时间：2023-10-15 22:47:46
一、暴露想法，加强知识的前后联系
数学学习过程是一个自主建构的过程。学生在建构的过程中，常常需要不断提出假设、修正假设，因而出现错误是非常正常的。教师要引导学生学会正确面对错误，无论是自己的还是他人的。课堂教学中，教师不仅不应该避开错误，还要想方设法让学生暴露自己的真实想法，再加以引导。因为从来没有无缘无故的错，有时候知道什么是错的，反而能更好地理解什么才是对的，教师要做的是引导学生“吹尽黄沙始见金”。
例如，教学“乘法分配律”时，学生运用乘法分配律使计算简便，正确率非常高。但解答“25×（40 × 4）”这一题时，学生受乘法分配律答题形式的影响，几乎都写成（25× 40）×（25 ×4）=1000 ×100=100000。
师：这题依据的是什么运算律？
生1：我们依据的是乘法分配律。
师：什么是乘法分配律？
生2：两个数的和乘一个数，可以先把这两个加数与这个数相乘，再把所得的积相加，结果不变，这就是乘法分配律。用字母表示是（a+b）×c=a×c+b×c。
师：25×（40 × 4）是表示两个数的和与一个数相乘吗？
生3：不是，25×（40×4）表示两个数的积与一个数相乘。
生4：25×（40×4）表示三个数相乘的积。
生5：我们都错了，这题应该用乘法结合律简算。因为三个数相乘既可以先算前两个数的积，也可以先算后两个数的积，结果不变，所以这题应该写成25×（40×4）＝（25×40）×4=1000×4=4000。
师：那么，乘法分配律和乘法结合律有什么区别呢？
生6：乘法分配律是两个数的和乘一个数，乘法结合律是三个数相乘。
生7：乘法分配律含有加法和乘法两种运算，乘法结合律只含有乘法一种运算。
……
这样，由一个错误开始，通过自主比较，学生理解了乘法分配律和乘法结合律的区别，加强了知识间的前后联系，避免再犯类似的错误，提高了学习的效率。
二、创设情境，有效解答学习的困惑
错误是获得真理的重要途径。美国教育家杜威说过：“失败是有教导性的。真正懂得思考的人，从失败和成功中学到的一样多。”新课程倡导探究式学习，而探究必然会生成更多的错误。当学生出错时，教师可以不直接纠错，而是通过创设情境把问题抛给学生，让他们联系生活实际，在操作、观察、比较、讨论等活动中自得自悟，从而自主发现问题、解决问题，培养了学生的探究意识，解答了学习的困惑。
例如，教学“三角形的分类”时，有这样一道题：“下面的三角形都被一张纸遮住了一部分，看只露出的一个角，你能确定它们各是什么三角形吗？”
生1：图1是钝角三角形，因为它有一个角是钝角。（师把纸片拿开，果然是一个钝角三角形）
生2：图2是直角三角形，因为它有一个角是直角。（师再把纸片拿开，的确是一个直角三角形）
生3：图3是锐角三角形，因为它有一个角是锐角。
生4：它是一个锐角三角形。
生5：它应该就是锐角三角形。
师：同学们有没有其他意见？
生（异口同声）：没有。（师把纸片拿开，却是一个钝角三角形，学生们大吃一惊）
师：为什么不是锐角三角形，而是钝角三角形呢？
生6：钝角三角形也有锐角，而且有两个锐角，所以它是钝角三角形。
师：图3一定是钝角三角形吗？（学生似乎有所顿悟，纷纷举手）
生7：它有可能是直角三角形，因为直角三角形中也有两个锐角。
生8：它有可能是锐角三角形，因为锐角三角形中有三个锐角。（学生们频频点头表示同意）
出示题目：下面三个三角形分别是钝角三角形、直角三角形和锐角三角形，但是都被一张纸遮住了一部分，看只露出的一个角，你能确定它们各是什么三角形吗？
（学生们交头接耳，纷纷表示无法判断它们各是什么三角形，因为每种三角形都有锐角，最少有两个，最多有三个）
师（小结）：只看到一个锐角，无法判断它是什么三角形。
又出示一道题：如果一个三角形有两个锐角，你能判断出它是什么三角形吗？
（学生这次表现得相当谨慎，有的说是锐角三角形，有的说是直角三角形，也有的说是钝角三角形）
生9：错。因为所有的三角形都至少有两个锐角，这题仍然不能判断它是什么三角形。（学生们纷纷表示同意）
师：如果一个三角形有三个锐角，你能判断它是什么三角形吗？
生10：它一定是锐角三角形，因为只有锐角三角形有三个锐角，直角三角形和钝角三角形只有两个锐角。
……
通过这个游戏，引导学生经历了错误的辨析过程，既使学生深入理解了三角形角的特征，很好地活跃了课堂气氛，又调动了学生的学习积极性，发展了思维能力。
三、适时变式，引导学生产生思维碰撞
动态生成的课堂，学情灵活多变。当学生在学习过程中出现错误时，教师不应当仅仅否定和“告诉”，而要引导学生分析出现错误的原因，做出适当的指导，使学生认识到自己思维、方法上的错误，从而产生思维碰撞，让错误成为学生思维的起点。
例如，教学“找规律——搭配和排列”时，有这样一道题：“某旅行社推出五一黄金周的旅游景点为桂林、花果山、周庄、苏州园林、南京中山陵。小红家想选择其中的两个景点游玩，她们家一共有多少种不同的选择方案？”学生们几乎都列式为5×2=10（种），交流时说从5个旅游景点中选择2个，所以这样列式，并列举出桂林和花果山、桂林和周庄、桂林和苏州园林等10种方案。对于这种解答方法，学生们深信不疑。教师没有直接否定学生的答案，而是把题目变化了一下，在原来的基础上增加一个扬州瘦西湖的景点，问：“从6个景点中选择2个游玩，一共有几种方案？”
师：这题可以怎样解答？
生1：6×2=12（种）。
师：是哪12种方案？
生2：桂林和花果山、桂林和周庄、桂林和苏州园林、桂林和南京中山陵、桂林和扬州瘦西湖……
