初中数学平行线的性质范文

初中数学平行线的性质篇1

关键词：初一几何、辅助线、解题方法

什么叫做辅助线呢？

为了证实的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线。

关于添加辅助线的问题，这是初中生学习平面几何难点之一，也是平面几何教学中的一个重点。数学几何中做辅助线的原则是使问题变的简单化，一般辅助线，主要是看题目的内容和题型是怎样的。最常画的辅助线就是延长线，平行线，垂线（高），中线（中点），连接线，对角线，角平分线，相等的线等等。

在教学中可以通过精选例题，让学生开阔眼界，灵活思路，把握规律，提高能力。在添辅助线时，必须使学生明确辅助线要添得合理，必须符合基本作图要求。添加辅助线的目的就是在已知条件和所求命题之间假设一道桥梁，添加辅助线的方法非常多，有些一道题用多种添加辅助线的方法来解，初一几何中有些问题是不添加辅助线可以解决的问题，但添加辅助线后使问题变的更简单，另一种是必须添加辅助线才可以解决的问题。

下面我们利用辅助线解几道题：

例1：如图，OAOB，直线CD过于点O，∠BOC=62°

求∠AOD 的度数.

解法1：这道题简单的运用余角和邻补角的定义

得出∠AOD的度数为152°.

下列是利用辅助线解题的几种方法：

解法2：根据余角的定义得∠AOC=28°

延长AO到E

所以根据对顶角的定义的得∠AOC=∠DOE=28°，

最后根据邻补角的定义得出∠AOD的度数为152°.

解法3：延长BO到F

根据对顶角的定义得∠BOC=∠DOF=62°

因为OAOB，所以∠AOF=90°

最后得出∠AOD=∠AOF+∠DOF=152°.

以上三种解法中，第二、第三种解法与第一种解法比较，第一种解法的运算量较大，第二、第三种解法的运算量较小，这两种解法初步体现了辅助线在几何问题中的作用.

例2：如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度？

这个问题在教科书上用平行线的性质和三角形的

内角和来求出∠ACB为90.°

除了以上解法，利用辅助线可以得到以下的几种解法。

解法1：过定点C作CF∥AD与AB交于点F，

然后用平行线的性质可以求出∠ACF=50°，∠BCF=40°

所以∠ACB=∠ACF+∠BCF=40°+ 50°= 90°

解法2：过定点C作FGAD与AD，BE交与点F，G.

然后用平行线的性质，三角形内角和或余角定义得出∠ACF=40°，∠BCG=50°.

最后根据平角的定义得出∠ACB为90°.

下列5道例题只能添加辅助线才可以解决的问题.

例3：如图，已知 ，∠1=105°，∠2=140°，则∠3等于（ ）

A.55° B.60° C.65° D.70°

这是一道选择题，利用辅助线用下列5中方法可以求出∠3的值是65°，选择C答案.

例4：如图，已知AB∥CD，∠B=120°，

∠C=135°求 ∠E .

这是一道解答题，利用辅助线用下列6中方法根据平行线的性质，周角的定义，邻补角的定义，三角形内角和或三角形外角的性质可以求出∠E的度数为105°.

例5：如图，已知AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED.

这是一道证明题，同样利用辅助线根据平行线的性质，周角的定义，邻补角的定义，三角形内角和或三角形外角的性质可以证明出∠B+∠D=∠BED.

例6：如图，已知AB∥CD，∠ DCE=30°，则∠B+∠E=________ .

这是一道填空题，利用辅助线根据平行线的性质，周角的定义，邻补角的定义，三角形外角的性质可以求出∠B+∠E的度数为210°.

例7：如图，一辆汽车从A处出发匀速行驶到B处，

然后右拐110°继续行驶到C处，然后左拐 38°到D处，

再右拐按原来的速度继续行驶. 求：最后的拐角 ∠CDE的度数.

这道题是一个实际问题，同样利用辅助线，根据平行线的性质，邻补角的定义，三角形的内角和或三角形外角的性质可以求出拐角 ∠CDE的度数为108°.

通过以上的几道例题，我们充分体会到辅助线在几何问题中的作用，在初一几何教学中应注重常见的辅助线的教学，让学生把握多种添辅助线方法，使学生体会到许多添加辅助线的方法是有规可循的，从而进一步提高分析问题能力。不断引导学生总结一些带有规律性结论，有助于拓宽思路，丰富联想，而达到融会贯通的目的。

初中数学平行线的性质篇2

关键词：动态生成；初中数学；探究

随着现代教学的进一步发展，教师已经逐步意识到动态生成对课堂教学的推动作用，领悟到教学生成的深层次含义。因此，教师需要在初中数学课堂中活用动态生成，让课堂教学充满活力，让学生在学习中获得更大的提升。

基于此，本文在此浅论动态生成的初中数学课堂，以期能够为相关人士提供有益参考与借鉴，促进初中数学课堂教学的进一步发展与建设。

一、巧妙的预设是动态生成的基础与前提

从本质上说，预设与生成是构成课堂教学的主要元素，两者相互支持与配合，才能够提高课堂教学的质量与效率。因此，教师要在初中数学课堂中提高动态生成的有效性，首先要做的就是做好预设，通过巧妙的预设提高学生的兴趣，并帮助学生更有针对性和高效率地学习。

以《平行线的性质》这一节的教学为例，教师在课前要求学生列举出生活中常见的平行线，推导平行线的定义，并结合其定义与个人的借鉴探究平行线的性质。

通过巧妙的预设，教师就数学知识与学生的现实生活紧密联系在一起，让学生感受到数学学科的实用性与趣味性。同时，教师也能够引导学生利用现实生活进行更有效率的学习，帮助学生理解抽象的数学概念，为后续的动态生成提供强有力支撑。

二、尊重学生的意识，突出生成的动态性

在此基础上，教师必须要在初中数学课堂中尊重学生的意识，

要引导学生更自由地思考与探究，引导学生自由地表达自己的

观点。

例如，在运用一次函数解决实际问题的过程中，教师不能要求学生按照自己的理念进行探究，不能完全按照预设来进行生成。此时，部分学生提出可以利用数形结合的方法来学习一次函数，通过数与形的结合的方式提高学习效率。而另一部分学生提出可以根据一次函数的性质与概念进行思考，从数学理性的角度解决数学问题。

在此过程中，初中数学课堂的生成是动态的，学生的自主意识体现得更为明显，能够让课堂充满活力，提高教学的有效性。

总的来说，动态生成是对教学生成的发展与建设，能够更有效地提高教学质量，让学生获得更大提升。因此，教师需要在教学中进行总结和交流，提高教学质量，推动初中数学教学的发展。

参考文献：

初中数学平行线的性质篇3

1 平行四边形本身的性质

平行四边形本身的性质较多，比如利用平行线的性质可以知道平行四边形的内错角相等，边延长线也可以引用平行线的性质得出同位角相等，另外，平行四边形具有对角相等以及对边相等等性质，这些性质在实际解题中均会经常用到，而且这些性质之间可以相互“转化”，首先，从两个全等三角形拼图入手可以并成平行四边形的概念，然后，从这对全等三角形拼出的平行四边形入手，可以得出平行四边形“对边相等”“、对角相等”的性质，特别是这一性质的证明更能体现这一数学思想，通过旋转和平移三角形，证明结论，作为教师在整个教学设计过程中需要注重通过转化的思想方法，将平行四边形的问题转化为三角形的问题来解决，能更好地解决教学内容的重点。

