证关系，既体现在每道题的教学中，也体现在整个初中数学的完整教学进程中，灵活把握这三个辩证关系，可以实现梯度教学的最优化.