时间：2023-11-14 05:54:41
一、在认知困惑时追问——理解知识本质
当学生在学习过程中出现疑惑、产生大面积错误时，教师应该及时地发现，立即进行有针对性的追问，这不仅有助于学生准确区分对错，理解知识的本质，而且能够启发学生思考，增强学生分析、比较和解决问题的能力。
如刚学《乘法分配律》时，学生运用乘法分配律使计算简便，正确率非常高。但解答“25×（40×4）”时，受乘法分配律答题形式的影响，几乎都写成（25×40）×（25×4）=1000 x100=100000。
师：“什么是乘法分配律？”
生：“两个数的和乘一个数，可以先把这两个加数与这个数相乘，再把所得的积相加，结果不变，这就是乘法分配律。用字母表示是（a+b）×c=a×c+b×c。”
师：“25×（40×4）是表示两个数的和与一个数相乘吗？”
生：“不是，25×（40×4）是表示两个数的积与一个数相乘。”
生：“25×（40×4）是表示三个数相乘的积。”
生：“我们都错了，这题应该用乘法结合律简算，应该写成（25×40）×4=1000×4=4000。”
师追问：“那么乘法分配律和乘法结合律有什么区别呢？”
生：“乘法分配律是两个数的和乘一个数，乘法结合律是三个数相乘。”
生：“乘法分配律含有加法和乘法两种运算，乘法结合律只含有乘法一种运算。”
就这样，由学生的错误开始，教师针对学生的困惑，及时追问，引导学生自主比较，准确掌握了乘法分配律和乘法结合律的区别，进一步理解了乘法分配律，加强了知识的前后联系，避免再犯类似的错误，提高了学习的效率。
二、在课堂意外时追问——引导思维走向
课堂是充满生命灵性的，在动态的数学课堂中常常会出现一些意外。这些意外有的是学生独立思考后智慧的火花，也有不少是刻意模仿产生的错误，教师要善于捕捉这类意外，及时追问，引导学生深入思考，促进学生真正理解所学知识。
学习《找规律——排列》时，有这样一道题：“某旅行社推出五一黄金周的旅游景点为：桂林、花果山、周庄、苏州园林、南京中山陵。小红家想选择其中的两个景点游玩，她们家一共有多少种不同的选择方案？”
学生几乎都列式5×2=10（种），交流时说5个旅游景点，选择2个，所以这样列式。列举出桂林和花果山、桂林和周庄、桂林和苏州园林等10种方案。因为列式和列举的结果一致，所以对于这种解答方法学生深信不疑。
笔者发现这是学生受到两个物体的搭配的影响，但没有直接否定，在题目中又增加了一个景点，六个景点中选择两个游玩，一共有几种方案？
师：“这题可以怎样解答？”
生：“6×2=12（种）。”
师追问：“请说出哪12种方案？”
生：“桂林和花果山、桂林和周庄……”
生：“不对，这里一共有15种方案呢。”
生：“错了，这题不能列式6×2=12（种），应列成5+4+3+2+1=15种。”
生：“刚开始那题的列式也错了，也应该列成4+3+2+1=10（种）。”
教师要善于把握课堂的即时生成，敏锐捕捉并准确分析学生的真实想法，准确分析产生错误的原因，通过追问引导学生深入思考，实现课堂的动态生成。
三、在自主探索时追问——促进认识深入
数学教学的过程性目标之一是“探索”。在数学教学过程中，教师应尽力为学生的自主探索提供必要的时间和空间，并在交流反馈过程中，合理运用追问的策略，促进学生的认识得以深化。
学习了《三角形的分类》，让学生通过观察、交流并总结出三种三角形角的特点。为了帮助学生真正理解不同三角形中角的特征，笔者设计了一个游戏，要求学生自主探索：
题目是“下面的三角形都被一张纸遮住了一部分。只看露着的一个角，你能确定他们各是什么三角形吗？”
生：“它们分别是钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。”
师：“同学们有没有其他意见？”
学生异口同声说：“没有。”
笔者把长方形纸片拿开，第三个却是一个钝角三角形。学生大吃一惊。
师追问：“为什么第三个不是锐角三角形，而是钝角三角形呢？”
生：“钝角三角形也有锐角，而且有两个锐角。所以它可能是钝角三角形。”
生：“只看见一个锐角，无法确定它是哪种三角形。”
在反馈交流环节，教师在关注学生答案对错的同时，还应关注学生自主学习能力的提高。在学生自主探索时，合理制造认知冲突，及时给学生强烈的思维刺激，产生思维碰撞，促进认知不断走向深入。
总之，我们在教学中要真正以学生发展为本，让课堂追问成为师生互动、生生互动的催化剂，让学生的思维在教师的追问中得到有效发展。
教学案例：苏教版小学数学四年级下册《运算律》
学生在学习完乘法分配率后，已经能利用乘法分配率来解答一些简便计算了。但是，为了让学生知道有时从题目的表面上来看，感觉可以用乘法分配率来解答，其实根本就不能用乘法分配率来解答的，我就在教学最后时间里出了两道题目让学生解答：（540+54）×9、（540-54）÷9。有很多学生在解答第一道计算题的时候，也用乘法分配率解答：（540+54）×9=540×9+54×9=4860+486=5346。解答第二题时，因为是除以9，好多学生不敢用乘法分配率来解答。在集体订正时，有一位学生站起来说，第一题用乘法分配率来做比不用乘法分配率来做要简单得多，而第二题他却说可以用分配率来解答：（540-54）÷9=540÷9-54÷9=60-6=54。他的话还没有说完，就有很多学生都表示了赞同。