生3：不对了，这里一共有15种方案呢！
生4：错了。这题不能列式为6×2=12（种），而应列成5+4+3+2+1=15（种）。
生5：刚开始那题的列式也错了，应该列成4+3+2+1=10（种）。
……
经验告诉我们，学生出现错误并不可怕，可怕的是教师错误地对待学生的错误，不能充分利用这些丰富的资源进行教学。因此，教师要用“阳光心态”来看待学生的错误，用放大镜寻找学生思维的闪光点，让学生的奇思妙想在教师的宽容、鼓励和引导下成为学习能力的培养点。
一 换数字，巧解题
部分学生由于受到思维定势的影响，以为只要列除法算式，都是大数除以小数，所以在解决一些问题时，往往将被除数与除数颠倒。例如，在解决“小明12.5分钟行走了500米，问小明行走1米需要多长时间？”这道题时，不少同学列式：500÷25=40（分）。如果将题目中12.5分钟改为2分钟，500米改为4米。令我吃惊的是大多数同学式子都没列，只需半分钟就能回答出来，因为改过后的数字更贴近生活。
二 整体换元，化繁为简
老师教学时都是从简单到复杂的。例如，在数学计算时，先教加法、再教减法，然后再教加减混合运算，最后再教加减乘除混合运算。其实任何复杂的计算都是由简单计算构成的。例如，1+3-2=（），这道题许多学生算不好，如果将这道题转变为1+3=（），（）-2=（）这种形式，小朋友们就能轻松算出答案，于是我在小学高年级数学教学中，采用了这种把复杂问题简单化的教学方法。例如，我在教学甲比乙的2倍少3，甲是4，求乙是？此类题目时，我让学生把乙的二倍换成丙，于是题目变为：甲比丙（乙2倍）少3，甲是4，求乙？学生们知道丙是乙的二倍，丙比甲多3丙是7，乙=7÷2，列出综合算式：（3+4）÷2。这种方法让学生更加清楚到底是先加再除，还是先除再加，提高了学生解决此类问题的正确率。
三 找准方法，快计算
很多学生在做计算题时，都觉得题目并不难，但是要在短时间内正确得出答案却并不容易。如果要想快速、正确做出答案，找准方法很关键。于是我强调，在做计算题时，一定要仔细观察，看看这些题目符不符合我们学过的一些简便计算方法，例如：乘法的交换律、分配律等。在练习中我发现学生对标准形式的题型运用定律比较熟练，但灵活应用明显不足。例如，在3.79×（100+1）和2.94×7.6+2.94×2.4，此类题目时，学生能运用定律，快速正确地解出答案，但只要将题目稍微变换一下，学生就不能很好地运用定律，如3.95×9和3.74×76+0.374×240，因为这类题目不符合定律，必须改动才能运用。怎样才能让学生快速找准所适用的定律呢？首先要明确什么样的题型适用什么样的定律，如乘法结合律、交换律，一般只适用于同级运算；乘法分配律一般适用乘加、乘减等混合运算。而且要想运用定律，算式必须是两步以上的计算。如3.95×99要运用定律，必须折一个数为另两数的运算，根据所学知识，99接近100，可变为100-1，原式变为：3.95×（100-1），符合乘法分配律：a×（b±c）=ab±ac的形式，这时学生可直接运用定律，快速计算出结果。再如：3.75×76+0.375×240这道题，学生首先看出乘法交换律、结合律在此题上不适用，而它的形式和乘法分配律：ab+ac=a（b+c）形式相似，仔细观察算式，不难看出原算式只要能将3.75转变为0.375，运用所学知识可将原式变为：0.375×760+0.375×240。这时就可直接运用定律去计算。当然，简便计算的方法远不止这些，我们要在练习中积累、总结这些方法，从而提高计算的速度和正确率。
四 逆向思维解难题
解决数学问题的，途径有很多条，但要是找不到正确途径，再多努力也不会有收获。在解决复杂数学问题时，一定要找准解决问题的方向，并沿着这个方向努力，才能解决问题。这个方向怎么找？我们可以试一试倒推法。例如，“甲乙两车从A、B两地同时相对而行，甲车每小时行80千米，乙车的速度是甲车的1.5倍，两车在相距中点40千米处相遇，问A、B两地相距多远？”通过分析已知条件，可以得出乙车速度为120千米/时，但要算路程还缺一个时间条件，如果时间知道了，问题就迎刃而解，怎样算出时间是此题的关键，回过头来再分析题目：甲每小时比乙少行40千米（120-80），而甲共比乙少行80千米（甲差40千米到中点，乙超过中点40千米），也就是说甲乙共行了2小时，根据路程=速度×时间，得出：（120+80）×2=400千米。以后遇到此类复杂应用题时，可采用倒的方法，要解答案，需要知道什么，怎样做才能知道这个是什么。
五 “以数想形”帮助理解各种公式
在教学数学公式时，如果只是让学生死记公式，这样只会将知识学死。如果学生稍微碰到有变化的图形问题，就不能灵活解决。因此，我在教学长方形周长公式时，就让学生借助图形充分理解公式的含义，求长方形周长有三种方法：（1）长+宽+长+宽；（2）长×2+宽×2；（3）（长+宽）×2。通过对学生的检测，我发现学生对于前两种方法应用得较多，第三种应用的较少。还有一部分学生对于第三种方法没有形象上的认识，只是知道这个公式可以求长方形的周长，知其然，而不知其所以然。于是我设计了让学生边说边摆小棒的方法介绍第三种求周长的方法。
一、利用探究，强化认知
探究学习是新课程所倡导的一种学习方式之一。教师在组织学生进行探究活动的过程中，要善于发现学生动态生成的亮点资源。
