数学案例教学对中学生数学建模思想的培养和运用

摘 要: 文章从数学教学活动的实际出发,运用典型案例,分析了在案例教学活动中培养学生数学建模的基本思想方法,提出了培养学生运用数学建模思想的基本途径。

关键词: 中学数学教学 数学案例 建模思想

我从事中学数学教学10多年,由于受到高考指挥棒的影响,数学教学大都是采取灌输式的教学方法,这样的教学方法虽然有利于学生记住一些抽象的数学概念、数学公式、定理,在一定程度上掌握了较深、较难的数学知识,在应付考试方面取得了不错成绩。但弊端是很明显的,它不能很好地调动学生的学习兴趣,束缚了学生学习的主动性。老师在教学中下了很多功夫,但事倍功半,学生的数学成绩并没有质的提高。围绕如何提高学生的数学学习兴趣,在教学活动中,我进行了探索和研究。借鉴日本的CRM教学法(复合的现实数学教学法),我们结合学生的实际,探索使用案例教学法,通过在案例教学中融入数学建模的思想,引导学生用数学知识去解决实际问题,培养了学生用数学方法解决实际问题的能力,也提高了学生对数学的学习兴趣。

1.案例教学中渗透数学建模的思想

传统的案例教学是通过模拟或者重现现实生活中的一些场景,让学生把自己纳入案例场景,通过讨论或者研讨来进行学习的一种教学方法,主要用在管理学、法学等学科。随着社会的发展和学科之间的交叉,案例教学被引入了数学教学活动之中,并成为应用数学教学活动的基础。数学案例教学不仅有教学的思路,而且有数学教学过程的描述,有数学教学的结果体现,也有了学生与老师之间的双向互动。但现有的数学教材范围内的案例教学,对数学建模的思想应用并不广泛。因此,学生对数学建模的基本思想方法的了解和应用并不多。

数学建模是一种数学的思考方法,是运用数学的语言和方法,通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。我们也可以这样直观地理解这个概念:数学建模是一个让纯粹数学家(指只懂数学而不懂数学在实际中的应用的数学家)变成物理学家、生物学家、经济学家甚至心理学家等的过程。我们还可以更简化地认识为:数学建模是一个让抽象理论数学变成实际应用数学的过程。数学建模包括模型准备、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用等几个过程。因此,建立教学模型的过程是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。我们要通过调查、收集数据资料,观察和研究实际对象的固有特征和内在规律,抓住问题的主要矛盾,建立起反映实际问题的数量关系,然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。

目前,数学建模课程只在大学课程中开设。但在新一轮中学数学新课程教学改革中,也开始实质性地强调对知识的运用,并在教材中编排了一些应用数学建模解决问题的数学案例。因此,为了适应新课程教学改革,更重要的是提高学生学习数学的兴趣,在教学活动中,教师应加大案例教学活动力度,并改变过去以教师为中心、以课堂讲授为主、以知识传授为主的传统教学模式。在案例的选择上力求用建立数学模型的方法来解决,这些案例主要是学生经常接触并关心的问题。在建立模型的过程中,教师主要引导学生学会查阅相关资料和学习新知识,组织开展讨论和辩论,培养学生主动探索、努力进取的学风,培养学生从事科研工作的初步能力,培养学生团结协作的精神、形成一个生动活泼的环境和气氛。教学过程的重点是创造一个环境去诱导学生的学习欲望,培养他们的自学能力,增强他们的数学素质和创新能力,强调的是获取新知识的能力,是解决问题的过程,而不是知识与结果,更重要的是激发学生探求解决问题的欲望。

2.案例教学中运用数学模型解决实际问题的典例

为了让学生感受到运用数学建模解决现实生活中的实际问题的优势,激发学生学习数学的兴趣,在案例教学活动中,教师选取的案例一定要来源于现实生活。

案例:爸爸、妈妈为了保证你将来上大学的费用,从你出生开始,就在你每年生日那天到银行存一笔钱,作为将来上大学的学费。按目前收费标准,设大学学费为每年5000元,四年共需2万元。考虑到通货膨胀的因素,学费将以每年5%的速度增加,现在银行的年利息为3%,假定在今后18年不变,并计复利。当你18岁上大学时,爸爸、妈妈要存足四年的学费。试问每年你生日时,他们应到银行存多少钱?

问题一出来,学生感觉是自己身边的事,都拿起笔来进行计算,可是按常规计算办法,算法较复杂。这样非常现实的问题,激发了学生探究结果的欲望,有的学生还跑到银行去请教相关工作人员。但由于学生缺乏建数学模型的思想,解决问题的途径当然较复杂。当学生自己感觉到问题难以解决的时候,我辅导学生用建模型的办法解决,并向学生讲解了用数学模型解决这类问题的基本思想。

解:因为通货膨胀率为5%,所以18年后所需学费为:

20000(1+5%)18≈20000×2.4066=48132(元)。

假设每年存入银行x元,依复利计算,n年后本利之和为:x(1+3%)n元。那么,爸爸、妈妈从你0岁到17岁,共在银行存了18次钱,你到18岁时,每次钱的存期分别为18年,17年,16年,…,1年。因此,这18次钱的本利之和为:。