当学生都认可这位同学的解法之后，我进行课堂总结：“用不用运算律来计算，首先要看运用运算律解答是不是最简便，如果还没有常规解法简单的话，我们就应该用常规解法。运算律只是为我们计算简便服务的，如果达不到这个目的，就不能用运算律……”我的话还没有说完，就有学生站起来说：“我不同意这位学生的观点，第二道计算是除法计算题，他用乘法分配律来解答应该是错的。”这位同学的话也得到了许多学生的附和：“对呀，我们学习的是乘法分配率，只能用在乘法计算中，怎么也能运用到除法计算中呢？如果不能运用，那么为什么计算结果却是对的呢？”看到同学们一脸的疑惑，我随手又出了一道题目让学生解答：（63+56）÷9，让学生分别用乘法分配率与常规解法，学生用两种方法计算的结果还是一样的。这时，学生已经明白可以用乘法分配率来解答除法计算题了。还有的同学把这种运算律称之为“除法分配率”。正当学生沉浸在成功的喜悦中，我又出了一道题目来让学生解答：210÷3+210÷7，学生因为有了“除法分配率”概念，所以也就很快解答出来了。210÷3+210÷7=210÷（3+7）=21，看着学生那沾沾自喜的样子，我笑着说，请你们再用常规解法来解答，看看答案是否一样。很快就有学生站起来说：“不对，不对，我用常规解法来解，这道计算题的答案是100，而不是21。”一语惊醒梦中人，其他学生也纷纷争着发表自己的意见。
生1：我认为根本没有什么“除法分配率”，要不为什么会出错呢？
生2：我不同意生1的意见，我认为“除法分配率”是有的，但是它要在一定的情况下才能使用，但是我却不知道应该在什么情况下才能使用。
师：对呀，应该在什么情况下才能使用呢？你们可以先比较这几道题目，然后再小组讨论一下。
（学生小组活动，教师适时参与其中）
经过讨论，学生一致认为，只有是除数相同的情况下，才能使用“除法分配率”，如果除数不同，就不能使用。
这是一节简便计算的教学课例，学生在练习过程中，无意生成了一系列的差错，而这些差错笔者已经发现了，但是却没有直接去点明，而是由“错”生“错”，从错误中引出学生正确的解法，巧妙地利用一系列的知识冲突来引发学生的思维碰撞，让学生的思维经过生错，析错，纠错的过程，从而形成正确的解题思路，让学生的知识与技能得到进一步的强化。这样的处理不仅强化了学生所学的运算律知识，而且拓展了学生的数学思维，让学生的思维更细密。通过这则教学案例，对处理学生生成性“差错”有下面几点启发。
一、宽容差错理解学生
学生在学习过程中，出现错误解法是很正常的。所以，我们不能批评学生，而是宽容学生的解法，理解学生。就像案例中学生解答（540+54）×9时，虽然学生用乘法分配率解答比正常解法要麻烦得多，但是我没有直接指出学生的差错，更没有给予否定的评价，而是引导学生自己发现差错，给他们一个各抒己见的平台，自主明白差错的原因。
二、耐心聆听客观分析
学会聆听是一名优秀数学老师必需具备的基本素质之一。学生虽然会产生一些错误，但是产生的这些错误也一定存在着他的思路。虽然这种思路从整体上来说是不对的，但是当中也一定具有它合理的一面，所以，我们要学会耐心聆听学生的表述，客观分析学生的思路，从而使我们的教学更具合理性与针对性。就像案例中所述那样，针对有没有“除法分配率”这一概念，我通过层层的设置问题，让学生呈现错误。当学生出现错误时，我并没有直接否定，而是让学生发言，说一说自己的想法。学生在发言的过程中我已经找到了问题的症结所在，再进行下面的教学就可以有针对性地出示一些题目来让学生分析比较，思考解答。
三、师生研讨打开思路
合作学习是新课程重要的教学理念。所以，在学生出现差错时，我们也不能直接向学生灌输正确的方法，而是通过组织学生在一起研讨，教师适时参与。这样，学生的思路才能被有效打开，才能形成正确的知识体系。像案例中当学生对“除法分配率”的认识出现瓶颈时，我们要引导学生主动在一起研讨，教师也参与其中，这样所获得的解题思路远远要比我们教师的讲授要好得多。
总之，课堂上学生生成一些差错是很正常的现象，这些差错是我们数学课堂上最宝贵的教学资源，而我们的数学课堂也正是因为有了这些生成性差错才变得更加丰富多彩。所以，我们要灵活驾驭这些差错，巧妙利用这些差错，让这些生成性差错更好地为学生的学习服务，促进学生数学素养的提升。
运算定律对于小学生来说，是抽象的。对小学数学教师来说，往往难以深刻理解其价值（比如仅仅把运算定律理解为简单运算的依据）。在教学实践中，运算定律或者被教师认为没什么可教、被学生认为没什么可学，比如加法交换律和乘法交换律；或者被教师认为难教、被学生认为难学，比如乘法分配律就是公认的难教、学生错误率高的内容。
《乘法分配律教学研究报告》的作者及其团队对学生学习和运用乘法分配律时出现的问题进行了调查。这种研究问题的方法值得我们借鉴。一般来说，对于学生在哪些方面会出现哪些问题，有经验的老师往往都有一些了解。但对于一个愿意深入研究问题的老师来说，除了充分运用经验以外，还要进行一些有意识的、系统的调查了解。这种调查可以是问卷，也可以是访谈，或者是在问卷的基础上访谈。通过调查，我们可以确认经验中的一些认识，还可以获得一些新的认识，进一步丰富我们的经验。特别是对学生的访谈，有时可以获得鲜活的一手材料。比如研究报告中提到的一些学生的认识：
⑴25×（200+4）=25×200+25×4这个算式中，左边只有一个25，右边有两个25，怎么会相等的呢？