教学“除数是小数的除法”时，学生在探究尝试计算“8.54÷0.7”过程中两种不同的转化方法：一种是将8.54÷0.7转化为85.4÷7，一种是将8.54÷0.7转化为854÷70。在汇报交流时，请两位不同算法的学生上台板演，然后组织学生进行讨论。最后大家达成共识，一致认为将8.54÷0.7转化为85.4÷7来进行计算更简单。此时，可以进一步引导，遇到除数是小数的除法时运用商不变的规律，应该以哪一个数为标准来进行转化·通过上面的尝试探究、对比讨论，让学生深刻地理解了为什么计算除数是小数的除法，要先将除数转化成整数，同时为后面的计算做好了铺垫。
二、利用质疑，启迪思维
课堂教学的对象是有思想、有个性的生命体。在很多时候，尤其是当教师鼓励学生质疑时，课堂会出现一些始料未及的情况。这种意外和新鲜往往给学生带来探究的冲动，鼓励学生质疑能引发精彩的非预设生成，对学生的发展有着深远的影响。
教学“乘法分配律”这个内容时，从复习乘法分配律的归纳到得出结论都进行得很顺畅。可就在全班学生都在埋头做笔记时,有一个的学生说：“老师，这个算式就不符合乘法分配律。”笔者快步走到他身边，看了一眼，心想:这不正是本堂课要解决的一个学习难点吗·本想等会儿重点强调。笔者抓住这个教育的时机，立即让他说出了算式，且一边板书（2+7）×2=7×2+7×2，一边解释：“左边算式的计算结果是18，而右边算式的计算结果却是28，它们不相等。谁能帮助他解决这个问题·”经过学生们的一番激烈讨论交流，加深了对乘法分配律的理解。为此，笔者表扬肯定了这名学生。
作为一名教师，应在努力促进预设生成的同时，运用自己的教育机智和胆略，鼓励学生质疑，并不失时机地捕捉非预设生成的智慧火花，使学生将更多的个人经验融入学习中，使课堂教学更加丰富多彩。
三、利用练习，调整教学
练习是数学课堂教学的重要环节，是巩固知识、运用知识、训练技能技巧的必要手段，是检查教学效果的有效途径，是学生掌握知识、形成技能、发展智力、培养能力、养成良好学习习惯的重要手段，也是教师掌握教学情况，进行反馈调节的重要措施。教师要利用学生练习，从反馈中不断捕捉、判断、重组从学生那里获取的各种信息，见机而作，适时调整。
教学完小数乘法后,在一次练习中，偶然发现有个别学生在进行小数加减法竖式计算时，居然按照小数乘法的对位方法进行计算，结果可想而知。这个案例引起了笔者的重视，立即调整自己的教学方案，增设了一个小数加减法和小数乘法的竖式计算对比练习题，让学生通过计算、对比，强化了对小数加减法和小数乘法计算方法的理解和掌握，避免了知识的混淆。
四、利用错误，促进思考
课堂教学中，学生出现的错误往往是典型的。教师要以平和的心态对待学生的错误，并能独具慧眼，善于捕捉稍纵即逝的错误，使错误巧妙地服务于教学活动。
在教学完小数乘法之后，设计这样一道练习题：学校图书室的面积是65平方米，用边长0.8米的正方形地砖铺地，100块够吗·结果在全班学生中出现了三种解答方案：
一是0.8×100=80﹥65，答：够。
二是0.8×4=3.2，3.2×100=320﹥65，答：够。
三是0.8×0.8=0.64，0.64×100=64＜65，答：不够。
在学生进行汇报交流时，将这三种解答方案一一板书了出来，但没有马上给予评价，启发学生思考赞成哪一种，说明理由。学生们开始展开激烈的争论。
“我认为第一种解答方案不对，因为0.8表示的是边长，不能直接和100相乘。”
“我认为第二种解答方案也不对，因为0.8×4求的是地砖的周长，这道题应该先求出地砖的面积。”
“我赞成第三种方案，因为问100块砖够吗，就要先求出一块地砖的面积，这里只告诉了地砖的边长是0.8，要求它的面积就应该用0.8×0.8。”
通过学生之间的辩论，使全班学生更深入地理解了该题的题意，并且让课堂变得更加生动，更有趣味。
当学生知道了正确的解答方案之后，笔者又追加了一个问题：“如果想要第一种解答方案0.8×100=80成立，这道题该怎么改一改·”一只小手举了起来：“‘把用边长0.8米的正方形地砖铺地’改为‘用0.8平方米的正方形地砖铺地’。”学生已经理清了这道题的数量关系。
数学课堂中学生出现错误是不可能完全避免的，教师要及时捕捉学生出现的疑惑或错误的问题所在，巧妙地利用其中的错误资源，通过细心倾听导致学生错误的理由，找到产生错误的根源。
教学案例：苏教版小学数学四年级下册《运算律》
学生在学习完乘法分配率后，已经能利用乘法分配率来解答一些简便计算了。但是，为了让学生知道有时从题目的表面上来看，感觉可以用乘法分配率来解答，其实根本就不能用乘法分配率来解答的，我就在教学最后时间里出了两道题目让学生解答：（540+54）×9、（540-54）÷9。有很多学生在解答第一道计算题的时候，也用乘法分配率解答：（540+54）×9=540×9+54×9=4860+486=5346。解答第二题时，因为是除以9，好多学生不敢用乘法分配率来解答。在集体订正时，有一位学生站起来说，第一题用乘法分配率来做比不用乘法分配率来做要简单得多，而第二题他却说可以用分配率来解答：（540-54）÷9=540÷9-54÷9=60-6=54。他的话还没有说完，就有很多学生都表示了赞同。当学生都认可这位同学的解法之后，我进行课堂总结：“用不用运算律来计算，首先要看运用运算律解答是不是最简便，如果还没有常规解法简单的话，我们就应该用常规解法。运算律只是为我们计算简便服务的，如果达不到这个目的，就不能用运算律……”我的话还没有说完，就有学生站起来说：“我不同意这位学生的观点，第二道计算是除法计算题，他用乘法分配律来解答应该是错的。”