2 添加辅助线将平行四边形化为三角形

这也是初中阶段研究四边形问题的常用方法，这也是转化思想的重要体现，因此，连接对角线，把平行四边形分割成两个全等的三角形，利用全等三角形的性质得出平行四边形的性质，这是研究平行四边形的一个重要方法，同时由于学生对旋转、中心对称等知识了解不多，利用图形的变换来探究平行四边形可能会有一些困难，但学生有了利用轴对称探索等腰三角形性质的经历和体会，只要教师适当地引领，学生的自主探索也自然会水到渠成。另外，对于初中学生来说，通过度量，归纳出平行四边形的性质是没有难度的。

因此，在实际教学中应该让学生在通过操作、变换探究出平行四边形的性质后，能对发现的性质进行证明，并要求他们能初步运用逻辑推理得出性质，而不是通过直观操作归纳得到平行四边形的性质后就让学生运用性质解决一些较简单的问题。

一些学生常常不知道辅助线是怎么做的、为什么这样做、有几种不同做法等问题。事实上如果学生在自主探究问题时，关注、培养和锻炼他们探究问题的手段、方法，体会“对折”即可画中线、角的平分线、中位线等;“平移”即可画平行线，找同位角、内错角、同旁内角等;“旋转”即可画60°、90°、180°的角构造三角形等;由此引导学生添加适当的辅助线，把未知转化为已知，用已学过的知识来解决新的问题，提高学生分析、解决问题的能力。不过，这一点强调多了，有的学生在学完了平行四边形性质之后，可以直接运用这些知识解决的问题，还通过添加辅助线转化为平行线或三角形来解决，在熟悉的三角形中兜圈子，不会运用新知识来解决问题，也值得在以后的学习中熟练此性质的应用习惯。

3 平行四边形在证明题中的应用

初中数学平行线的性质篇4

【关键词】直线 平面 垂直 平行 概念发展

【中图分类号】O123.1 【文献标识码】A 【文章编号】1006-9682(2010)07-0022-05

【Abstract】This research studies the features of intuitive level, the image level and the abstract level of school boys and school girls’ attaining the concepts of straight line perpendicular to the plane and straight line parallel to the plane(from junior Grade 1 to senior Grade 1)through quantitative analysis by adopting vertical and horizontal comparison. The results of the study show that: ①The features of the development of the concept… ‘straight line perpendicular to the plane’: For this concept, the students of junior Grade1, Grade 2, Grade 3 and senior Grade 1are at the initial-grasping stage of intuitive level, the embryonic stage of image level and the non-grasping stage of abstract level. On understanding this concept, there aren’t significant statistical differences between school boys and school girls of the four grades as a whole. ②The features of the development of the concept…‘straight line parallel to the plane’: For this concept, the students of junior Grade 1, Grade 2, Grade 3 and senior Grade 1 are at the initial-grasping stage of intuitive level and image level, non-grasping stage of abstract level. On understanding this concept, there aren’t significant statistical differences between school boys and school girls of four grades as a whole. ③For these two concepts, the understanding of students advances from figurative thinking to abstract logical thinking.

【Key words】Straight line The plane Perpendicular Parallel Development of the concept

一、问题的提出

概念是人类思维的一种重要形式,是抽象逻辑思维的细胞结构。个体概念发展水平,反映其思维的发展水平,因此历史上关于概念发展的研究,一直受到重视。

数学概念的研究由数的概念开始(郑祖心,1960;沈家鲜,1962;许智权,1981;刘范,1981;林崇德,1981),接着研究面积等分(吕静,1983);长度(刘金花,1984);对称(沈家鲜,1989)、比例(苗丹民,1991)、特殊平面几何图形(陈英和,1999)等几何概念,再研究概率(张增杰,1983)、数列(沈家鲜,1984)、函数等概念(朱文芳,2000;曾国光,2002;贾丕珠,2004)。这些研究人员所考察的数学概念一般从简单到复杂,并且抽象程度日益提高。

上述研究过程都是从个体获得概念和应用概念角度出发,由低水平至高水平设计出不同认知层次的问题,采用横断或纵向的研究方式,对小学、初中、高中等不同年龄阶段的学生实施测试。根据学生回答问题的理由,区分出不同年龄学生不同的思维水平,探究学生思维发展规律。

虽然对不同的数学概念设置不同认知层次的题目,但对于不同的概念发展研究所得到的结论具有共同的特征,学生的思维发展过程符合皮亚杰(Jean Piaget, 1896-1980)的思维发展理论。皮亚杰认为儿童的认知发展表现为四个阶段:①感知运动阶段(从出生至两岁左右);②前运算阶段(2岁～7岁);③具体运算阶段(7岁～11岁左右);④形式运算阶段(11岁～15岁左右)。尽管已经对多个数学概念进行研究,但我们尚不清楚更为抽象的立体几何概念如直线和平面垂直、直线和平面平行概念的发展规律。我们通过对这两个概念发展特点的探究,可进一步研究学生思维认知规律,尤其是空间想象力的发展特征。

二、线面位置关系的发展研究

1.直线与平面垂直概念的发展

(1)研究方法

被试:北京市矿院附中初一、初二、初三、高一四个年级各随机抽取一班学生。

实验材料:将对直线与平面垂直的概念理解分三个水平,即直观水平、表象水平、抽象概括水平,根据这三个水平设置三个题目。所谓直观水平是指学生能按照外观从整体上识别直线与平面垂直的位置关系;表象水平是指学生能够从实物中抽取其空间形式,在头脑中形成直线与平面垂直的丰富图形表象,并用于判别空间位置关系;抽象概括水平是指学生能够在思维的抽象概括下确认直线与平面垂直的本质特征。

测试直观水平的题目为:由已知所给的八张图片选择反映直线与平面垂直的位置关系的图片。测试表象水平的题目为:判断正误,并说明理由。命题为“若直线与平面内的无数条直线垂直,则该直线与平面垂直”,测试抽象概括水平的题目为:判断正误,并说明理由。命题为“若直线与平面内的任意一条直线垂直,则该直线与平面垂直。”

实验程序:①先对各年级选一些人进行预测;②再对本校初一年级、初二年级、初三年级、高一年级各随机抽取一班,由主试控制下,全班被试统一进行试卷测试。

记分方法:考察直观水平题目答案有4张图片,每选对一张记1分,全部选错记0分;若学生获得满分4分,我们认为达到概念理解的直观水平。至于考察表象水平题目,学生判断正确或能正确画出线面垂直空间图形者记1分;若判断正确并说对理由者记2分;否则记0分。若学生获得满分2分,我们认为达到概念理解的表象水平。至于考察抽象概括水平题目,学生判断正确记1分;若判断正确并说对理由者记2分;否则记0分。若学生获得满分2分,我们认为达到概念理解的抽象概括水平。

数据采用spss统计软件进行分析。

(2)实验结果

如表1所示:各年级学生在三个题目上得分的平均成绩比较:

用多元方差分析统计方法发现理解直线与平面垂直这个概念的三个水平,即直观水平、表象水平、抽象概括水平,男女生在不同年级中存在交互作用。

2.直线与平面平行概念的发展

(1)研究方法

被试:北京市矿院附中初一、初二、初三、高一四个年级各随机抽取一班学生。

实验材料:我们将对直线与平面平行的概念理解分三个水平,即直观水平、表象水平、抽象概括水平,并根据这三个水平设置三个题目。其中,直观水平:学生能按照外观从整体上识别直线与平面平行的位置关系;表象水平:由实物抽取其空间形式,在头脑中形成直线与平面平行的丰富图形表象,并用于判别空间位置关系;抽象概括水平:在思维的抽象概括下,确认直线与平面平行的本质特征。

测试直观水平的题目为:由已知所给的八张图片选择反映直线与平面平行的位置关系的图片。测试表象水平的题目为:判断正误,并说明理由。命题为“若直线在平面外,则该直线与平面平行。”测试抽象概括水平的题目为:判断正误,并说明理由。命题为“若一条直线与平面没有公共点,则该直线与平面平行。”