⑵算式32×8+68×8左边有两个8，我这样算（32+68）×8×8，才有两个8呀？
⑶24×102=24×（102-2），我们不就是要把102变成整百数吗？
从教学实践来看，乘法分配律之所以难教、难学，学生错误率高，最主要的原因是乘法分配律形式较其他运算定律复杂，不容易理解。同时也正是这种形式的复杂，使得乘法分配律的应用的问题也形式多样。学生学习过程中出现的典型问题与错误，基本上都可以追溯到以上原因。比如研究报告中介绍的学生错误：25×（200+4）=25×200+4，32×8+68×8=（32+68）×8×8，应该源于没有掌握乘法分配律的复杂形式，而25×44=25×40×4或25×44=25×11+25×4则更多地源于不能灵活运用乘法分配律解决稍复杂的问题。
对教学中出现的问题进行思辨是必要的。这种思辨的依据包括教学经验，也包括对教学规律、学生认知规律等的理性认识。有了这种思辨，就有了对问题存在的原因的认识，从而就有可能作出解决问题的教学设计。《乘法分配律教学研究报告》的作者及其团队在帮助学生构建对乘法分配律的理解，或者说，帮助学生构建关于乘法分配律的模型上下工夫。为此，他们进行了三种不同的教学设计。第一种设计企图帮助学生构建关于乘法分配律的现实生活原型：买若干套物品，算总价时，可以先算一套的价格，再乘套数，也可以先算一套物品中各部分的价钱，再算总和。第二种教学设计企图帮助学生建立起关于乘法分配律的几何模型（面积模型），即一个大长方形的面积，可以理解为两个小长方形的面积之和。第三种教学设计企图帮助学生建立起关于乘法分配律的乘法意义模型。
我们的教学设计需要在实践中检验。《乘法分配律教学研究报告》的作者及其团队对以上三种教学设计进行了教学实践检验。根据我们的经验，不难发现，以上三种设计各有其优点。比如关注现实生活模型的设计，很容易与学生的经验和经历对接起来，有利于学生的理解。而关注乘法意义模型的设计则简洁，直指问题的核心与本质。而几何模型则借助数形结合的思想解决问题。在真正的实践中，我们往往是以一种方式为主，也不局限于一种方式。但是对于这种有研究取向的实践，我们往往需要把问题突显出来，把无关的因素分离出去。从而，我们在研究性的实践中，就只采用某一种方式进行实践，把一种教学的思路用到极致，以便于我们了解这一种教学思路的特点。这是研究问题的常用方法。
所有的教学研究，最终的落脚点都应该在改进教学实践上。关于乘法分配律的教学研究也不例外。我们期待通过《乘法分配律教学研究报告》的作者及其团队的研究，一方面能让我们了解各种关于乘法分配律教学设计的价值与特点，另一方面也能让我们得到具体的教学建议。这就需要研究团队对研究过程中得到的材料进行更好的整理与分析。
数学教学实践会给我们数学教师提出层出不穷的问题，而我们的数学教学实践也将不断地进行下去。于是，在教学实践中解决实践给我们提出的问题，即在行动中研究，就成为我们面对问题的应有态度。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，在注重数学基础知识和基本技能的同时，要发展数学基本思想方法，积累数学基本活动经验。数学基本思想方法和基本活动经验被隆重地推介到了全新的地位。从“双基”走向“四基”，从重结果发展到既重结果又重过程，说明我们教师在教学中必须要着眼于学生数学素养的全面提升。因此在运算能力的培养上，教师不能只关注学生是否记住了基本的数学概念、法则、公式、定理、运算律等，不能只关注学生的运算途径、程序、步骤是否正确，而应重点关注学生是否参与了概念的形成过程、法则的概括过程、公式的推导过程。落实到具体教学上，我认为，只要教师精心设计有效的数学活动，引导学生在自主的探索活动中不断领悟数学基本思想方法、积累数学基本活动经验，那么，掌握数学基础知识，获得数学基本技能自然就水到渠成了。
【案例】“乘法分配律”教学片断
多媒体课件出示例题1：
李老师去超市为班级买劳动工具，一把扫帚4元，一个拖把7元，李老师买5套这样的劳动工具一共应付多少钱？
师：请同学们在本子上列式解答，比比看谁的方法多？
学生各自独立计算。
生1：我先算出1套劳动工具的价钱，再求出5套劳动工具的价钱，算式是（4＋7）×5＝55（元）。
生2：我先算出5把扫帚的价钱，再算出5个拖把的价钱，最后算出它们的总价钱，算式是4×5＋7×5＝55（元）。
生3：我的方法是：4＋4＋4＋7＋7＋7＝55（元）。
生4：我是这样列式的：4＋7＋4＋7＋4＋7＝55（元）。
师：你们觉得这几种方法有联系吗？你们喜欢哪种方法？
生5：我认为生1的想法与生4差不多，只是生1用乘法计算5把扫帚的价钱，生4用的是加法，我觉得乘法比较简单。
生6：生2和生3的想法也是一致的，我觉得生2的方法简单。
教师在黑板上板书生1和生2的算法：（4＋7）×5；4×5＋7×5。
多媒体课件出示例题2：
淘气和笑笑合作摆棋子，每行摆8个白棋、6个黑棋，摆了4行，他们一共摆了多少个棋子？如图：
生1：先算一行有多少棋子，再算4行一共有多少棋子，算式是（8＋6）×4＝56（个）。
生2：我先分别算出白棋和黑棋的个数，再算他们合起来总共的个数，算式是8×4＋6×4＝56（个）。
教师接着上题板书：（8＋6）×4；8×4＋6×4。
师：观察黑板上的这些算式，你有什么发现？把你的发现与同学们交流交流！