这位同学的话也得到了许多学生的附和：“对呀，我们学习的是乘法分配率，只能用在乘法计算中，怎么也能运用到除法计算中呢？如果不能运用，那么为什么计算结果却是对的呢？”看到同学们一脸的疑惑，我随手又出了一道题目让学生解答：（63+56）÷9，让学生分别用乘法分配率与常规解法，学生用两种方法计算的结果还是一样的。这时，学生已经明白可以用乘法分配率来解答除法计算题了。还有的同学把这种运算律称之为“除法分配率”。正当学生沉浸在成功的喜悦中，我又出了一道题目来让学生解答：210÷3+210÷7，学生因为有了“除法分配率”概念，所以也就很快解答出来了。210÷3+210÷7=210÷（3+7）=21，看着学生那沾沾自喜的样子，我笑着说，请你们再用常规解法来解答，看看答案是否一样。很快就有学生站起来说：“不对，不对，我用常规解法来解，这道计算题的答案是100，而不是21。”一语惊醒梦中人，其他学生也纷纷争着发表自己的意见。
生1：我认为根本没有什么“除法分配率”，要不为什么会出错呢？
生2：我不同意生1的意见，我认为“除法分配率”是有的，但是它要在一定的情况下才能使用，但是我却不知道应该在什么情况下才能使用。
师：对呀，应该在什么情况下才能使用呢？你们可以先比较这几道题目，然后再小组讨论一下。
（学生小组活动，教师适时参与其中）
经过讨论，学生一致认为，只有是除数相同的情况下，才能使用“除法分配率”，如果除数不同，就不能使用。
这是一节简便计算的教学课例，学生在练习过程中，无意生成了一系列的差错，而这些差错笔者已经发现了，但是却没有直接去点明，而是由“错”生“错”，从错误中引出学生正确的解法，巧妙地利用一系列的知识冲突来引发学生的思维碰撞，让学生的思维经过生错，析错，纠错的过程，从而形成正确的解题思路，让学生的知识与技能得到进一步的强化。这样的处理不仅强化了学生所学的运算律知识，而且拓展了学生的数学思维，让学生的思维更细密。通过这则教学案例，对处理学生生成性“差错”有下面几点启发。
一、宽容差错理解学生
学生在学习过程中，出现错误解法是很正常的。所以，我们不能批评学生，而是宽容学生的解法，理解学生。就像案例中学生解答（540+54）×9时，虽然学生用乘法分配率解答比正常解法要麻烦得多，但是我没有直接指出学生的差错，更没有给予否定的评价，而是引导学生自己发现差错，给他们一个各抒己见的平台，自主明白差错的原因。
二、耐心聆听客观分析
学会聆听是一名优秀数学老师必需具备的基本素质之一。学生虽然会产生一些错误，但是产生的这些错误也一定存在着他的思路。虽然这种思路从整体上来说是不对的，但是当中也一定具有它合理的一面，所以，我们要学会耐心聆听学生的表述，客观分析学生的思路，从而使我们的教学更具合理性与针对性。就像案例中所述那样，针对有没有“除法分配率”这一概念，我通过层层的设置问题，让学生呈现错误。当学生出现错误时，我并没有直接否定，而是让学生发言，说一说自己的想法。学生在发言的过程中我已经找到了问题的症结所在，再进行下面的教学就可以有针对性地出示一些题目来让学生分析比较，思考解答。
三、师生研讨打开思路
合作学习是新课程重要的教学理念。所以，在学生出现差错时，我们也不能直接向学生灌输正确的方法，而是通过组织学生在一起研讨，教师适时参与。这样，学生的思路才能被有效打开，才能形成正确的知识体系。像案例中当学生对“除法分配率”的认识出现瓶颈时，我们要引导学生主动在一起研讨，教师也参与其中，这样所获得的解题思路远远要比我们教师的讲授要好得多。
总之，课堂上学生生成一些差错是很正常的现象，这些差错是我们数学课堂上最宝贵的教学资源，而我们的数学课堂也正是因为有了这些生成性差错才变得更加丰富多彩。所以，我们要灵活驾驭这些差错，巧妙利用这些差错，让这些生成性差错更好地为学生的学习服务，促进学生数学素养的提升。
“猜想验证法”是人类探索未知的一种重要思维方法。它是教师指导学生依据已有的经验，做出有一定根据的推测性猜想，然后再通过验证，发现新问题，并在解决的过程中，发展创新思维，最终完善猜想，发现规律的学习方法。那么，教学中如何渗透猜想验证的思想方法呢？笔者以“乘法分配律”为课例进行了尝试与探索。
【案例描述】
片段一：创设情境，引发矛盾，大胆提出猜想
（师出示竞赛题，进行男女对抗赛）
（三轮比赛后，都是女生领先）
师：三轮比赛中，女生不仅速度快而且正确率高，以绝对的优势领先于男生，大获全胜！（许多男生很不服气，紧盯着竞赛题，大喊不公平。）
师：（装作迷惑不解的样子）怎么不公平？每组的两道算式都是由相同的三个数组成的，结果也相同啊？
一男生抢答道：虽然结果相同，但女生的题正好凑成了整十、整百，再乘一个数太简单了。我们男生的题却很复杂，需要先乘再加，经过多步计算才能得出结果！
（学生普遍认可这一观点）
师：看来大家都认为不公平！那么这三组简单的算式之间是不是还隐含着什么联系呢？
生：那是不是任意两个数的和乘一个数，都可以把这两个加数分别乘这个数，再把积相加，结果都相等呢？
师：大胆的猜想！大家觉得呢？
（生持不同意见）
师：那接下来我们怎么办？
生：举例验证吧！
（大家一致赞同，自己尝试举例，然后小组合作交流）
【分析】两组计算题的比赛都是女生获胜，男生强烈感受到比赛的不公平，由此引发了矛盾，使学生急于找出两组算式的不同，从而大胆地提出猜想。
片段二：全面举例，层层递进，运用反例验证
各小组交流所举例子，初步得出结论，任意两个数的和乘一个数，和把它们分别乘这个数再相加，结果都相等！精彩片段如下。