实验程序:①先对各年级选一些人进行预测;②再对本校初一年级、初二年级、初三年级、高一年级各随机抽取一班,由主试控制下,全班被试统一进行试卷测试。

记分方法:考察概念理解的直观水平题目答案有4张图片,每选对一张记1分;全部选错记0分;若学生获得满分4分,我们认为达到概念理解的直观水平。至于考察表象水平题目,学生判断正确或能正确画出线面平行空间图形者记1分;若判断正确并说对理由者记2分;否则记0分;若学生获得满分2分,我们认为达到概念理解的表象水平。至于考察抽象概括水平题目学生判断正确记1分;若判断正确并说对理由者记2分;否则记0分。若学生获得满分2分,我们认为达到概念理解的抽象概括水平。

数据采用spss统计软件进行分析。

(2)实验结果

用多元方差分析统计方法发现理解直线与平面平行这个概念的三个水平,即直观水平、表象水平、抽象概括水平,男女生在不同年级中存在交互作用。

3.分析与讨论

此实验研究对象是初一至高一四个年级学生,他们未曾学习立体几何知识,我们的目的是研究这些学生线面垂直及线面平行两空间概念的自然发展特征。

(1)直线与平面垂直概念发展特征

首先,我们发现直线与平面垂直的概念发展特点如下:通过对四个年级学生直观水平、表象水平、抽象概括水平得分进行方差分析,结果(如表2所示)表明:直观水平(F(3,113)=0.849,p>0.05),表象水平(F(3,113)=0.277,p>0.05),抽象概括水平(F(3,113)=1.424,p>0.05)得分不存在显著的年级差异,因此得到结论为四个年级学生理解直线与平面垂直的概念在直观水平、表象水平、抽象概括水平三方面不存在显著差异。再如表1所示初一年级、初二年级、初三年级、高一年级学生理解此概念在直观水平方面总平均分3.2149,达到满分的75%。我们规定平均成绩达满分的75%～90%为基本掌握阶段,因此四个年级学生理解此概念在直观水平方面属于基本掌握阶段。测试表象水平题目满分为2分,我们认定平均成绩达满分的50%～74%为初步掌握阶段,四个年级学生在表象水平方面总平均分1.0496,达满分的50%以上,因此属于初步掌握阶段。测试抽象概括水平题目满分为2分,我们认定平均成绩达满分的25%以下为未掌握阶段,四个年级学生总平均分0.4545,平均成绩未达满分的25%,因此这些学生属于未掌握阶段。根据上述情况,得到结论为:初一至高一学生理解此概念属于直观水平的基本掌握阶段,表象水平的初步掌握阶段,抽象概括水平的未掌握阶段。从表3方差分析表中看出四个年级男生总体与四个年级女生总体之间对直线与平面垂直这一概念理解的直观水平、表象水平、抽象概括水平不存在显著差异。

其次,通过分析我们获得直线与平面垂直的概念发展的关键期:由上述结论看出,四个不同年级的学生理解直线与平面垂直的概念在直观水平、表象水平、抽象概括水平三方面均属于相同发展层次的低水平,这说明空间思维能力发展较晚,这与李洪玉博士研究结果一致。对于此概念理解的抽象概括水平这方面,如表1所示,高一学生抽象概括水平平均成绩(0.5122)高于初三年级(0.3462),这说明高一年级是直线与平面垂直概念发展的关键期。造成这种现象的原因,可能是初中生的思维形式以直观经验为主,抽象概括能力低,随着年龄增长,初中学生思维形式逐步过渡到高中阶段以理论型为主的抽象逻辑思维形式。

再者,我们探讨直线与平面垂直的概念发展的三个水平之间的关系特征如下:众所周知,认知操作是指发生于主体大脑内部的一种思维动作,它是按照一定的逻辑法则进行的,并可区分为不同的层次水平。本研究结果表明四个年级学生理解直线与平面垂直的概念经历三级水平,即直观水平、表象水平、抽象概括水平。第一步直观水平:学生能按照外观从整体上识别直线与平面垂直的位置关系,相应于这一水平的认知操作为首先注意观察反映线面垂直关系图片,感知它的基本特征,形成表象,贮存表象。第二步表象水平:学生从实物抽取其空间形式,在头脑中形成直线与平面垂直的图形表象,并用于判别位置关系。相应于这个阶段认知操作为在前一阶段认知操作基础上,对图片继续观察其特征,形成丰富的图形表象,接着贮存表象,初步概括出直线与平面垂直的特征,但这仅仅是感性的、直观的认识。如有的学生认为直线与平面成直角,则直线与平面垂直。第三步抽象概括水平:在思维的抽象概括下,找出直线与平面垂直概念的本质特征。相应于这一水平的认知操作为在上一阶段认知操作基础上,继续进行抽象概括,在思维的进一步分析归纳过程中,通过正反例证对图形进行归纳演绎,推出概念的内涵即直线与平面内任意直线垂直。

综上所述,在直线与平面垂直概念发展过程中任何一种水平的认知操作都呈不断传递状态,每一种包含于前一级水平中的操作形式都将传递到下一级水平中去。当学生关于直线与平面垂直概念达到直观水平较高层次时,表象水平才能提高,当学生头脑中储备丰富的表象之后,才容易找到概念的本质特征。这也就是学生优先发展直观水平,再发展表象水平,最后才逐步提高抽象概括能力的原因。它与儿童思维发展一般趋势(具体形象思维水平抽象逻辑思维水平)相符合。

另外,我们讨论直线与平面垂直概念发展的性别特征时,发现四个年级男女生理解此概念不存在显著差异。大多数研究证实,在空间观察能力、空间记忆能力和空间思维能力,即图形特征抽象――概括能力的水平上男女生不存在显著的性别差异。

(2)直线与平面平行概念发展特征

首先,我们发现直线与平面平行的概念发展特点如下:通过对四个年级学生直观水平、表象水平、抽象概括水平得分进行方差分析,结果(如表5所示)表明:直观水平(F(3,112)=1.210,p>0.05),表象水平(F(3,112)=0.887,p>0.05),抽象概括水平(F(3,112)=1.081,p>0.05)得分不存在显著的年级差异,因此得到结论为四个年级学生理解直线与平面平行的概念在直观水平、表象水平、抽象概括水平三方面不存在显著差异。再如表4所示,初一年级、初二年级、初三年级、高一年级学生在直观水平方面总平均分3.5417,超过测试直观水平题目满分4分的75%,因此四个年级学生理解直线与平面平行的概念在直观水平方面属于基本掌握阶段。测试表象水平题目满分为2分,四个年级学生在表象水平方面总平均分1.5917,平均成绩达满分的75%～90%,因此四个年级学生理解直线与平面平行的概念在表象水平方面属于基本掌握阶段。测试抽象概括水平题目满分为2分,平均成绩达满分的25%以下为未掌握阶段。初一、初二、初三、高一学生在抽象概括水平方面总平均分0.8667,稍微高于0.5分,因此这些学生理解直线与平面平行的概念在抽象概括水平方面属于未掌握阶段。我们根据上述情况,得到结论为初一、初二、初三、高一四个年级学生理解此概念属于直观水平的基本掌握阶段,表象水平的基本掌握阶段,抽象概括水平的未掌握阶段。从表6方差分析表中可看出四个年级男生总体和四个年级女生总体之间对此概念理解不存在显著差异。

其次,通过分析我们获得直线与平面平行的概念发展的关键期:由上述结论看出四个年级学生理解直线与平面平行概念在直观水平、表象水平、抽象概括水平不存在显著差异,但从表4可以看出初三年级学生理解直线与平面平行概念在抽象概括水平方面平均成绩较好(0.9615),超过初二年级平均水平(0.9130),这说明初三年级是直线与平面平行概念发展的关键期,其主要原因是初三学生空间认知能力总体水平开始发展。

