论数学例、习题变式问题在课堂教学中的有效性

例、习题变式是数学课堂教学的一种重要形式，变式教学有利于学生思维的发展，帮助学生理解、巩固教学内容.笔者通过近阶段的听课发现：越来越多的数学教师正尝试着利用变式这一“法宝”进行教学，这种形式的教学使得数学课堂变得活泼而又精彩，其效果也十分明显.但笔者在听课的过程中也发现了“变式”教学中的一些不和谐.由此萌发了对数学例、习题变式问题有效性的探讨与分析.

要想让例、习题的变式问题为课堂教学创“收”，使变式的价值得以充分体现，变式问题的 设计必须克服以下几个方面的缺陷.

1.教学中片面追求例、习题的变式形式，但变式目的不明，对变式时机、过程无法有效掌控.

2.对变式问题没有预先准备，只是根据变式的一些方法、原则，随意变换问题的条件、结论或通过简单的类比，再根据已有的教学经验作问题的变式，具有很强的随意性.

3.例、习题变式问题的设计无法真正达成班级大部分学生民主参与的意向.

4.变式问题对学生的后续学习起不到示范作用.

5.不加思考，具有随意性的变式设计，让学生在学习的过程中获得了非正式甚至是不严谨的学习体验.

就如何设计有效的例、习题变式问题，本文提出如下观点，供参考.

一、一个有效的数学例、习题变式问题应就其任务而言

1.变式后问题必须有明确的价值取向.变式的期望即对变式所达成的目标应该清晰，而不能是含混不清，它表达了教师改造例、习题的意愿.

例1 (人教版数学必修5：3.4基本不等式ab≤a+b2，练习1)x>0，当x取什么值时，x+1x的值最小，最小值是多少?

变式一 x>3，当x取什么值，x+1x-3的值最小，最小值是多少?

变式二 x

变式三 x≥2，x取什么值时，x+1x值最小，最小值是多少?

变式一是为了让学生理解并熟悉基本不等式ab≤a+b2模型结构特征而设置的；变式二是为了让学生体会基本不等式应用所必须具备的条件而设置的；变式三则是为了让学生有目的地开展思辨活动，不被思维习惯束缚而设置的.以上三个变式问题的设计意图明显，能有效地落实教学目标.

2.变式问题的设计安排要适时、合理.变式问题是对教材理解的合理补充、拓展.适时、合理的例、习题变式问题能高效地帮助学生理解教材，反之变式的效果就会大打折扣.

例2 (人教版教学必修5：简单的线性规划问题3.3.2练习)求z=2x+y的最大值，使x,y满足约束条件y≤x,

x+y≤1,

y≥-1.

变式一 改变约束条件5x+3y≤15，

y≤x+1，

x-5y≤3，不改变结论.

变式二 不改变约束条件，结论变为求z=2x-y的最大值?

变式一通过改变平面区域改变结论，而平面区域为上节课所学内容而非本节课的重点，因此变式所能达到的就是对旧知识的巩固；变式二改变的是目标函数，通过目标函数的改变让学生理解目标函数与可行域之间的联系，获得了理性的认识.由此可知变式二是必要而且有效的，而变式一却是不适时宜的.

3.变式问题设计还必须具有目标本位，对目标的游离程度有必要进行掌控.对目标的游离程度指的是与原问题目标的相关程度.对目标的游离程度越大与原问题目标的相关性就越小，反之亦然.对目标的游离程度太小，学生做变式训练时很容易依样画葫芦，对学生的思维发展帮助不大，对目标的游离程度太大，则难以调控学习目标，因此在设计例、习题的变式问题时应调控好对目标的游离程度.

例3 在等腰直角ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，CM与线段AB交于M点，求AM

变式一 不改变条件，结论变为求2AM>AC的概率.

变式二 等腰RtABC中，在斜边AB上取一点M，求AM

对比上述两个变式，我们发现变式一对目标的游离程度较低，学生很容易对比例题获得结论，变式价值较低.变式二通过对条件的变换使基本事件发生了变化，引发学生的求异思维，变式也因此产生了探索的价值，变式二对目标游离程度的调控比较成功.

二、有效的例、习题变式问题应就其解决过程而言

1.具备可参与性：一个理想、有效的变式问题是离不开学生民主参与的，同时它也是课堂教学中各层次学生的现实需求.因此教师可以利用课本例、习题的变式来达到数学对每一个学生的平等.变式体现了“以人为本”的关怀取向，这是教科书无法达到的.按这样的要求，如果能够设计一系列由浅到深的变式题组，就更有利于目标的实现.

例4 (全日制普通高中教科书必修一：一元二次不等式解法)解不等式(x+4)(x-1)

变式一 x-1x+4

变式二 x-1x+4

变式三 x-1x+4≥x;

变式四 x-1x+4

变式五 x-ax+a2

课堂上通过这一连串的变式，由浅入深，不仅有效地解决了解分式不等式过程中出现的难点 ，同时保证了各层次学生参与的需求.因此教师针对教材，设计出一系列由浅到深的例、习题变式问题，行之有效.

2.具备可探究性：一个有效的例、习题变式应当让学生通过问题获得参与的欲望，进而崩发出探究，探索的热情.一个具备探究性的变式问题，会调动学生动手、动脑从而获得充分的学习体验.

例5 (人教版数学必修2：直线、圆位置关系4.2例2)已知过一点M(-3，-3)的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为45，求直线l的方程?

变式 已知过一点M(-3，-3)的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为8，求直线l的方程?

变式只是改变了直线l被圆所截得的弦长，如果不加以分析、探讨，学生就会近似认为变式 是对所学知识的简单重复；假如能动手探究的话，你会惊奇地发现，按例题的解题思路，满足条件的直线就只有一条而遗漏了另一条，这样的结论更容易引发学生对学习过程的反思与探究.变式使得学习过程更富有意义.

例6 (人教版数学必修2，函数的表示法1.2.2例6)某市“招手即停”公共汽车按下列的票价规则制定：(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元，(不足5公里按5公里计算).

如果某条线路的总里程为20公里，请根据

题意写出票价与里程之间的函数关系，并画出图像.

变式 (如何打的最省钱?)上海出租车计价方法：起步价10元可行3千米；3千米以后按一千米2元计价，可再行7千米；以后每千米按3元计价，途中停车每5分钟按1千米计价?假设你学校到东方明珠共计65千米，如何打的更省钱?(忽略等车时间)

例题的变式改变了原问题单纯的分段函数模型，与现实相结合，为学生提供了探索的空间且有很强的实用性，较大程度地激发了学生的参与欲望，学生通过变式学会了建立数学模型来解决实际问题的思维与方法.

三、一个有效的数学例、习题变式问题应就其效果而言

变式应具备一定的生成性：通过变式，学生解决的不仅仅是变式后问题的个体，而是能够根 据问题解决的思路，变式的体验，结论的类比等产生一系列新的问题，使得变式从问题的设计到结论的出现整个操作过程成为后续学习的示范.

例7 通过对例2目标函数与可行域关系的阐述及变式二的示范，学生获得了目标函数生成的体验，由此例举出了求目标函数z=yx的最值，求z=x2+y2的最值，求z=y-2x-1的取值范围等范例，达到了对线性规划问题的有效拓展.

总之， 教师在设计课本例、习题变式问题时，必须精心准备，并努力对变式后的问题作评价、预测，杜绝随意性，以提高教学效益，从而让变式在教学中越来越有味道，越变越精彩.