于是,我们可以得到分期存款的数学模型。

模型求解:

x=(48132×0.03)÷[(1.0318-1)×1.03]≈2024.5(元)。

于是,得出每年生日时向银行存入的金额款项是2024.5元。

在教学活动中我安排这样类似的案例教学,培养了学生用数学建模的思想来解决问题。学生觉得学习数学并不是从计算到计算的枯燥的重复劳动,对学习数学的兴趣也有了提高。在学生有了一定的用建模思想解决实际问题的能力基础上,我再选取一些更具有现实性、难度稍大的问题,要求学生在规定的时间做好解决问题的模型。

3.案例教学中培养学生数学建模思想的基本途径

3.1教师在教学活动中要重视培养学生的数学应用素质及其应用能力。在传统教学中,为了应付考试,追求升学率,大部分教师在教学中只根据教材的编排,强调数学的逻辑性、严谨性、系统性和理论性,宁可一遍遍地去重复那些严谨的数学概念、讲授那些主要为解题服务的技巧,却很少去研究和向学生传授数学的实际应用。因而学生对数学的认识定格在枯燥的理论和演算上,以致产生了片面化、狭隘化的认识倾向。比如,相当部分学生就认为:“数学不过是一些枯燥的逻辑证明和计算。”甚至认为:“数学只是花费大量的时间一味地做题,难不可学。”这正是造成学生缺乏对数学的兴趣,甚至是逐渐丧失应用意识的主要原因。由此而知,学生在学习与社会实践中缺乏用数学的自觉、自愿意向,又何从谈起应用数学知识来解决现实生活问题?因此,学生能否学会运用数学解决实际问题的能力,教师在教学活动中是否重视对学生进行数学应用能力的培养,是关键因素。教师除了组织学生应付基本考试外,还应树立学习的目的在于应用的思想。数学教育不仅要让学生掌握一些数学基础知识,而且应着重考虑提高学生的数学素质及其应用能力。而数学建模的过程,就是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程,然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。当然,培养数学建模能力,掌握建模技巧与方法,只靠教学活动中案例教学是很不够的,还需要教师组织学生阅读、钻研成功的建模范例,分析领会各种建模方法,提高学生建模的能力。

3.2拓宽学生对数学的认识,提高学习数学的兴趣。学生能否对数学产生兴趣,主要依赖于我们的教学活动。实践已经证明,传统的以应付考试为中心的数学教学活动不能提高学生学习数学的兴趣,只能是为了考试而被动地学习。因此,教师必须在教法和学法上多下工夫,在教学活动中多从数学应用的角度处理数学、阐释数学、呈现数学,以提高学生的数学理论知识和操作水平。教师要拓宽数学实践教学的渠道,加强数学的应用实践环节,注重学生的亲身实践,注重用数学解决学生身边的问题,注重用学生容易接受的方式展开数学教学,重视在应用数学中传授数学思想和方法,把培养学生解决实际问题的能力作为教学内容的主线,通过“设置问题―建立模型―解释与应用”的基本体系,多角度、多层次地编排数学应用的教学案例。此外,在案例教学活动中教师应充分发挥学生的主体作用和教师的引导功能。教师可根据教学内容的特点,精心组织,把抽象的概念、深奥的原理,拓展为生动、有趣的数学模型,促进数学理论与实际的有机结合,在解决实际问题中培养学生浓厚的兴趣。

3.3注重案例教学的实践性和应用性,培养学生应用意识和解决应用问题的能力。案例教学要紧扣实际生活,编制综合研究问题。古人云:“纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行。”数学的应用意识不是只靠在课堂做一些习题能够解决的,只有通过不断的社会实践,强化亲身体验,启发内心感悟,激发心理共鸣,在实践中不断地用数学知识解决实际问题,把数学的应用意识作为一种观念和学习目的,从显意识转化为潜意识,才能牢固地树立数学的应用意识。案例教学的效果要使学生从课堂教学中走出去,在实践中收集信息,提出问题,相互讨论,作出猜想,通过亲自参与数学活动的过程掌握分析和解决问题的方法,增强数学的应用意识。因此,在案例教学的选择和编排上,教师应多研究,选择的案例既要求新颖,又要是学生关注的实际问题。无论是来源背景,还是知识考察的角度,都要新颖、实用,才能让学生产生兴趣,并且要让这种新颖能够造成思维上的障碍,这样才能既激起学生学习的热情,又引发学生解决问题的内在动机。

总之,在当前的考试制度和教材内容的束缚下,教师通过组织案例教学活动,能够使中学生运用所学数学知识去解决一些实际问题,这对提高中学生数学应用能力有着极重要的意义。这不仅能克服他们对数学的厌学、怕学现象,而且能激发他们学好数学的内部动机。教师应该把培养学生的能力放在实处,要通过创设良好的学习环境和丰富的现实环境,鼓励学生从数学角度来思考问题,让学生参与提出问题、分析问题、解决问题这一全过程,并通过案例教学活动让学生深刻体会数学的应用价值,使每个学生的数学应用意识和能力在各自的基础上有长足的进步,这是数学教师的职责和长期任务。

参考文献:

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[3]黎上达.在数学教学中培养学生的数学应用意识与能力[J].云梦学刊,2007,(S1).

[4]宋长明.案例教学法在概率统计教学中的应用[J].开封教育学院学报,2009,(04).

本文系河池学院教育教学改革立项项目:“数学教师教育中案例教学研究”(项目编号:2009E007)阶段性研究成果

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