再者,我们探讨直线与平面平行的概念发展的三个水平之间的关系特征如下:直线与平面平行的概念发展经历三个水平即直观水平、表象水平、抽象概括水平。第一步直观水平:学生能按照外观从整体上识别直线与平面平行的位置关系,相应于这一水平的认知操作为首先注意观察反映线面平行关系图片,感知它的基本特征,形成表象,贮存表象。第二步表象水平:学生从实物抽取其空间形式,在头脑中形成直线与平面平行的图形表象,并用于判别位置关系。相应于这个阶段认知操作为在前一阶段认知操作基础上,对图片继续观察其特征,形成丰富的图形表象,接着贮存表象,初步概括出直线与平面平行特征,但这仅仅是感性的、直观的认识。如有的学生认为直线在平面外,则直线与平面平行。第三步抽象概括水平:在思维的抽象概括下,找出直线与平面平行的本质特征。相应于这一水平的认知操作为在上一阶段认知操作基础上,继续进行抽象概括,在思维的进一步分析归纳过程中,通过正反例证对图形进行归纳演绎,推出概念的内涵即直线与平面无公共点。如上所述同直线与平面垂直概念一样,直线与平面平行概念的不同发展阶段对应于不同的认知操作,概念发展过程中任何一种认知操作总处于不断传递的状态中,并且每一种包含于前一级的操作形式都将传递到下一级水平中去,因此直线与平面平行概念直观水平、表象水平优先发展,最后才是抽象概括水平逐渐发展。它与儿童思维发展一般趋势(具体形象思维水平抽象逻辑思维水平)相符合。

通过将表1与表4中数据对照,发现四个年级学生理解直线与平面平行概念三个水平的平均成绩(3.5417,1.5917,0.8667)均高于他们理解直线与平面垂直概念三个水平的成绩(3.2149,1.0496,0.4545)。探究其原因,学生理解直线与平面垂直概念需要更多的空间想象参与,要求学生具有包括心理操作、旋转、翻转或逆转形象刺激物的能力,显然比理解线面平行概念难度大。

另外同直线与平面垂直概念一样,从表6可以看出四个年级男女生对于直线与平面平行概念的理解不存在显著差异。这再次说明在空间观察能力、空间记忆能力和空间思维能力,即图形特征抽象――概括能力的水平上男女生不存在显著的性别差异。

综上所述,学生理解直线与平面垂直的概念及直线与平面平行的概念都是按直观水平、表象水平、抽象概括水平三个层次逐步发展。这符合人们认识事物从具体到抽象、从特殊到一般的思维发展规律。从心理学的角度来看,这一过程就是我们首先依据直观经验在头脑中正确建构起客观事物的直观表象,再通过形象思维与抽象逻辑思维作用,最终获得对空间概念的本质特征的认识过程。因此,中学生通过学习空间概念,空间想象能力得到不断提高。

三、本研究对教学的指导意义

通过对学生掌握直线与平面垂直、直线与平面平行这两个概念发展特点研究,我们进一步掌握学生对空间概念的学习过程,探究了学生学习数学概念的认知规律。

由于数学概念本身具有高度的抽象性,数学概念教学具有具体――抽象――具体的特点。在教学中,如何体现具体――抽象――具体这一特点呢?

1.探讨从具体到抽象这一过程特点

相对于抽象,具体的东西就是感性材料,用教学术语讲“直观材料”。在数学教学中,直观的材料可以是模型、实物图片、实例等。如开始学习立体几何时,学生的空间想象力尚未建立,常常难以想象图形在三维空间中的情境,这时常常使用实物模型或图片,有时也让学生亲自去制作有关模型,从中发现一些几何特征。

应用直观材料时应注意以下几点:

(1)要有目的性,我们目的是要从具体材料中抽象出本质属性或内部关系,因此始终把握这个方向,不要为直观而直观。

(2)通过直观材料,在头脑中建立起有关事物的特征与联系,感觉、知觉、表象或观念,从而获得关于事物的一些具体的或感性的知识。在这种教学的直观过程中,学生只获得一些主观映像,即关于实际事物的感性知识,是事物的外表特征与联系的反映,是认识事物或领会知识的开端环节,它仅仅是提供一些所要掌握的概念与法则所必须的基础性的知识经验,若要建立起相应的概念与法则,则必须在这一基础上进行想象、思维和记忆等一系列表象思维过程。

(3)丰富的感性知识经验是正确掌握抽象理论的必要条件,但是在教学过程中所能提供的感性材料,总是在数量上具有一定的限制,因此教师在提供唤起学生的感性经验作为理解概念的基础时,必须较好地选择它们质的特点,并运用对象的变式规律,使它们在最大限度上反映得更全面真实。所谓对象的变式,是指在直观过程中要注意变换作为直观对象的具体实例,丰富学生的感性知识,变更对象的非本质要素,突出对象的本质要素,使学生易形成一般表象的必要条件。如前所述,针对大多数学生掌握直线与平面垂直及直线与平面平行两概念均属于直观水平的基本掌握阶段,表象水平的初步掌握阶段,在今后的教学中注重让学生在各种变化的位置及变化的形式下去辨别图形特征,课上加强正例和反例的综合应用,这样做有利于让学生建构起反映两个空间概念本质特征的定义。由于概念的形成要经历从具体到抽象、特殊到一般的过程,我们按照这样的具体形式进行教学,可以更好地发展学生空间想象力,提高学生的形象思维水平。但是如果材料选择不合适,感性材料存在着片面性特点,那么在学生理解和掌握概念时就有可能出现错误,即有可能在思维中不合理地扩大了概念的外延或缩小了概念的外延。

综上所述,根据学生认知规律,我们在讲授概念时,必须使学生积累丰富的感性材料,充分发挥学生的全部知识和经验,从个别范例中抽出一般特征,也就是抽象出概念。因此我们选择感性材料要力求全面典型。另一方面,在运用感性材料时,注意变式规律,使所取例子充分发挥它们的作用,使学生易形成正确的概念。即,在感性材料选择与运用时,我们要注意正确处理个别与一般关系。

2.讨论从抽象到具体这一过程特征

作为学生掌握概念过程来说,仅仅由具体到抽象、由感性认识上升到理性认识是不够的,为加深对知识的理解,还要把所学的知识应用到同类问题中,从而去检验和深化抽象的概念,从中学到必要的技能与技巧,这个过程实际上是抽象到具体的过程。从逻辑意义上讲,具体事物抽象化是归纳过程,抽象知识的具体化,则是演绎过程。从思维过程内容方面而言,具体事物抽象化在于通过对同类具体事物分析,分别抽出这类事物本质特征,从而形成这类事物的概念。抽象知识的具体化,则在概念本质特征指引下去分析具体事物,从中确定这些具体事物是否具有一系列特征。因此,概念的获得与概念的应用是掌握概念两个不同阶段,为此,教师通常依据教材要求,向学生布置习题作业,使学生依据所学概念去辨认同类的有关事物,或者解决、说明同类事物有关现象或是去完成相应操作等。

总之,抽象性与具体性相结合的原则,即具体――抽象――具体的原则,在数学概念教学中应用很广泛。我们在今后的教学设计中会更加有意识地注意这一规则的应用,不断提高自身教育教学水平,从而发展学生的思维能力,提高学生的学业水平,进一步达到开发学生智力、培养当代高素质人才的目的。

参考文献

1 Levin, J.R., & Allen, V. L. Cognitive Learning in children-Theories and strategies. New York, 1976

2 David L. Sills. International Encyclopedia of the social sciences. New York: The Macmilan & The Free Press, 1968, 140～147