学生激烈的交流之后，进行班级汇报。
生1：老师，我发现每一组的两个算式相等，第一个算式可以写成第二个算式的形式。
生2：4与7的和乘以5，就等于4乘以5的积加上7乘以5的积。
生3：括号里两个数的和乘以一个数等于那两个数分别去乘这个数，再把乘出来的两个积相加。
师：你们的发现对不对呢？你能举些例子进行验证吗？
学生认真地写出算式并进行计算验证，之后全班汇报。
生1： （2＋3）×6＝2×6＋3×6，左边算式的括号里算出来是5，表示有5个6，右边算式里的2×6表示有2个6，3×6表示有3个6，2个6加3个6一共是5个6，所以两边是相等的。
生2： （4＋1）×8＝4×8＋1×8，左边是5个8，右边是4个8加1个8一共是5个8，两边算式的形式虽然不同，但意思是相同的。
生3： （9＋5）×0＝9×0＋5×0
……
师：有没有反例呢？
学生又一次思考、列式、计算、交流。
生：老师，我们没有找到反例。
师：因此，可以确定你们发现的规律是正确的了，这个规律叫乘法分配律。（多媒体出示）两个数的和与一个数相乘，可以用两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。例如，（2＋5）×9等于：
生：2×9＋5×9
师：（2＋5）×c等于：
生：2×c＋5×c
师：那么（a＋b）×c等于：
生：a×c＋b×c
师：同学们，你们太聪明了，你们不仅发现了乘法分配律，还用字母表示了乘法分配律。相信下面的题也难不住你们。
75×64=×+×
由于该题是开放性的，部分学生在做这道题时有些迟疑。
生1：这道题好像不能直接运用乘法分配律。
生2：可以先将75写成70+5的和，再乘64。
生3：也可以将75写成50+25的和。
生4：既然75可以拆成两个加数的和，那么64也可以拆分。
师：同学们，你们很会变通，真棒！
运算能力主要是指能够根据数学概念、法则、公式、定理、运算律等，寻求合理的方法、途径，按照一定的程序与步骤，使运算顺利且正确完成的能力。小学生运算能力的培养绝不应该与数学的操作活动、思维活动相脱离，“授人以鱼不如授人以渔”。学生如果在教师精心设计的数学活动中真正领悟了数学思想方法、积累了数学活动经验，那么无需“精讲”、“多练”，学生自然能将基础知识和基本技能内化为自己所有，运算的正确性、灵活性、合理性和简洁性也就有了保证。在运算能力的培养上，我们还应注意以下几个方面：
1.运算能力的培养要着眼于学生学习方式的变革
新一轮课改已经将目光从“双基”转移到“四基”，更注重学生的长远发展、终身学习。波利亚曾说：“学习任何知识的最佳途径是由自己去发现，因为这种发现，理解最深，也最容易掌握其中的规律、性质和联系。”刚才的案例中，教师把学习的主动权完全交给了学生，学生通过两个例题完整地感知了不同的计算方法，又通过观察、思考、对比、分析不同算法之间的区别与联系，自主发现其中的规律，最后还举例验证、归纳提升。在这样重过程轻结果的学习方式下，学生亲历了知识形成的全过程，自主探究取代了现成的计算法则的直接呈现，学生真正获得对算理的理解，不但知其然而且知其所以然。
2.运算能力的培养要着眼于基本活动经验的积累
基本的活动经验是学生在参与数学学习的活动中积累起来的，数学经验又可以分为思维活动经验和实践活动经验。案例中，教师借助两道例题鼓励学生利用已有知识和经验叙述自己的不同算法，引导学生分析不同算法之间的区别和联系，在此基础上观察、猜测算式中隐含的规律，并列举大量的例子进行验证，最后由特殊到一般，获得字母公式。学生在这一系列的思维活动中、在知识的逐步建构中，积累了观察、猜测、验证、推理、交流等数学学习活动的基本经验。
3.运算能力的培养要着眼于基本思想方法的渗透
数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。渗透数学基本思想方法并非要将其从外部直接注入数学知识的教学中，因为数学基本思想方法是与数学知识的发生、发展、运用联系在一起的。案例中，教师向学生渗透了比较的思想方法（比较不同算法之间的区别和联系）、归纳的思想方法（由一般算式归纳出乘法分配律）、模型思想（乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c的算法模型）、转化的思想方法（将75×64写成（70＋5）×64）……教学中不一定要向学生直接点明所运用的数学思想方法，而应该关注学生过程性的参与，潜移默化地引导学生在数学活动中体验其中的数学思想方法。
运算能力的培养是一个长期的过程，数学活动也应该常抓不懈地进行，虽然任重道远，但要持之以恒。
案例一 432 - 98 = 432 - 100 - 2
错因分析 学生出现上面的错误，其实是生活实践中积累的真实想法与最自然化的理解. 出现这样的错误，是教师常常会为432 - 98 = 432 - 100 - 2的错误，对学生不停灌输“加一个数时，多加的数一定要减掉，少加的数一定要继续加；减一个数时，少减的数一定要继续减，多减的数要加回”. 其实这样的一句话记忆起来本身就很拗口易混淆，很多学生没有真正理解加减乘除法的算理，而且计算的熟练程度也不够，往往会弄巧成拙错误连连. 很显然这种计算的算理没有在学生的头脑中根深蒂固，他们只凭借着自己对数的理解或模糊的记着老师强调的那几句话，就觉得已经运用了简便计算.