2组补充：我们组举的例子和大家基本相同，有一个例子是用大一点的数进行验证，（2000+3000）×8=2000×8+3000×8，结果都等于40000。
快嘴的张文来不及举手，抢答道，老师，我想到还可以用分数举例。
几乎是在同时，王佳平也迫不及待地发言，还可以用小数举例呀！
师：大家的思考越来越有深度了。看来举例验证时，例子要全面，不仅可以用整数举例，还可以用分数、小数举例。那同学们想想看，是不是在验证一个结论时所举的例子越多，越能证明猜想是正确的？
思维敏捷的王青发言，我觉得所举的例子当然是越多越有说服力，可例子是无数的，永远也举不完。如果我们能发现一个反面的例子，证明这个猜想是错的，就可以得出最终的结论了。
师：（赞赏）看来，举例验证猜想，还有不少的学问啊！王青同学为我们的思考指出了一个新的方向。同学们，你能举出反例吗？刚刚的验证过程中有没有谁的验证结果是不相等的！
（学生摇头，表示困惑）
【分析】这一环节是教学的重点，学生不仅通过验证得出结果，而且意识到在举例论证时例子要全面，可以用整数、分数、小数举例。尤其是运用“反例验证”，让学生学会用辩证的眼光来看问题，为提高学生的探究能力提供了一种新的思考方式。
片段三：转换角度，提升思维，数形结合分析
师：其实，我们还可以尝试换角度思考问题！一起来看！你能用不同的方法表示出长方形的面积吗？你想到了什么？
生：（a＋b）×c或者a×c＋b×c。
生（恍然大悟）：这两个算式都表示出了长方形的面积，结果肯定相等。
（课堂上一片欢呼，学生茅塞顿开）
师：精彩极了。运用数形结合的方法进行分析！现在我们可以肯定地说这个规律确实是成立的，它的名字是――乘法分配律。
师生：（总结）看来，在验证一个猜想时，换角度思考问题也是不错的方法。
……
【分析】我国著名数学家华罗庚教授有这样一段名言，“数缺形时少直观，形少数时难入微”。在学生苦思冥想，找不出反例时，适时抛出长方形面积公式的计算，引导学生转换角度思考。由数想形，以形助数，数形结合，促进学生思维水平的提升。
【实践反思】
一、激兴趣，提猜想，拓宽思路
猜想是数学思维的一部分，它包含了理性的思考和直觉的推断，能使学生获得更多的数学发现的机会。运用猜想可以营造学习氛围，激发学生积极的思维和饱满的热情，正如牛顿所说，“没有大胆的猜想，就没有伟大的发现”。那么，小学数学课堂教学中如何引导学生猜想呢？
1.设置问题情境
正如上述案例中，新课伊始，我通过创设情境，计算竞赛引发冲突，从而使学生产生强烈的求知欲望，提出猜想：是不是任意两个数的和乘一个数，都可以把这两个加数分别乘这个数，再把积相加，结果都相等呢？并努力证明自己猜想的正确性，主动参与数学知识探索的过程。
2.联系旧知，寻求突破
如，复习平行四边形的面积推导过程以后，让学生猜想三角形或梯形的面积计算方法该怎样推导，引导学生运用旧知作新的猜想。再如，教学“3的倍数的特征”时，按常规学生很难猜想到规律。虽然有2的倍数，5的倍数做为旧知，学生也按此思路进行猜想，但几次试验未果。这时，让学生交换3的倍数中数字的位置，再引导猜想。在旧知基础上，发展学生的创造性思维，引导学生想猜想、会猜想、勤猜想，培养学生合理猜想的习惯。
3.结合生活实际
数学来源于生活，若能结合现实生活，引入数学课堂，学生会有更多的兴趣进行猜想。在教学“平均数”时，有这样一个问题：小明身高1.2米，河的平均水深是1米，小明过河有危险吗？学生从理解日常生活中“平均”概念入手，进行猜想，很轻松地进入了自主探究阶段，最后都真正地掌握了“平均数”这个重要的概念。
引导学生猜想的依据还有很多，但只要教师善于引导，给予鼓励，使学生猜之有趣，必将成功激发学生的探究兴趣。
二、重验证，悟方法，提升思维
猜想是数学思维中的一种基本思维方法，“数学事实首先是被猜想，然后才是被验证”。只有猜想没有验证，那是空想；只有经过检验或验证，才能得出科学的结论，这也是数学严谨性的体现。猜想验证的过程，也就是学生主动参与数学知识的探索过程。有的猜想通过简单计算和操作马上就可以验证。如“三角形任意两边之和大于第三条边”这一猜想，学生只需简单计算，就可以得出正确的结论；而有些猜想则需要更深层次的体验，需要运用到相关的数学方法。
上述“乘法分配律”教学案例中，在学生提出猜想后，教师没有急于给出答案，而是引导学生自己去寻求答案。“啊，还可以用分数，小数举例啊！”“如果能举出一个反例，就可以这个猜想。”“这两个算式都表示出了长方形的面积，结果肯定相等。”……从最初猜想的提出，到后面的合理验证，学生不断迸发出思维的火花。运用反例验证，让学生学会用辩证的眼光来看问题，发展了学生的批判性思维。而数形结合的分析方法，由数想形，以形助数，架起形象思维和逻辑思维的桥梁，化难为易，化繁为简，化隐为显，使问题简捷地得以解决。相信经历了这样的思辨过程，学生对乘法分配律理解必将更全面、更透彻。
总之，“猜想验证法”可以指导学生运用多种思维方式思考问题、解决问题，培养了学生的创新意识，发挥了学生的内在潜力，并让学生在学习中获得愉悦的、有成就感的情感体验，作为教育者何乐不为呢？
二、重点、难点分析
本节教学的重点是完全平方公式的熟记及应用．难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)．完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础。