3 Klausmeier, H.J., & Associates. Cognitive Learning and development: Information-processing and Piagetian perspectives. Cambridge, Mass.: Ballinger, 1979

4 Richard E Ripple. Readings in Learning and Human Ability: Educational Psychology. New York : Harper & Row Press, 1964

5 J. R. 安德森.认知心理学(杨清、张述等译).长春:吉林教育出版社,1989

6 曹才翰.中学数学教学概论.北京:北京师范大学出版社,1990

7 任樟辉著.数学思维论.桂林:广西教育出版社,1996

8 王 等著.认知心理学.北京:北京大学出版社,1992

9 朱智贤、林崇德.思维发展心理学.北京:北京师范大学出版社,1986

10 朱智贤、林崇德等.发展心理学研究方法.北京:北京师范大学出版社,1991

11 郑毓信、肖柏荣、熊 萍.数学思维与数学方法论.成都:四川教育出版社,2001

12 陈英和.关于儿童青少年获得几何概念认知操作的发展研究[博士论文].北京:北京师范大学,1992

13 李洪玉.青少年空间认知能力发展的研究[博士论文].北京:北京师范大学,1999

14 贾丕珠.函数学习中的六个认知层次.数学教育学报,2004.13(3):79～81

15 梁绍君.“算术平均数”概念的四个理解水平及测试结果.数学教育学报,2006.15(3):35～37

16 刘 范、吕 静、沈家鲜.国内十个地区7～12岁儿童数学概念和运算能力发展的初步研究.心理学报,1981.2:137～149

17 刘 范.八至十五岁儿童交集概念和解交集数学题能力的发展研究.心理学报,1983.2:156～160

18 刘金花、李洪元、曹子方、沈家鲜、周 蓉.5～12岁儿童长度概念的发展.心理科学,1984.2:8～12

19 林崇德.小学儿童数概念与运算能力发展的研究.心理学报,1981.3:289～298

20 吕 静、张增杰、陈安福.5～11岁儿童面积等分概念的发展.心理科学,1989.4:14～21

21 苗丹民.4～14岁儿童比例推理及认知结构的发展研究.心理学报,1991.2:167～177

22 沈家鲜.三四岁儿童数概念形成过程中的几个问题.心理学报,1962.3:218～310

23 沈家鲜、刘 范、孙昌识、赵淑文.5～17岁儿童和青少年“容积”概念发展的研究.心理学报,1984.2:155～164

24 沈家鲜、范中杰、冉红宇.儿童对称概念发展的实验研究.心理科学,1989.4:14～21

25 许智权、宋宝玲.幼儿掌握数概念的个案研究.心理学报,1981.2:150～158

26 曾国光.中学生函数概念认知发展研究.数学教育学报,2002.11(2):99～102

27 朱智贤、陈帼眉、吴凤岗.儿童左右概念发展的实验研究.心理学报,1964.3:229～236

28 朱文芳、林崇德.初中生函数概念发展的研究.心理发展与教育,2001.4:40～46

29 郑祖心、李美格.六七岁儿童数概念广度的实验研究.心理学报,1960.1:25～28

30 张增杰、刘中华、邱曼君.5～11岁儿童概率概念认知结构的萌芽及其发展.西南师范学院,1983.2:29～43

31 周仁来、张 环、林崇德.儿童“零”概念形成的实验研究.心理学探新,2003.23(1):29～32

32 赵一仑.皮亚杰儿童空间概念发展的拓扑首位论点述评.浙江师范大学学报,2007.30(2):225～228

初中数学平行线的性质篇5

【关键词】初中学生;初中数学;思维拓展;变式题目;拓展教学

一、初中生的抽象逻辑思维特点

初中各年级学生抽象逻辑思维特点是不同的，表现在学生的抽象思维的概念定义、思维判断、和经验推理等方面。而且初中生的抽象思维的经验性质从初一到初三逐渐减弱。首先从发展速度来看初中生的抽象思维发展是从按概念、抽象、推理这个基本顺序来发展的。

抽象逻辑思维的经验是指初中生的抽象逻辑思维过程具有联系性、支柱性、把握性和转化性的特点。支柱性指的是初中生对概念的思考分类首先必须对有关的概念内容和类型具有可想象能力。联系性指的是初中生对相关的概念事物和内容之间的联系具有充分的理解和认识能力。把握性指的是初中生对于概念的相关支撑事物具有认识的充分把握能力。转化性指的是初中生将正确认识事物的推理过程中将推理能力运用到现实生活解决问题的思维过程。

二、初中数学课本改变题目条件，探索新的结论

例1、北师大数学教科书八年级上册第80页习题8.2第2题：在ABC中，∠ABC=50°，∠BAC=70°，BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，BD与AE相交于点E，求∠APC的度数。

为了培养学生的抽象逻辑思维，提高学生的发散抽象思维能力，可将题目条件改为：

（一）其他条件不变，将具体条件改为，将∠ABC+∠BAC=120°，求∠BAC

（二）其他条件不变，将∠ABC+∠BAC=120°改为∠C=80°，求∠BEC

（三）其他条件不变，求∠PAC与∠PCD的关系。

通过以上方法的变换，题目的条件得到变化，结论也必将发生变化。根据三角形三角和度数为，以及角平分线的基本原理，通过题目具体已知条件理论，等的相关变化，题目的结论也发生了变化学生的思维得到变通、拓展，学生的发散抽象逻辑思维能力通过类似的反复练习将会有一个较大的提高

三、初中数学课本变换数学题目类型，探究类似结论

拓式1、四边行与四边形两条对角线构成的模型

四边形ABCD中，P是∠BAC与∠ABC的角平分线AP与CP的交点，求∠ABD与∠APD是什么关系。

拓式2、梯形与两条对角线构成的模型

梯形ABCD中，AE是∠BAC的角平分线，BE是∠ABC的角平分线，求∠ABE与∠ADE是什么关系。

通过不同的数学理论引出数学课本题型的变换，以此种变换方式应用到数学课本命题中，使得数学题型变得丰富，有利于学生思维的拓展。

四、初中数学课本总结数学习题类型

例如，北师大版数学九年级上册第26章总复习题第15题，如图1为测得电塔高度BD，在A处用高1.5米的测角仪器测AC的仰角为55°，再向塔方向前进130米，又测得塔顶端B的仰角为40°，求电视塔的高度BD。

这道数学题知道有5种解法，本质是计算出三角形和四边形的线段长度，可以通过题目给出的条件抽象如图，两直角三角形有公共边，抓住直角三角形的相关性质可以算出限度BD的长度。直角三角形的性质在初中数学和中考数学中有很广泛的运用。

通过数学题目解题思路的归纳有利于初中学生抽象归纳思维的形成，有利于初中学生发散思维能力方法的归纳总结。

五、关于灵活变换条件

一部分结论与条件互换，通过题目一部分条件与结论的互换，提高题目命题的灵活性，提高学生的思维灵活性，

例如：1、在梯形ABCD中，AB平行于CD，CP垂直于AB，E是AD的中点，求证AB+CD=BD.

在梯形ABCD中，AB平行于CD，E是AD的中点，求证CP垂直于AB.

