刍议矩阵乘法

摘 要：本文从矩阵乘法的定义出发，剖析其中的一些错误结论，然后，从定义引入、利用分块矩阵、加强课堂练习等方面提出一些建议。

关键词：矩阵乘法 错误 分块矩阵

中图分类号：G623 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）09（a）-0074-01

1 对矩阵乘法定义的分析

（1）定义：设，，则由元素

构成的行列矩阵称为矩阵与的乘积，记作.

（2）说明：

①两个矩阵相乘，只有当前面矩阵的列数等于后面矩阵的行数才能相乘。

②的元素即为矩阵的第行元素与矩阵的第列对应元素乘积的和，即：.

③的行数等于前矩阵的行数，其列数等于后矩阵的列数。

2 对矩阵乘法错误的分析

我们知道，在数的乘法中存在：（1）；（2）。但矩阵的元素一般来说不至一个，因此，两个矩阵相乘不能照搬数的乘法运算律。

下面对矩阵乘法中常出现的错误做一分析：

错误一：

例1：设，，

则，而。

可见

错误二：或

例2：设，

则

由例2可知，两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即或.

此错误常有以下几种表现：

（1）若，且，则

由例2可看出此结论是错的。若为方阵，可把条件改为，则结论就成立。

即若，且，则。因为，所以可逆，因而在两边左乘即可得。

（2）

将移向，得，将其归结为第一种错误表现，因而是错误的。

（3），其中为单位矩阵。

3 教学思考

在矩阵乘法的讲解过程中，考虑到学生的实际情况，尝试以下几方面的教学，取得了较好的教学效果。

（1）定义引入。

目前，学生对购买股票、基金等比较感兴趣，因此，在教学的过程中，我通常用下面的例子来引入矩阵与矩阵的乘法的。

例如：甲、乙、丙三人都购买了Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种股票，购买的数量（单位：股数）用矩阵A表示，一、二月份这些股票的收益（单位：元/股）用矩阵B表示，计算一、二月份甲、乙、丙这三人的盈亏。

Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 一 二

，

先让学生自己去算结果，引导学生写出盈亏的矩阵C：

一月 二月

从这个矩阵可以很清楚的看出所求结果。有了这样一个很直观的例子，学生对矩阵乘法到底是怎么进行和为何这样定义是很容易接受的。

（2）利用分块矩阵，将矩阵的乘法简化为特殊矩阵的乘法。

设，其中，；

，其中，；

则

可直接读出结果来，非常简单。

参考文献

[1] 赵树.线性代数[M].3版.北京：中国人民大学出版社，1997.

[2] 杨霞.浅谈独立学院《线性代数》的教学[J].甘肃科技，2009，25（11）：162-163.