1．两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．即：
这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的．
这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍；公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式．
2．只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式．
在运用公式时，有时需要进行适当的变形，例如可先变形为或或者，再进行计算．
在运用公式时，防止发生这样错误．
3．运用完全平方公式计算时，要注意：
（1）切勿把此公式与公式混淆，而随意写成．
（2）切勿把“乘积项”中的2丢掉．
（3）计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式条件的形式，则应运用乘法法则进行计算．
4．与都叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．
三、教法建议
1．在公式的运用上，与平方差公式的运用一样，应着重让学生掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，教科书把公式中的字母同具体题目中的数或式子，用“”连结起来，逐项比较、对照，步骤写得完整，便于学生理解如何正确地使用完全平方公式进行计算．
2．正确地使用公式的关键是确定是否符合使用公式的条件．重要的是确定两数，然后再看是否两数的和（或差），最后按照公式写出两数和（或差）的平方的结果．
3．如何使学生记牢公式呢？我们注意了以下两点．
（1）既讲“法”，又讲“理”
在教学中要讲法则、公式的应用，也要讲公式的推导，使学生在理解公式、法则道理的基础上进行记忆．我们引导学生借助面积图形对完全平方公式做直观说明，也是对说理的重视．在“明白道理”这个前提下的记忆，即使学生将来发生错误也易于纠正．
（2）讲联系、讲对比、讲特点
对于类似的内容学生容易混淆，比如在本节出现的(ab)2=a2b2的错误，其原因是把完全平方公式和“旧”知识(ab)2=a2b2及分配律弄混，排除新旧知识间相互干扰的一种作法是向学生指明新知识的特点．所以讲“理”是要讲联系、讲对比、讲特点．
教学设计示例
一、教学目标
1．理解完全平方公式的意义，准确掌握两个公式的结构特征．
2．熟练运用公式进行计算．
3．通过推导公式训练学生发现问题、探索规律的能力．
4．培养学生用数形结合的方法解决问题的数学思想．
5．渗透数学公式的结构美、和谐美．
二、学法引导
1．教学方法：尝试指导法、讲练结合法．
2．学生学法：本节学习了乘法公式中的完全平方，一个是两数和的平方，另一个是两数差的平方，两者仅一个“符号”不同．相乘的结果是两数的平方和，加上（或减去）两数的积的2倍，两者也仅差一个“符号”不同，运用完全平方公式计算时，要注意：
（1）切勿把此公式与公式混淆，而随意写成．
（2）切勿把“乘积项”2ab中的2丢掉．
（3）计算时，要先观察题目是否符合公式的条件．若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算；若不能变为符合条件的形式，则应运用乘法法则进行计算．
三、重点·难点及解决办法
（一）重点
掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算．
（二）难点
综合运用平方差公式与完全平方公式进行计算．
（三）解决办法
加强对公式结构特征的深入理解，在反复练习中掌握公式的应用．
四、课时安排
一课时．
五、教具学具准备
投影仪或电脑、自制胶片．
六、师生互动活动设计
1．让学生自编几道符合平方差公式结构的计算题，目的是辨认题目的结构特征．
2．引入完全平方公式，让学生用文字概括公式的内容，培养抽象的数字思维能力．
3．举例分析如何正确使用完全平方公式，师生共练完成本课时重点内容．
4．适时练习并总结，从实践到理论再回到实践，以指导今后的解题．，全国公务员共同天地
七、教学步骤
（一）明确目标
本节课重点学习完全平方公式及其应用．
（二）整体感知
掌握好完全平方公式的关键在于能正确识别符合公式特征的结构，同时还要注意公式中2ab中2的问题，在解题过程中应多观察、多思考、多揣摩规律．
（三）教学过程
1．计算导入；求得公式
（1）叙述平方差公式的内容并用字母表示；
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七年级数学教案完全平方公式
七年级数学教案完全平方公式
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>教学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
本节教学的重点是完全平方公式的熟记及应用．难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)．完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础。