在梯形ABCD中，AB 平行于CD，CP垂直于AB，求证，E是AD的中点。

2、 线段AB 交于点P，点O是∠BAC和∠DBC的角平分线的交点，试说明∠P与∠B关系，求证：[∠P=■（∠B+∠C）]

线段AD、BC交于点O，连接AB并延长至E，连接AB并延长至P，AF、CE，分别是∠ACE与∠ADE的平分线，且交于一点P，用∠A、∠D的代数式表示∠E

这些条件灵活变换的例子可以起到一个很好的说明作用，灵活变换的好处是可以多角度多方面的命题，不言而喻，其可以提高学生的发散思维能力。

例题变式设计要有一定的把握性，教学必须做到变式既要变得有艺术性，又要有科学性。表现在变式数量不要无限化，如果把一个数学习题的变式做到无限扩大，基于课堂时间的有限性，这种行为是没有必要的。除此之外，因为变式的有限性，变式的内容要为学生服务，变式的内容应该尽量合理，因为这有这样才能使得变式更具有价值和意义。

六、结束语

初中生已经有了很好的抽象逻辑思维能力，初中数学教学应该把培养初中生的抽象逻辑思维能力纳入到教学目标中，而更好地学会初中数学课本习题的变式与运用，是实现初中数学教育的一个重要内容。熟悉运用初中数学课本习题命题变式规律，可以很好地进行初中数学课本习题命题，从而实现教学目的。

参考文献：

[1]王虎.初中数学课本习题变式设计的几点思考[J].学苑教育，2012（22）.

初中数学平行线的性质篇6

本册教材在内容的安排和编写方式上与第七册教材有相同的特点，即在前几册教材的基础上，根据小学高年级学生的认知和思维发展的特点，适当增加概括性的数学知识，进一步加强知识间的内在联系和知识的逻辑性、系统性，使学生在知识技能和逻辑思维能力等方面有较大的提高，为进一步学习打下更好的基础，也便于同初中数学的学习更好衔接。

1．适当加强简易方程。简易方程属于代数知识。在小学数学中适当引入一些代数初步知识，有利于学生巩固和加深对已学过的算术知识的理解；可以使一些整数、分数、百分数的应用题（主要是逆思考的）化难为易，减轻学生学习负担，提高学生的解题能力；有助于培养学生的抽象思维能力；有利于加强中小学知识的衔接。

2．本册教材平面图形的内容较多，在教学中，注意加强操作和画图，沟通图形之间的内在联系，可以进一步加深学生对有关图形和面积计算公式之间的内在联系的认识，更好地发展学生的空间观念。

3．加强约数和倍数中的基本概念和算理的教学。这部分教材的概念比较多，也比较抽象，知识的前后联系也比较紧密。本册教材在原通用教材的基础上，又采取了加强操作和直观，加强算理教学，加强对易混概念、计算方法的区分等手段，使学生较好地掌握这部分知识。

4．加强新旧知识的联系和分数概念的教学。教材注意加强与已学的分数初步知识的联系，并在此基础上加以概括；加强了商不变性质与分数基本性质和约分、通分的内在联系，可以促进学习的迁移。

5．加强学生思维能力的培养。本册教材概念、法则多，抽象性强。考虑到学生抽象思维的发展已经有了一些基础，教材在培养学生思维的严密性和灵活性方面有所加强。

一、三角形、平行四边形和梯形本单元的几何初步知识是在学生初步认识了直线、线段和角、直角，初步掌握了长方形、正方形的特征的基础上进行的比较系统的教学，可使学生对平面图形中一些最基本的概念有比较清楚的认识。学好这部分内容，不仅能扩展学生的知识面，从形的方面加深对周围事物的认识，提高学生解决实际问题的能力，而且可以发展学生的空间观念和思维能力，也为后面学习一些图形的面积计算打下较好的基矗本单元包括角的度量，垂直和平行，三角形，平行四边形和梯形，共4节。

（一）角的度量

教材先讲直线和线段，并在此基础上引出射线，使学生掌握三个概念的联系和区别，为进一步学习图形的知识打好基矗接着利用射线的概念给角下定义，再通过操作，用运动的观点说明角的概念，通过比较角的大小加深对角的认识。然后讲角的度量。先引入量角器，指出角的计量单位是“度”，再讲用量角器量角的方法，并通过实际操作说明，角的大小要看两边叉开的大小，与角的两边画出的长短没有关系。关于角的分类，教材通过折纸和用量角器量角来认识直角和平角，再通过测量介绍锐角和钝角。角的画法，教材通过例题，教学按给定的度数画角，说明画角的三个步骤，初步培养学生作图的能力。

（二）垂直和平行

1．垂直

在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种情况。因此，教材在讲垂直时，从两条直线相交组成四个角引入，然后使其一条直线转动，使∠1变成直角，观察其他角变成了什么角，使学生看到每相邻两个角都是直角。在此基础上引出垂直的概念。然后讲解画垂线的方法（分两种情况）。接着通过实际测量得出，从直线外一点与这条直线垂直的线段最短，并在此基础上引出点到直线的距离的概念。教材最后讲用画垂线的方法画长方形、正方形，这是画垂线的一种实际应用。

2．平行

学生在学习第四册时对平行线已有了初步认识，这里让学生举出具体实物中的平行线。在复习的基础上，进一步通过延长每组直线，揭示平行线的本质特征，进而抽象出平行线的概念。之后，教材出现在平行线间作几条垂线，通过量它们的长度，初步认识平行线间的距离处处相等的性质。最后，教学用直尺和三角板画平行线的具体步骤和方法。教学时要强调，画平行线时直尺和三角板不能滑动。

（三）三角形

1．三角形

的特性教材通过观察学生所熟悉的具有三角形形状的实物，抽象概括出三角形的定义。接着通过实际操作让学生认识三角形的稳定性，并举例说明三角形的稳定性在实践中有广泛的应用，使学生认识到学习三角形有很重要的实际意义。

2．三角形的分类

初中数学平行线的性质篇7

——《平行四边形的性质》教学反思

广州市天河中学 叶小莹

内容摘要：教学路上，不断地从实践中学习，反思个中成败得失，才能把课上得更好，努力得让自己迈向更新的领域。

关键词：教学反思 平行四边形的性质

每个教师在长期的教学活动中，都可能形成自己独特的教学风格，对同一节课，不同的教师也会有不同的教法。如果在教学活动中，能善于进行比较、研究，准确评价各种教学方法的长处和不足，从中找出最佳策略，改进自己的教学。2008学年第二学期我区初二中心组和学校举行同时进行了平行四边形性质的教学研讨课，由五位老师用不同的教学方法进行教学，笔者结合自己的特点上了一节课，从教学设计到教学实施对本节课有较深的认识，现将本人的设计与实施进行反思。

一、基于教学目标的设计与反思

崔允漷教授认为，“课堂教学的目标是学校教育目的范畴的一个具体概念，它在教学过程中起的作用是不言自明的：它既是教学的出发点，也是归宿，或者说，它是教学的灵魂，支配着教学的全过程，并规定教与学的方向。”

（一）目标分析与制定

本节课是人教版八年级数学下册第19章《四边形》19.1.1 “平行四边形的性质”的内容。平行四边形及其性质是本节的重点，又是全章的重点。纵观整个初中平面几何教材，它是在学生掌握了平行线、三角形及多边形等几何知识的基础上学习的。学习它不仅是对这些已有知识的综合应用和深化，又是下一步学习矩形、菱形、正方形及梯形等知识的基础，起着承上启下的作用。学生在小学就学习了平行四边形的定义，能对四边形，尤其是特殊的四边形进行识别，但对于概念的本质属性的理解并不深刻。在学习平行四边形性质时，让学生通过观察度量，得出对边相等、对角相等、邻角互补的猜想。然后通过证明“对边相等”，必须添加辅助线证明两个三角形全等，一方面引入了对角线，另一方面让学生感受把四边形转化为三角形的数学思想。因此本节课要注意突出平行四边形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合，使证明成为学生观察、实验、探究得出的结论的自然延续，把实验几何和论证几何有机结合。所以本节课的教学目标是以学生为主体，通过学生自己的观察、操作、讨论得到平行四边形的性质，并加以说明和验证，能根据平行四边形的性质解决简单的实际问题。