针对学生的这种心理现象，教师应结合学生的生活实践帮助学生加深对简便计算算理的理解. 例如：在理解432 - 98的简便算法时，赋予其生活中购物付费场景，能使学生深刻体会到：付98元，在零钱不够的情况下，一般都是付100（减100），再找零（加回2），也就是432 - 100 + 2. 多次创设类似的生活场景进行训练，再遇到该类型的纯算式时，学生自然而然就会萌生联想，恰当处理. 这种算用结合的教学远胜于纯算理的（多减要加回）教学，更不用说那种机械的“一拆（100 - 2）二变（括号前面是减号，括号里面都变号）三计算”模式了. 这种付款经验适合于所有多加少加、多减少减的算理中，学生理解起来很容易，不需要死记硬背即可准确解题. 这样利用生活经验会更有效的帮助学生理解算理而且容易记忆.
案例二 125 × （8 × 4） ＝ （125 × 8） × （125 × 4） ＝ 1000 × 500 ＝ 500000
25 × （40 ＋ 4） ＝ 25 × 40 + 4 = 1000 + 4 = 1004
错因分析 从学生的错误中，我们发现由于乘法结合律与乘法分配律在表现形式上十分相近，往往会搅乱学生的正确感知. 这说明学生对这两条运算的理解还不够透彻. 乘法分配律是乘法对于两个数的和或差的分配律，而乘法结合律是几个数连乘时，可以交换运算顺序. 那怎样从美丽错误中突破难点呢？
面对这些学生，教师不能简单的从形式入手，告诉学生括号里是乘号时不能运用乘法分配律，只能当括号里是加法或减法时才能用乘法分配律. 于是就设计了这样的练习：某品牌西服，一件上衣的批发价是500元，一条裤子的批发价是300元，明明妈妈的商店要进这种西服8套，共需多少钱？ 学生通过对实际问题的探讨中，结合具体的情境让学生加以理解，再次明确乘法分配律的意义. 再通过对比练习，让学生更加清晰. 思考：下面两道题有什么不同？
125 × （8 × 4） 125 × （8 ＋ 4）
生1：第1题小括号里是乘，而第2题小括号里是加.
生2：第1题是运用乘法结合律进行计算，而第2题是运用乘法分配律进行计算的.
师追问：那这两题各有几个125呢？
生3：第1题中8 × 4 = 32，所以有32个125，而第2题中8 + 4 = 12，所以有12个125，是不同的.
让学生对这两条运算定律进行比较，深入地理解乘法结合律及乘法分配律的意义，自主建构起知识体系. 学生在教师教学过程中学到的不仅仅是正确的结论，而是领略探索、尝试的过程. 我们要耐心地面对错误，努力以错误为突破，化错误为精彩. 在“出错”、“纠错”的探究过程中，学生得以发展． 案例三 378 － 154 － 146 ＝ 378 － （154 － 146） ＝ 378 - 8 = 370.
错因分析 减法的性质是小学数学简便运算的一个重要理论依据. 该生的本意是利用减法的性质使计算简便．由于对减法性质的理解不透彻，导致计算出错.
解决策略 理解运算定律、运算性质是学习简便运算的前提. 学生如果没有真正的理解运算性质、运算定律，那他只会模仿着例题去解题. 一旦没有例题可以参照或模仿，学生的解题思路就不清晰，极易出错. 针对这种情况，教师讲明算理是关键. 教师可以适当结合情境帮助学生理解减法的性质. 如：实验小学有学生378人，长征小学有女生104人，男生146人，实验小学比长征小学多多少人？通过列不同的算式解答. （1）378 - 154 - 146 = 78（人），（2）378 - （146 + 154） = 78（人）. 那么，看看两个算式之间有什么关系呢？这样为学生提供充分的观察与思考的机会，学生观察发现指出：一个数连续减两个数与一个数减去两个减数加在一起的和，他们的结果相等. 同理，一个数减去两个数的和也等于连续减两个数. 从而使学生领略数学的思维方法，为今后的发展奠定良好的基础. 小学阶段的运算定律，从形式上看是一组数据和符号的演绎，但从本质上分析，它是对生活、生产劳动中各种事物之间关系的概括，不能脱离实际活动. 只有在生活中寻找支点，才能使“接受”的过程变得更加主动和有效.
