高中数学向量教学研究

【摘要】新一轮数学课程改革从理念、内容到实施，都发生了较大的变化。其中，尤其值得注意的是，直到19世纪末20世纪初才发展起来的“向量教学”以其在现代数学、物理学、工程学、空间物质结构中的广泛应用，而备受人们的关注。笔者充分运用现代教育理念进行教学实践，对如何开展向量教学提出了自己的建议，在教学方法上，加强向量与现实的联系，并重视渗透数学思想方法，培养和发展学生的思维能力，倡导向量的探究性学习，在探究性学习中培养学生的创造能力。

【关键词】高中数学 向量教学

此次的数学课程改革的基本理念之一是体现数学的基础性和发展性，面向全体学生，人人学有用的数学，不同的人学不同的数学。高中课程还体现了多样性和选择性，课程内容继承了我国数学教育的优良传统，重视学生对必要的基础知识和基本技能的熟练掌握，重视数学与其他领域的联系，重视对数学的理解，重视借助现代数学中的基本思想方法改造传统教学内容。因向量由于其代数和几何的双重性，与物理学发展的密切联系，对传统几何改造的强有力工具性特点以及现代数学与初等数学的衔接上所具有的特殊地位，使向量进入中学数学是非常必要的。

由于每一位高中数学教师的知识结构、教学经历、擅长的教学模块都不尽相同，使每位教师对向量的理解、认识都不尽相同。另外，由于数学教师自身知识经验与知识储备有限，表现在进行向量的教学时，确立教学目标、确定教学内容选择教学方法都有所不同。又因向量内容本身又在深度和难度的把握上有较大的弹性，因而在高中数学教学实践中如何正确、有效的处理向量这部分教学内容成为一个不可回避的课题。

一、向量在高中数学教学中的意义

由于向量进入中学教材，给中学数学知识体系注入了新鲜血液，成为新教材改革中的一个亮点。但从向量的教学研究来看，多的只是利用向量的工具解题研究。而正确把握其深度、难度，吃透教材的实质内涵具有一定的帮助，对其他部分的教学有一定的启发。会进一步提高教育教学及提高高中学生的数学素质和数学品质。

教材中的向量实际上就是抽象的自由向量，教材从具体实例(力、速度、加速度等)抽象出向量概念，又用有向线段来表示向量。但用有向线段时又是固定向量，学生往往产生这样的错误：将向量理解为由起点、大小、方向三个要素来决定。为了突破这一点，笔者在进行概念教学时要求学生多画图，从图形中分辨出相等向量，加深对相等向量、共线向量、同向向量、反向向量、相反向量等概念的理解，正确判断两向量间的关系。平行向量刻画了向量方向间的关系，而向量长度刻画了向量大小间的关系。相等向量是平行向量的一部分，共线向量与平行向量是两个等价概念。值得注意的是教材中有这样一句话：“任意两个相等的非零向量，都可用一条有向线段来表示，而且与有向线段的起点无关。”这不但是向量的本质，又是向量可移动的基础。

二、向量在中学数学教学中的地位和作用

平面向量这部分内容本身很重要。它作为工具性知识而广泛应用于三角、解析几何、立体几何的教学中，如在三角中利用向量证明正弦定理、余弦定理既简便又容易接受。平面向量是数形结合的桥梁，它可以将形的内容转化为数的运算，可以使学生体会到数形结合的主要思想，建立有向线段、向量、坐标表示之间的联系，由于几何发展的出路是代数化，引入向量研究几何是几何代数化的重要手段。在立体几何教学中要特别注意向量法的应用。一方面有助于学生巩固所学的向量知识，另一方面强化了学生的思维结构，降低了立体几何学习的难度。向量法在解决立体几何中的距离、夹角、平行、垂直等问题上的应用很方便。例如在代数中，包括向量与三角函数的整合，与数列整合，与不等式整合，与复数整合。