（二）体现目标的设计与分析

根据教学目标，本节课分成生活中的平行四边形、探索性质、归纳性质、例题学习、课堂练习、自我反馈共6个环节。这里介绍一下环节二“探索性质”。

环节二、探索性质

1、已知m∥n，请根据平行四边形的定义，请画一个平行四边形

前面，结合生活中的平行四边形的实例与学生已有的知识基础，培养学生的抽象思维，强化了学生对平行四边形定义的理解，让学生感受数学与生活的密切联系。这里，让学生运用定义，画平行四边形，为后面探索平行四边形的性质作准备。设计的初稿是让学生随意画一个平行四边形，但是考虑到让学生随意画，可能会花比较多的时间，所以先给一组平行线，让学生在这一基础上画平行四边形。

2、阅读课本第83页第2自然段，然后进行填空

这里让学生学会自学，从教材中找出基本知识。在教学时，笔者没有讲述“对边”、“对角”的定义，以填空题的形式让学生理解“对边”“对角”，淡化概念。

3、观察这个四边形，除了“两组对边分别平行”外，它的边、角之间有什么关系吗？度量一下，与你的猜想一致吗？

学生动手度量刚才画出的平行四边形的边的长度、角的度数，猜想边、角之间的关系。当学生度量后，得出猜想，笔者利用交互式电子白板的即时操作功能，演示平行四边形的边、角之间的关系，再结合几何画板，让学生观察不断在变化的平行四边形，通过观察测量数据得出性质。

4、归纳性质

5、利用前面学过的知识证明上述结论

已知： ABCD中，求证：AB=CD，BC=AD

思考：（1）如何证明“∠A=∠C，∠B=∠D”及“∠A+∠B=180°”

学生在七年级下册学习过命题、定理的相关知识，知道一个命题要经过推理证实是正确的，才能称之为定理。因此，要对刚才的猜想进行几何论证。引导学生观察命题的结论是证明线段相等，提示已学过“线段相等”的证明方法有哪些？（等角对等边、中点性质、线段垂直平分线定理、角平分线定理、全等三角形对应边相等），根据题设，确定证明方法，学生选定需要利用全等来证明线段相等。然后笔者设问：“证明全等条件够吗？”，学生回答“不够”，接着设问：“条件不够时，怎么办？” ,学生很自然回答“添加辅助线”，接着设问“怎样添加辅助线？”，因为要在平行四边形中构造两个三角形，所以学生想到连结AC或者BD，就可以得到两个三角形，并且辅助线AC或BD本身就可以是一组公共边，根据平行四边形的定义得到对边平行，平行可以得到内错角相等，这样，证明三角形全等的条件就凑齐了。

分析完思路后，学生自行完成证明过程。课堂上，笔者展示了书写正确的学生的学习卷，从而规范几何证明的书写格式。同时，指出平行四边形对边相等也是证明线段相等的一个工具。

对于性质2的证明是引导学生利用刚才证明的全等三角形，通过“全等三角形对角相等”或者平行四边形的定义+辅助线能证明“平行四边形对角相等”这一命题；然后根据平行四边形的定义和性质2可以推出“邻角互补”，证明过程课后补充。

在此，笔者提醒学生刚才添加辅助线，把未知的问题转化为已知的三角形的问题，这条辅助线叫做平行四边形的对角线，引出下面的活动。

6、引出对角线，探索性质3并证明。

学生明确了对角线的定义后，通过度量猜想两条对角线有什么关系，有些学生很自然猜想对角线相等，但是经过度量，发现两条对角线不总是相等的。于是有些学生就卡住了。这时，笔者借助交互式电子白板，展示两个全等的平行四边形，然后旋转其中一个，让学生观察两条对角线有什么关系。同时，旋转后，两个原本重合的平行四边形还会重合，让学生巩固前面两个性质，同时发现新性质。虽然学生还没学习图形的旋转和中心对称的知识，但是操作比较直观，学生容易理解。但此处教学时，要向学生讲清线段互相平分的意义和表示方法。

（三）基于教学目标的反思

课后，听课的老师提出，学生在小学学段不仅学习了平行四边形的定义，还对平行四边形进行了度量，知道平行四边形对边相等、对角相等，所以，这节课不需要花时间再去度量平行四边形的边和角。

查阅人教版《小学数学》四年级上册第4章《平行四边形和梯形》，发现在教材中引导学生了平行四边形的定义，同时在课后练习中让学生通过度量的方式认识了平行四边形对边相等、对角相等（如右图）。

所以在备课时，应注意抓住学生的已有知识基础进行备课，充分利用学生已有知识进行学习，因此，本节课，应该在平行四边形的性质探索方面，着重探索对角线互相平分、邻角互补这两个性质，并正确进行平行四边形性质的证明。

同一节课，113中的严老师让学生经历了“探索——发现”这样一个发展过程，加深了学生对新知识的理解。东圃的李老师根据学生特点对教学内容进行适当的处理，突出了学生的“探究性学习”特点，有利于中下学生的学习。汇景的张老师这节课的重点与难度的尺度把握得很好，例题与练习的设计层次分明。同校的周老师大胆放手让学生自主研讨，通过推理论证培养学生类比、转化的数学思想方法，注重引导学生进行逻辑论证，规范证明的书写格式。

二、课堂教学策略的选择与反思

教学策略是指在教学过程中，为完成特定的目标，依据教学的主客观条件，特别是学生的实际，对所选用的教学顺序、教学活动程序、教学组织形式、教学方法和教学媒体等的总体考虑。

（一）课堂教学策略的选择与实施

本节课采用的教学策略：

策略一：把平行四边形的性质几个进行了整合在一个课时学完。

策略二：注重直观操作和逻辑推理的有机结合，通过观察度量、逻辑推理等手段来探索平行四边形的性质。

课堂上，学生先在学案中画一个平行四边形，然后用画图工具进行度量它的边、角、对角线，猜想平行四边形的性质；教师利用多媒体课件拆分平行四边形边、角，进行度量，更直观的得出猜想。然后师生共同证明这个猜想，得出平行四边形的性质。

（二）课堂教学策略反思

汇景的张老师和东圃的李老师都是让学生度量学案中印好的平行四边形，这样的确节省了时间，但是学生会否质疑：是不是所有的平行四边形都具备这些性质呢？这样一来，学生自己画的平行四边形就有了随意性，学生之间画的平行四边形也不尽相同，而且，利用几何画板演示平行四边形的动态变化，学生观察边、角等测量数据在这一动态变化过程中存在的规律，体现了从特殊一般的过程。

113中的严老师，通过让学生动手用两个全等的三角形拼出平行四边形，探索出平行四边形的性质，使学生经历了“探索——发现”这样一个发展过程，加深了学生对新知识的理解。

汇景的张老师从学生原有的知识结构出发，通过猜想、测量、证明等多种方法得到新知识，将新知识的发生过程展现在学生的面前，与此同时渗透了一些科学研究的方法及“转化”的数学思想。

但是以上这三位老师的教学内容只是性质1和性质2，还没涉及到对角线。笔者是对这三个性质进行了整合，让学生有比较地学习。

笔者只是把课本的例题、习题进行了整合，按照直接运用性质、间接运用性质、提升等分了三个题组，但是总体难度不大，对于层次较好的学生，的确有吃不饱的情况。相比之下，同校的周老师的设计就显得更有深度。正如，教研员刘老师说的：“证明是为了‘不量’！”周老师的课上，从证明命题“已知：如图四边形ABCD中， , 求证：（1） , ；（2） ， ”然后到归纳性质，再到例题讲解，最后巩固练习，扎扎实实的在培养学生能力，开拓学生思维，锻炼学生素质上下苦功，朴实无华。