[关键词]数学课堂 设问 支点 发展规律 个体差异
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）35-041
叶澜教授说过：“课堂是向着未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程。”当美丽的图景出现后，教师应当用自己的教育理念、教学智慧及时捕捉并灵活把握，让我们的课堂因生成而精彩。但课堂上也会有意外的情况出现，如一些学生无论教师怎么启发就是不开窍，遇到这样的情况怎么办呢？一位特级教师曾打过这样的比方：“当学生的思维已经到达山顶的时候，我们硬要把他拉回到半山腰，因为跟着我们走才能看到美丽的风景，学生会愿意吗？当然是不情愿的！”因此，教师在进行课堂教学预设时，一定要顺应学生的思维，为学生学习而教。
一、以学生已有的知识经验为支点，让设问自然生成
案例：教学“小数的意义与读写”
师（出示自然数3）：你能在下面的蝴蝶图中找到数字3吗？
生1：圈出3只蝴蝶并涂上颜色，表示数字3。
师：3还可以表示什么？
生2：这只蝴蝶排在第3个。
师：也就是说，数字3既可以表示蝴蝶的数量（有多少只），还可以表示次序（第几个）。那么，能在图中找到分数吗？
生3：表示把这10只蝴蝶平均分成10份，取出其中的3份。
师：人们需要统计猎物的数量，于是产生了1、2、3、4、5……这样的自然数。分数和平均分有关，那么小数为什么叫小数？小数是不是一定很小呢？今天这节课，我们就一起走进小数的世界。
……
“一切学习应从经验中学习。”心理学家布鲁纳十分肯定戴尔的“经验之塔”理论，并坚持教学应该从经验入手。本案例中，教师在教学小数的意义与读写之前深入分析教材，明确学生已经完全掌握了自然数和分数的意义，于是在学生已有知识经验基础上进行小数意义的教学，并通过层层递进的设问，引导学生走进小数的世界，使新课的引入水到渠成。
二、遵循学生的心理和认知发展规律，因势利导设问
案例：教学“和与积的奇偶性”
师：研究数学问题时可以有什么方法？
生：举例、猜想、验证等。
师：把数学书打开到第50页，用举例的方法，任意选两个自然数，求出它们的和，再看看和是奇数还是偶数。（生操作思考）
师：仔细观察你填写的表格，两个数的和什么时候是奇数，什么时候是偶数？你有什么猜想？
生1：奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数。
师：怎么验证？
生：再举例。
师：分几种情况？自己对应黑板上的三种情况举例验证。（生举例验证）
师：你有什么想说的？还有很多这样的例子，是不是都符合？有没有不符合的？（生答略）
师：翻开数学书，连续的两个数之和是奇数还是偶数？相邻两个自然数的和是多少？你有什么想法？
师：3+（ ）（和是奇数），3+（ ）（和是偶数），（ ）+（ ）（和是奇数），（ ）+（ ）（和是偶数）。你们有什么想法？只要填什么？（生答略）
师：有没有继续验证的必要？任意写几个不连续的自然数，并写成连加算式，先想和是奇数还是偶数，再通过计算加以验证，你有什么发现？
……
苏霍姆林斯基说过：“学生不是一只等待灌输的容器，而是一支等待燃烧的火把。”因此，教师的教学必须遵循学生的心理和认识发展规律，而举例、猜想、验证、发现是学生掌握知识的必经之路。上述教学中，教师顺应学生的认知规律，在不断提出问题、解决问题的过程中，激活学生的已有经验，使学生浅层次的经验得到有效提升，新生成的经验自然地嵌入已有的知识经验系统中。
三、尊重学生的个体差异，转换角色设问
案例：教学“乘法分配律”
师：听说同学们的计算能力特别强，下面就请同学们帮我算一算10×25等于多少。
生：250。
师：这么快！那12×25等于多少？
生1：我知道，等于300。
师：你是怎么想的？
生1：12×25比10×25多了2个25就是50，所以250+50=300。
师：你的意思是说把12变成10+2的和，再乘25。下面继续，13×25+87×25等于多少？
生2：合并成（13+87）×25，运用乘法分配律计算，得2500。
师：什么是乘法分配律？已经有人知道了，那怎么研究呢？请知道的同学先思考，再举例说明乘法分配律;没听过的同学看书第62页，在不明白的地方做个记号。最后小组交流，把你知道的尽情地跟同学分享。
……
“一花一世界，一树一菩提。”之所以采取分层教学方式引入新课，是因为课前教师做了深入的调研：学生对于乘法分配律的了解程度参差不齐，有的学生在课外已经完全掌握并会应用了，而有的学生则完全没接触。面对这样不同知识水平的学生，如果教师还是按照教材设定的程序进行教学，那对于一部分已经掌握乘法分配律的学生来说无疑是索然无味的，这样的设问对他们来说太“小儿科”了。因此，在这节课上，教师让已经知道乘法分配律的学生来当“小老师”进行举例，与同学分享自己已有的知识经验，这样的角色转换和设问，带给不同层次学生巨大的成就感。
四、设问不成，应顺势而导
案例：教学“年 月 日”
师（呈现2014年年历表）：请给表中的大月涂上红色，给小月涂上绿色，再向你的同桌介绍自己是怎样涂的。（生动手操作）
师：再观察表格，你又发现了什么？
生1：大月有7个，小月有4个。
师：大月比小月多几个？这7个大月是哪7个？你有办法记住哪个月是大月，哪个月是小月吗？在小组里说一说。（学生小组讨论）
