“不等式恒成立问题”求解中的几个抓手

恒成立问题是高中数学中的一个热点，而不等式更是高考的重点，有人说“不等式恒成立问题”是高考的兴奋点，这不无道理.但此类问题解法灵活、综合性强，部分学生常感到无从下手，茫然不知所措，那么到底如何解决这类问题呢?实际上只要紧紧“抓”住这类问题求解中的几个“抓手”，求不等式恒成立问题就会迎刃而解.本文试对这类问题作一些归纳和总结，以飧读者.

1.抓“解集”

对于恒成立问题，不等式的解集虽是一把双刃剑，它常会导致把不等式的解集与恒成立混为一谈的错误，但如能搞清它们之间的联系与区别，就能把“解集”作为“恒成立”求解的突破口.

例1 关于x的不等式x+(m+1)x+m

解析：原不等式等价于(x+1)(x+m)

x≥0,即x

x≥0.当m≥0时，不等式解集为空集；当m

2.抓“主元”

在错综复杂的各种矛盾中，抓住了主要矛盾，就犹如抓住了一根主线，从而使次要矛盾迎刃而解.同样地在数学问题中，多变元的干扰，常会使学生思维的头绪，陷入众多繁复的岔道中，剪不清，理还乱，而如若分清主次，抓住主元，则犹如抓住一根主线，一目了然.

例2 (2006•四川卷(文))已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f′(x)-ax-5，其中f′(x)是f(x)的导函数，对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)

解析：它表面上是一个给出参数a的范围，解不等式g(x)

φ(-1)

3x2-x-2

3x2+x-8

3.抓“”

二次不等式是不等式问题中一种最常见的题型，解决这类问题有很多方法，但万变不离其宗，其最根本的方法，还是利用“二次式中的判别式”.

例3 若不等式-x2+2mx-2m-1

解析：不等式要求在x∈［0，1］时恒成立，所以

(1)

(2)(Ⅰ)≥0

f(0)

m

f(1)

m>1解得-12-12.

4.抓“分离”

由“函数极值”思想可得，f(x)≥a恒成立a≤f(x)min;f(x)≤a恒成立a≥f(x)max.由此，此类问题可化归为求函数最值或值域的 问题，利用这种方法，关键是将参数与未知数进行分离，因此叫分离参数法.

例4 在ABC中，已知f(B)=4sinBsin2(π4+B2)+cos2B，且|f(B)-m|

解析：由f(B)=2sinB［1-cos(π2+B)］+cos2B=2sinB+2sin2B+1-2sin2B=2sinB+1,0

m

m>1,

m≤3，即m∈(1，3］.

例5 (2000年日本大学入学试题)已知两个函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x，其中k为实数.

(1)若对任意的x∈［-3，3］，都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围；

(2)若对任意的x1、x2∈［-3，3］，都有f(x1)≤g(x2)，求k的取值范围.

解析：(1)令F(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+k,问题转化为F(x)≥0在x∈［-3，3］上恒成立，为此只需F(x)在［-3，3］上的最小值F(x)min≥0即可.F′(x)=6x2-6x-12=6(x2-x-2),由F′(x)=0得x=2或x=-1.F(-3)=k-45,F(3)=k-9,F(-1)=k+7,F(2)=k-20,F(x)min=k-45,由k-45≥0，解得k≥45.

(2)由题意可知，当x∈［-3，3］时，都有f(x)max≤g(x)min.由F′(x)=16x+16=0得x=-1.f(-3)=24-k,f(-1)=-8-k，f(3)=120-k,f(x)max=120-k,又由g′(x)=6x2+10x+4=0,得x=-1或x=-23,g(-3)=-21,g(3)=111,g(-1)=-1,g(-23)=-2827,g(x)min=-21，则120-k≤-21，解得k≥141.

5.抓“图形”

“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非”，在不等式恒成立问题中，如若一时难以找出突破口，常可联想到问题中涉及的函数图像，以形助数，也许会有意想不到的收获.

例6 已知a>0且a≠1，f(x)=x2-ax，当x∈(-1，1)时，有f(x)

解析：本题其实也是一个恒成立问题，即函数f(x)

6.抓“特征”

不等式恒成立问题和不等式能成立问题，两者“形似质异”，抓住它们的条件特征，有利于准确解题.

例7 (2006全国卷Ⅱ文)设a∈R，二次函数f(x)=ax2-2x-2a.若f(x)>0的解集为A，B={x|1

解析：这是一个在不等式成立的前提下，求参数的范围问题.题目的要求与大部分见到的题并不相同，这类题目在试题中出现最多的是不等式恒成立的问题，而本题却是一个不等式能成立的问题，因为题目的条件是只要集合A，B的交集不是空集就可以，即只要不等式f(x)>0在区间(1，3)有解就可以，这等价于f(x)max>0,在x∈(1，3)成立.

(1)当a

(2)当a>0时，f(x)max=f(3)=7a-6>0a>67.于是，实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(67,+∞).

如果题目的条件不是A∩B≠，而是BA，则就化为f(x)>0在区间(1，3)恒成立的问题了.