三、向量在中学数学教学中存在的问题及原因

（一）教材并不是教师想象的那么容易很多教师都认为向量内容安排思路清晰，简单易学，可事实上并非如此。从教学中我们不难发现，学生对向量的有关概念和定理的学习都感到较抽象或抽象，如认为向量、线段的定比分点、向量的基本定理、向量的坐标表示、向量的数量积、向量的投影、平移等比较抽象。由此可见，向量的学习值得教师认真分析和处理，就从有利于学生学习这一角度讲，教师应充分了解学生的实际，因材旌教。

（二）高二教学中有很多内容可以利用向量知识简便求解，高三教学中更应看到向量的工具性作用。因此从多角度上处理问题，不仅能提高学生的解题的能力，更有利于学生思维的发展。从调查中看出，绝大多数同学都认为学习向量是有用的，但也存在着学生只是用向量解题，而没有使用向量的意识。

四、加强向量与现实生活的联系

强调数学与现实的联系是当前国际数学教育改革的共同趋势。利用向量解决平面内两条直线平行与垂直达到位置关系等问题。通过日常生活中确定“位置”中的位移概念，说明学习向量知识的意义：通过物理中的重力、速度、加速度等作为实际背景素材，说明它们都是既有大小又有方向的量，由此引出向量的模、单位向量等概念。这样安排，可以使学生认识到向量在刻画现实问题、物理问题以及数学问题时的作用，使学生建立起理解和运用向量概念的背景支持。通过运用教与学的结合，注重了学习环境的设计，有利于培养学生最基本的学习能力，同时通过识图、画图也有利于学生空间想象能力的培养。例如，为了调动学生参与教学的过程，可将空间向量基本定理与平面向量基本定理进行对比教学。引导学生比较空间向量基本定理与平面向量基本定理的相似之处和不同之处，思考空间向量基本定理的证明是否可以仿照平面向量基本定理的证明思路进行。

五、充分发挥向量的工具作用

新教材之所以增加向量的内容，不仅是因为教材内容的陈旧这么简单，而增加新的内容是为了适用与形式的需要，更是因为向量是解决问题的有效工具，它为教材增加了新鲜的血液，使得教材体系更加富有活力，更有利于学生思维的发展。由于向量的模就是线段的长度，因此用向量可以解决很多的几何问题。有时会起到意想不到的效果。在解决问题的过程中发展学生的空间想象能力。明确向量法解决数学问题的思路，即从条件出发，选取基本向量，把这些条件翻译为向量关系式，这个新的向量关系式的具体解释就是所解决的问题结论。

（一）向量方法解决数学问题的思考原则：

1、向量的线性关系是向量的重要性质，它贯穿与整个向量法中，特别是在确定某些点的位置关系时常常用到它。

2、当证明或解题时要用到垂直关系、长度或夹角等问题时，要想到向量的内积。

如果这时我们在对照旧的教材版本，我们不难看出勾股定理的推导变得简单，回避了许多细节的讨论，优势不言而喻。学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退这充分揭示了方法求变的重要性，如果我们能够重视向量的教学，必然会引起学生的兴趣。

六、结束语

向量不同于数量，它既有大小，又有方向，是一个具有几何和代数双重身份的概念，同时也是一个具有一套优良运算特性的数学体系。从“数、量及运算”发展的角度看，向量关注的不是“数”的简单扩大，而是“量及运算”的扩充问题。由于向量本身具有代数形式和几何形式的双重特点，所以在向量的学习中都体现了数形结合的思想方法，因而在教学过程中，应该注意结合教材内容的特点，及时引导学生捕捉知识与问题中的数形信息，由数思形，在大脑中想象出图形，形成以形助数的良好思维习惯，从而加深理解知识要点，同时也可增强学生的空间想象能力。另外从中学数学课程改革来看，在向量教学中，教师应该经常启发学生有意识地应用这一思想方法来考虑问题，使他们在学习时学得主动、灵活，解题时也就会迅速、准确，实践表明，教学中恰当渗透，能强化学生思维的目标意识，避免盲目思维，提商学习效率，增强思维的敏捷性和灵活性。向量的引入更有助于学生建立代数与几何良好的关联，能让学生尽早地了解向量等现代数学思想和方法，从而为初等数学向高等数学过渡奠定了一个直观基础。