生2：用手帮助记忆。（学生说得很好，可并不是教师希望得到的答案，师迫切希望学生能说出“7月以前单数是大月，8月开始双数是大月”）
师：你是观察表格得到的吗？（生迷茫）其他同学有什么想说的吗？
……
如何记住大小月的方法是“年 月 日”教学的一个重、难点，课堂上学生回答“用手帮助记忆”，这个回答多好啊！可是，教师认为这并不是他需要的答案，于是出现了上面的情况：教师努力引导学生回答他预设的问题，学生却露出迷茫的神情。试问授课教师：“有这个必要吗？”“教学的一切灵感来自于课堂，来自于学生。”学生自己思考创造出来的方法，他们更感兴趣，更容易理解，教师又何必纠结于自己的预设呢？
正所谓：设问不成，不问又如何！
连乘、乘加、乘减和把整数乘法运算定律推广到小数。
[教学目标]
1．掌握小数的连乘、乘加、乘减的运算顺序，并能按运算顺序正确计算结果。
2．理解整数乘法的交换律、结合律、分配律对于小数同样适用。
3．提高学生的类推能力，培养学生知识间存在着内在联系的思想。
[教学过程]
课前谈话：前面我们学习了小数乘法，通过学习我们发现小数乘法与整数乘法间存在着紧密的联系。今天这节课我们继续学习新知识，看哪位同学学得快，掌握得好。
（一）复习旧知
1．出示投影，先回答问题，再计算。
（1）12×5×60（2）30×7+85（3）250×4-200
教师提问：每个式题各含什么运算？是什么式题？每题的运算顺序是什么？
学生回答后，在练习本上计算结果。
订正：（1）3600（2）295（3）800
教师说明：小数的这些运算顺序跟整数是一样的。
教学意图：本环节通过三个式题复习整数连乘、乘加和乘减的运算顺序，并向学生说明小数的运算顺序跟整数一样，为下面学生将整数运算顺序迁移到小数作准备。
（二）小数连乘、乘加、乘减
1．初步尝试。
出示例6：
光明小学的同学们在校园里种了300棵蓖麻，平均每棵收蓖麻籽0.18千克，每千克可榨油0.45千克，一共可榨油多少千克？
全班学生默读题目后，指名让学生说出怎样列算式，教师板书。然后让学生独立尝试把这道题做完，教师指名板书计算过程：
0.45×0.18×300
=0.081×300
=24.3（千克）
答：一共可榨油24.3千克。
订正答案后，教师提问：
（1）算式中有几步计算？每个数目都是小数吗？是什么式题？
（2）这个含有小数的连乘式你是按什么运算顺序进行计算的？（按从左到右的运算顺序进行计算。）
2．进行类推。
计算下列各题。
（1）72×0.81+10.4（2）7.06×2.4-5.7
学生先在练习本上独立解答，在订正答案时说说每题的运算顺序。
订正：（1）68.72（含有乘法与加法两种运算，先计算乘法，再计算加法。）（2）11.244（含有乘法与减法两种运算，先算乘法，再计算减法。）
3．教师小结：今天我们学习了小数的连乘、乘加、乘减。这些运算的运算顺序与整数相同。板书：连乘、乘加、乘减
教学意图：本环节利用迁移，让学生将整数的运算顺序类推到小数，尝试完成小数的连乘、乘加、乘减的运算，培养学生的类推能力。
（三）整数乘法运算定律推广到小数
1．复习。
教师提问：我们在学习整数乘法时曾学习过几个运算定律，谁还记得是什么？用字母怎样表示？
教师贴出：a×b=b×a
（a×b）×c=a×（b×c）
（a＋b）×c=a×c+b×c
提问学生：乘法交换律中两个数的范围是什么？结合律中三个数的范围是什么？分配律中三个数的范围是什么？（这些数的范围都是整数。）
2．观察讨论。
教师用投影出示两组算式，学生口答结果，然后教师用将左右两组算式相连。
0.7×1.21.2×0.7
（0.8×0.5）×0.40.8×（0.5×0.4）
（2.4＋3.6）×0.52.4×0.5+3.6×0.5
让学生观察这三组算式，并讨论以下问题：
（1）这三组算式左右两边的结果相等吗？中间可以用什么符号连接？
（2）等号两边的算式有什么特点？与我们学过的什么知识一样？
（3）你能得出什么结论？
学生通过讨论将得出如下结论：
①三组算式左右两边的结果相等，中间可以用等号连接。
②第一组是把两个相乘的数交换位置，结果不变，与学过的乘法交换律一样。第二组先把前两个数相乘，再与第三个数相乘，与先把后两个数相乘，再与第一个数相乘，结果相等，与乘法结合律一样。第三组是两个数的和与一个数相乘，与这两个数分别与这个数相乘后求和，结果不变，与乘法分配律一样。
③整数乘法运算定律在小数中同样适用。
教师提问：我们分别比较这三组算式左右两侧的式子，哪一个式子在计算中更为简便？（第一组写成竖式，右边的比较简便，第二组不明显，第三组左式比右式简便。）
3．教师小结：通过观察讨论，我们发现整数的乘法运算定律可以推广到小数乘法，并且利用这些运算定律可以使一些小数乘法计算更简便。
板书：整数乘法运算定律推广到小数乘法。
教学意图：本环节教师指导学生观察每组两个算式的特点以及它们的相等关系，并且通过讨论使学生认识到整数乘法运算定律对于小数也适用，同样可以使一些计算更加简便，从而培养学生的观察、比较能力。
（四）巩固练习
1．填空，并说一说应用了哪个运算定律。（填在书上）
4.2×1.69=×
2.5×（0.77×0.4）=（×）×
6.1×3.6＋3.9×3.6=（+）×
2．计算下面各题。
（1）19.4×6.1×2.3（2）3.25×4.76-7.8
（3）18.1×0.92＋3.93（4）5.67×0.21-0.62