1．两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．即：
这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的．
这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍；公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式．
2．只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式．
在运用公式时，有时需要进行适当的变形，例如可先变形为或或者，再进行计算．
在运用公式时，防止发生这样错误．
3．运用完全平方公式计算时，要注意：
（1）切勿把此公式与公式混淆，而随意写成．
（2）切勿把“乘积项”中的2丢掉．
（3）计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式条件的形式，则应运用乘法法则进行计算．
4．与都叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．
三、教法建议
1．在公式的运用上，与平方差公式的运用一样，应着重让学生掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，教科书把公式中的字母同具体题目中的数或式子，用“”连结起来，逐项比较、对照，步骤写得完整，便于学生理解如何正确地使用完全平方公式进行计算．
2．正确地使用公式的关键是确定是否符合使用公式的条件．重要的是确定两数，然后再看是否两数的和（或差），最后按照公式写出两数和（或差）的平方的结果．
3．如何使学生记牢公式呢？我们注意了以下两点．
（1）既讲“法”，又讲“理”
在教学中要讲法则、公式的应用，也要讲公式的推导，使学生在理解公式、法则道理的基础上进行记忆．我们引导学生借助面积图形对完全平方公式做直观说明，也是对说理的重视．在“明白道理”这个前提下的记忆，即使学生将来发生错误也易于纠正．
（2）讲联系、讲对比、讲特点
对于类似的内容学生容易混淆，比如在本节出现的(ab)2=a2b2的错误，其原因是把完全平方公式和“旧”知识(ab)2=a2b2及分配律弄混，排除新旧知识间相互干扰的一种作法是向学生指明新知识的特点．所以讲“理”是要讲联系、讲对比、讲特点．
教学设计示例
一、教学目标
1．理解完全平方公式的意义，准确掌握两个公式的结构特征．
2．熟练运用公式进行计算．
3．通过推导公式训练学生发现问题、探索规律的能力．
4．培养学生用数形结合的方法解决问题的数学思想．
5．渗透数学公式的结构美、和谐美．
二、学法引导
1．教学方法：尝试指导法、讲练结合法．
2．学生学法：本节学习了乘法公式中的完全平方，一个是两数和的平方，另一个是两数差的平方，两者仅一个“符号”不同．相乘的结果是两数的平方和，加上（或减去）两数的积的2倍，两者也仅差一个“符号”不同，运用完全平方公式计算时，要注意：
（1）切勿把此公式与公式混淆，而随意写成．
（2）切勿把“乘积项”2ab中的2丢掉．
（3）计算时，要先观察题目是否符合公式的条件．若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算；若不能变为符合条件的形式，则应运用乘法法则进行计算．
三、重点·难点及解决办法
（一）重点
掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算．
（二）难点
综合运用平方差公式与完全平方公式进行计算．
（三）解决办法
加强对公式结构特征的深入理解，在反复练习中掌握公式的应用．
四、课时安排
一课时．
五、教具学具准备
投影仪或电脑、自制胶片．
六、师生互动活动设计
1．让学生自编几道符合平方差公式结构的计算题，目的是辨认题目的结构特征．
2．引入完全平方公式，让学生用文字概括公式的内容，培养抽象的数字思维能力．
3．举例分析如何正确使用完全平方公式，师生共练完成本课时重点内容．
4．适时练习并总结，从实践到理论再回到实践，以指导今后的解题．
七、教学步骤
（一）明确目标
本节课重点学习完全平方公式及其应用．
（二）整体感知
掌握好完全平方公式的关键在于能正确识别符合公式特征的结构，同时还要注意公式中2ab中2的问题，在解题过程中应多观察、多思考、多揣摩规律．
（三）教学过程
1．计算导入；求得公式
（1）叙述平方差公式的内容并用字母表示；
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（2）用简便方法计算
①103×97
②103×103
（3）请同学们自编一个符合平方差公式结构的计算题，并算出结果．
学生活动：编题、解题，然后两至三个学生说出题目和结果．
要想用好公式，关键在于辨认题目的结构特征，正确使用公式，这节课我们继续学习“乘
法公式”．
引例：计算，
学生活动：计算，，两名学生板演，其他学生在练习本上完成，然后说出答案，得出公式．
或合并为：
教师引导学生用文字概括公式．
方法：由学生概括，教师给予肯定、否定或更正，同时板书．
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．
【教法说明】