由于学生在小学学段已经学习了平行四边形的定义，并掌握平行四边形的对边、对角之间的关系，所以本节课应该在平行四边形的“对边相等”、“对角相等”这两个性质上由教师在教学平台中演示，或者让学生代表在教学平台中演示即可，不需全班都进行度量，这样可以省下时间完成其他环节。

性质的证明是本节课教学的重点，所以在课堂上，可以给充足的时间让学生证明，然后让学生代表来讲思路，再给出规范化的书写过程。教师利用巡视学生证明，找出一些典型存在的问题。

三、基于教育信息技术的反思

《数学课程标准》指出，现代信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及数与学的方式产生了重大的影响。教师应“大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的探索性的数学活动中去”。

（一）课前的课件制作

这节课是一堂几何学习的新课，笔者用交互式电子白板软件和几何画板来制作课件。交互式电子白板软件，制作和修改课件十分方便，而且有丰富的资源库；同时课堂上使用交互式电子白板这一平台进行教学，在操作方面比以往的教学平台有更明显的优势。几何画板，在于几何图形的动态化和“形”与“数”的同步化，能提供一个理想的让学生积极探索问题的“做数学”的环境。（二）课堂上的多媒体应用

课堂上，学生对自己画的平行四边形进行度量，猜想平行四边形的性质，这些平行四边形，都是静态的。教师利用交互式电子白板的即时操作，验证平行四边形的性质，能使平行四边形“动”起来。拖动平行四边形的一组对边，让学生直观的认识到“平行四边形的对边相等”；复制∠C，旋转、拖动到∠A，让学生观察两个角是否重合，验证“平行四边形对角相等”；拖动复制的∠C，看∠C和∠B能否组成一个平角，验证“平行四边形邻角互补”；旋转平行四边形，让学生观察平行四边形的对角线，得出“平行四边形对角线互相平分”。另外，观察两个旋转前后都重合的平行四边形，还可以使学生巩固学习的性质。

利用几何画板，作一个动态变化的平行四边形，通过度量各边长度、各角度数、对角线的长度，让学对平行四边形的性质产生感性的认识，又一次让平行四边形“动”起来。

交互式电子白板和几何画板的有机结合，更好的为教学服务，不仅增加了学生学习的积极性，还增加了课堂的趣味性，让学生在轻松愉快的学习坏境中学习。

四、基于教学效果的反思

本节课执教的班级学生素质较高，然而，在课前的设计预设练习中考虑不足，所设计的练习显然不能满足这一层次学生的训练度，正如听课老师所说：练习难度还可以提高、练习量可以加大；为此，课后将设计的做以下修改：

环节二中删去了画平行四边形的部分，改为学生代表在教学平台中演示平行四边形的度量情况代替全班度量。

环节四删去例1，保留例2，增设一个难度较大的例题。

例2、已知，四边形ABCD是平行四边形，且

求证：

环节五原题组A改为学生归纳出性质后，马上出给学生完成的随堂小练笔；

原题组B改成题组A；原题组C改成“课后作业”；

增加题组B

如图， ABCD中，AB=8㎝，BC=6㎝，∠A=30°，点P从点A 出发沿AB以每秒1厘米

的速度向点B移动。

（1）当P点运动了几秒时，PBC为等腰三角形；

（2）设PBC的面积为y，请写出y关于点P的运动时间t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（3）是否存在一点P，使SPBC= S ABCD？

增加题组C

如图所示，在 ABCD中， ,垂足为E， ,

垂足为F， ,且 ,

求 ABCD的周长

这样一来，就能解决好学生吃不饱的问题了。教师以自己的实践过程为思考对象，在“回放过程”的基础上，对其中的成败得失及其原因进行思考，得到一定的能用以指导自己教学的理性认识，并形成更为合理的实践方案。只有不断地从实践中学习，不断地反思实践，才能取得不断的进步。

参考文献：

1、《新课程下再探数学听课与评课》，沈斌，《中国数学教育》（初中版）2008年第10期，ISSN 1673-8284

2、《信息技术环境下的初中数学变式教学策略研究》，黄志英、李世杰，《中国数学教育》（初中版）2008年第11期，ISSN 1673-8284

初中数学平行线的性质篇8

关键词：命题知识；自学能力；解题思路

一、深刻领会命题的结构，加强对基础知识的理解

学生在自学初中数学教材内容的过程中遇到代数、几何、统计与概率中的很多定义、法则、性质、公式、定理、公理等，它们多以命题的形式出现。比如：

1.定义

（1）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。

（2）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

（3）众数是一组数据中出现次数最多的那个数据值。

2.法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

3.性质

平行四边形的两组对边分别相等。

4.公式

两数和与两数差的积，等于这两个数的平方差。

5.定理

如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

6.公理

两点之间线段最短。

从以上例题可以看出初中数学知识点多以命题的形式出现，因而它们都具备命题的结构特征，即：都由题设和结论两部分组成，题设是命题的已知项，结论是由已知项推出的项。明白这一点有助于学生在自学过程中理解所学的基础知识。

二、学会证明假命题培养思维批判性

学生在自学过程中思维需要有一定的批判性，他们在解决问题的过程中要对每一步推理的合理性做出正确的判断，只有这样才能决定这一思维是否继续下去，直至问题解决。

例1.判断下列各题，结论正确的在括号内打√，错误的打×。

①三角形的一个外角大于三角形的任何一个内角。（ ）

②如果两个三角形的三个内角分别相等，那么这两个三角形全等。（ ）

③若a>b，则a+2c>b+2c。（ ）

第①题可举反例：如图1，∠1是三角形的一个外角，∠2是三角形的一个内角，但∠1

第②题可举反例：如图2，AEF和BGH都是等边三角形，显然它们的三个内角都相等，但它们不全等，所以它是假命题，应打×。

第③题是真命题，它符合不等式的基本性质，应打√。

三、类比真命题培养学生的发散思维

学生在自学过程中利用命题知识将具有相同题设不同结论和相同结论不同题设的知识点（定义、定理或公理）进行分类总结，对优化知识结构，发展思维能力，形成一定的分析综合能力，提高自学水平是很有帮助的，其实，这也就是发散性思维。

例2.下列命题哪些题设相同，哪些结论相同。

①同位角相等，两直线平行。

②内错角相等，两直线平行。

③同旁内角相等，两直线平行。

④同平行第三条直线的两直线平行。

⑤平行四边形的对边平行。

教学中重视对相同题设不同结论的命题进行概括，可提高学生对题目已知条件的分析能力，快速找到解题思路；对相同结论不同题设的命题进行概括可提高学生对结论的分析能力，寻找不同的解题思路。

四、懂得真命题与数学书写的关系

学生在自学数学过程中会接触到数学语言，比如，在自学平面几何时就涉及三种语言：一是文字语言，二是符号语言，三是图形语言。这三者紧密联系，部分初学者通常不能很好地理解，导致学习难度增加，重视命题知识的教学可以很好地解决这一问题。

例3.定理“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”是文字语言。

结合图形语言：

它所对应的符号语言是“AB∥EF， CD∥EF AB∥CD”

从上面可以看出：一条定理（或公理）对应一步推理，学生的推理能力也是由学会一步推理到两步推理到三步推理这样慢慢发展起来的，教学过程中应让学生明白这一点，才能理解几何的证明书写形式，降低自学过程中的难度，对提高几何的自学能力是很有帮助的。

总之，重视命题知识的教学，能帮助学生更好地理解基础知识，形成一定的分析综合能力，培养良好的思维品质，学会正确地用数学语言表达，为学生自学能力的培养奠定良好的基础。

参考文献：