（5）7.2×0.18×28.5（6）0.043×0.24＋0.875
教师巡视，注意学生的运算顺序是否存在问题。
3．判断对错。
（1）50.4×1.95-1.9（2）3.76×0.25＋25.8
=50.4×0.05=0.9776＋25.8
=25.2=26.7776
全体学生用手势判断，并说出错误原因。
4．应用题。
玉山农场新建一座温室，室内耕地面积是285平方米，全部栽种西红柿，一茬平均每平方米产6千克。每千克按1.30元计算，一共可收入多少元？
学生完成练习后，教师及时订正：
2．（1）272.182（2）7.67（3）20.582
（4）0.5707（5）36.936（6）0.88532
3．（1）运算顺序错误。改正：（2）计算错误。改正：
50.4×1.95-1.93.76×0.25＋25.8
=98.28-1.9=0.94＋25.8
=96.38=26.74
4．1.30×6×285=2223（元）
关键词：计算错误；小学数学；看法
计算教学是小学数学课堂教学中最重要的内容，整数、分数、小数的四则运算以及混合运算，是小学数学教学的难点和重点。老师在教学中也是煞费苦心，对这些方面的运算进行了重要讲解，但是仍常常发现学生在做计算方面的问题时，出现各种各样的错误。老师在处理这些错误的时候，一般都归结为“粗心大意”“知识掌握不熟练”等原因，却往往忽略学生出现错误的真正原因，造成学生再次做题时，仍会出现同样的错误。要想降低学生在计算中的出错率，就要认真分析学生出错的原因，找出问题的症结所在，才能提高计算教学的教学水平。现就在课堂中遇见的不同年级段学生在计算上常出现的一些错误进行简要分析，以此了解学生“错误”背后的原因。
【案例一】
（1）32×16=392 （2）22×8=136
这两道题的现象在小学计算错误中尤为突出，对这两道题进行分析，在第一道题中，错误出现在第一步的第二个环节上，学生错选了和2相乘最终导致整体的计算错误。在第二道题中，错误仍然出现在相似的地方，即学生错选了2和6相乘，从而导致整体的计算错误。那么这种类型的错误案例，可以归结为选择性错误，学生对乘法口诀未必不熟悉，在做题过程中，嘴里默默念叨的乘法口诀对其产生了一定的负迁移，导致学生在做题中选择了错误的数相乘，最终导致了整体的计算错误。
由此可见，学生的学习有时会受到自身语言系统的影响，加之小学生又有很强的表现性，那么在课堂上，教师的常用语言“又快又好”可能在一定程度上助长了该类错误的蔓延。所以在学习乘法时，不应过分追求做题速度，而应该让学生在做题中慢慢地体会乘法算理和乘法口诀，以明白乘法计算的本质。
【案例二】
这两种类型的错误也是小学数学计算中的常见错误，在第一道题中，首先小学生普遍有凑整的心理，因此很容易在看到这道题的时候就把它凑整计算。其次学生容易受之前整数运算规则已有知识经验的影响，往往将包含相同数字的式子混淆，如以前曾经接触过的54+6=60的影响，习惯性地将5.4与6的个位对齐，导致计算的错误。在第二道题中，学生在学习异分母相加减时，往往受同分母加减的影响，对异分母的学习产生了负迁移，导致学生计算时的错误。
学生学习数是从整数到分数，然后到小数这个过程逐渐进行的，学生学习新知识自然也离不开先前的知识经验，所以先前的整数学习有时就会造成学生学习小数和分数的负迁移。因此，要针对学生的小数和分数计算错误中的原因，找出导致错误的本质所在，看学生是在哪一环节出现问题，以有针对性地对学生的错误加以指导。
【案例三】
对这两道混合运算进行详细分析，并且在分析过程中询问学生，会发现学生也知道“若小括号前是减号，拆开小括号则要变号”“除法没有分配律”这些知识，但是在做题中却会犯错误，由此能得出一个结论：就是学生并不明白这些法则的本质，只是单纯靠背诵、记忆去运用这些法则。造成这样的情况也和小学生的认知特点有关，比如小学生在把文字转化为图形时会很困难，但是将图形转化成文字时则较易。在学习一些运算法则时，学生更习惯从形上去理解，而非从理上去理解。因此，在教学中，应赋予一些运算法则一些实际的意义，使公式的学习不再是机械记忆，而是有意义的
学习。
小学数学中“变号”的教学内容，学生的错因主要是在去括号上，将加法转化为减法这一步骤上。在帮助学生了解这一问题时，可以运用“计算情景化”这一方法，举出一个实际的问题，例如“小红的妈妈买了21个草莓，小红上午的时候吃了11个，下午的时候吃了8个，问妈妈还有几个草莓？”和“小红的妈妈买了21个草莓，小红吃了19个，问妈妈还有几个草莓？”所得到的结果是一样的，所不同的只是过程，这样学生就会知道去括号和先算括号里的内容所得到的结果也应该是一样的，明白了其中的算理，就不会机械地去记忆变号的法则了。
在学习分配律、结合律时，可以通过图形展示的方式，以直观的表象让学生“看到”分配律和结合律，这样学生在学习的过程中就不再是机械地记忆公式，能更好地经历知识的生成过程。
对于学生学习中所遇到的不可避免的错误，就需要有利用错误的意识，要认识到利用错误不仅可以培养学生良好的思维品质和坚强的意志品质，更重要的是能够加深学生对知识的理解。
因此，不能对学生的错误都一视同仁，以“粗心”概之，要利用好这一种教学资源，对学生在课堂中和练习中出现的错误进行分析，和学生一起去探索“错误”的真相，帮助学生明白错误的前因后果，了解“错误”的本质，以达到“减误”的目的。
参考文献
郜舒竹，薛涟霞．数学教育学报［J］．2009（2）：1-4.