赏析一对高考姊妹选择题

2008年高考数学江西卷文、理第12题都是以函数为背景的求参数取值范围的姊妹题，两题从命题形式到解题方法到命题背景以及资源的再利用都值得探讨.

文科题 已知函数f(x)=2x2+(4-m)•x+4-m,g(x)=mx，若对任一实数x，f (x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是().

A.［-4，4］ B.(-4，4)

C.(-∞，4)D.(-∞,-4)

解析：观察供选答案可知，有的答案包含4有的不包含4，有的答案包含-4有的不包含-4，故可用特值法进行验证否定.

当m=4时，f(x)=2x2,g(x)=4x,f(0)=g(0)=0，否定A；当m=-4时，f(x)=2(x+2)2,g(x)=-4x,作出它们的图像如图1所示，由图可知，对任一实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，符合题意，否定B、D，故应选C.

理科题 已知函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若对任一实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是().

A.(0，2) B.(0，8)

C.(2，8) D.(-∞，0)

解析：从答案可知实数2仅在答案B的集合中，若m=2适合题意，则答案就是B.当m=2时，f(x)=(2x-1)2,g(x)=2x，作出它们的图像如图2所示，由图可知对任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，符合题意，否定A、C、D，故应选B.

解题反思：上述姊妹题作为选择题用特值法求解真可谓四两拔千斤，做到了小题巧作，确实是最佳解法.此题怎样用直接法求解?在解题过程中会用到哪些数学知识和数学思想方法呢?下面对理科题用直接法解答如下：

解：(1)当m=0时，f(x)=-8x+1,g(x)=0，显然不合题意；(2)当m≠0时，f(x)为二次函数，=4(4-m)2-8m=4(m-2)(m-8),①当

②当=0即m=2或m=8.当m=2时，由特值法知，符合题意；当m=8时，f(x)= (4x+1)2,g(x)=8x,因为f(-14)=0, g(-14)0即m>8或m0,且x1+x2=4-mm

评注：(1)本题若以解答题命题显得过大不适合，以填空题形式命题太难也不适合，以选择题形式命题最佳.用特值法求解既体现了选择题解题的灵活性，又达到了考查数形结合思想、函数方程思想和解决问题能力的目的.(2)在平时教学中，此题如果只讲特值法不讲直接法，那么本题的价值会大打折扣，是对优质资源的一种浪费，用直接法求解是本题的又一大亮点，在直接法求解中用到了分类讨论思想、数形结合思想、函数方程思想以及函数、方程、不等式等知识.直接法体现了此题的真正价值，同时也揭示了本题的真实背景.