①复习平方差公式，主要是引起回忆，巩固公式；编题在于提高兴趣．
②有了平方差公式的推导过程，学生基本建立起了一些特殊多项式乘法的认识方法，因此推导完全平方公式可以由计算直接得出．
2．结合图形，理解公式
根据图形完成下列问题：
如图：A、B两图均为正方形，
（1）图A中正方形的面积为____________，（用代数式表示）
图Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的面积分别为_______________________。
（2）图B中，正方形的面积为____________________，
Ⅲ的面积为______________，
Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积和为____________，
用B、Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积表示Ⅲ的面积_________________。
分别得出结论：
学生活动：在教师引导下回答问题．
【教法说明】利用图形讲解，增强学生对公式的直观理解，以便更好地掌握公式，同时也培养学生数形结合的数学思想。
3．探索新知，讲授新课
（1）引例：计算
教师讲解：在中，把x看成a，把2y看成b，在中把2x看成a，把3y看成b，则、，就可用完全平方公式来计算，即
【教法说明】引例的目的在于使学生进一步理解公式的结构，为运用公式打好基础．
（2）例1运用完全平方公式计算：
①②③
学生活动：学生独立在练习本上尝试解题，3个学生板演．
【教法说明】让学生先模仿公式解题，学生可能会出现一些问题，这也正是学生对公式理解、应用和熟练程度上存在的需要解决的问题，反馈后要紧扣公式，重点讲解，达到解决问题的目的，关于例呈中（3）的计算，可对照公式直接计算，也可变形成，然后再进行计算，同时也可训练学生灵活运用学过的知识的能力．
4．尝试反馈，巩固知识
练习一
运用完全平方公式计算：
（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
（7）（8）（9）
（l0）
学生活动：学生在练习本上完成，然后同学互评，教师抽看结果，练习中存在的共性问题要集中解决．
5．变式训练，培养能力
练
运用完全平方公式计算：
（l）（2）（3）（4）
学生活动：学生分组讨论，选代表解答．
练习三
（1）有甲、乙、丙、丁四名同学，共同计算，以下是他们的计算过程，请判断他们的计算是否正确，不正确的请指出错在哪里．
甲的计算过程是：原式
乙的计算过程是：原式
丙的计算过程是：原式
丁的计算过程是：原式
（2）想一想，与相等吗？为什么？
与相等吗？为什么？
学生活动：观察、思考后，回答问题．
【教法说明】练是一组数字计算题，使学生体会到公式的用途，也可以激发学生学习兴趣，调动学生的学习积极性，同时也起到加深理解公式的作用．练习三第（l）题实际是课本例4，此题是与平方差公式的综合运用，难度较大．通过给出解题步骤，让学生进行判断，使难度降低，学生易于理解，教师要注意引导学生分析这类题的结构特征，掌握解题方法．通过完成第（2）题使学生进一步理解与之间的相等关系，同时加深理解代数中“a”具有的广泛意义．
练习四
运用乘法公式计算：
（l）（2）
（3）（4）
学生活动：采取比赛的方式把学生分成四组，每组完成一题，看哪一组完成得快而且准确，每组各派一个学生板演本组题目．
【教法说明】这样做的目的是训练学生的快速反应能力及综合运用知识的能力，同时也激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛．
（四）总结、扩展
这节课我们学习了乘法公式中的完全平方公式．
引导学生举例说明公式的结构特征，公式中字母含义和运用公式时应该注意的问题．
八、布置作业
P1331，2．（3）（4）．
参考答案
略．
关键词： 速算能力 “看”与“算” 心算口答训练 计算方法 数学思想方法
计算能力是数学教学中应该着力培养的重要能力。随着电子计算器的普及，新课改下，数学教师在数学课上开始淡化计算能力的培养。但笔者认为，由计算引发的速算能力对于学生心智能力培养的重要性仍然是不容忽视的。学生在速算过程中不仅培养了数感，还健全了心智。速算能力的培养往往是和数学的其他计算能力结合在一起的，只有这样才能提高速算效率，引发学生的强烈学习渴望，培养其探究的兴趣和热情。
那么，我们在数学教学中应该如何培养小学生的速算能力呢？
一、“看”比“算”更重要，要通过观察能力的培养提高速算能力
培养小学生的速算能力一定要树立指导思想：“看”比“算”更重要。因为很多小朋友不喜欢一下子看完题目，而是喜欢从左到右边做题边看题，这样就无法从整体上把握一道题，影响解题的整体效率。
完整地看题，从全局思考，往往具有强大的思考效应。300多年前，一位小学3年级的学生，名叫高斯，只用5分钟就算出了1+2+3+…+100的总和。大部分学生是从左到右依次计算，这样要进行99次加法计算。而高斯通过观察却很容易地发现了1和100，2和99，3和98，…，50和51，它们两两搭配，和都是101。这种左右均衡的结果，使他想到用乘法计算得到101×50=5050。这样，用一次乘法就代替99次的加法，使计算迅速得出结果，体现观察能力在提高计算能力中的威力。
由此可见，数学中的计算题离不开对题目的整体观察，也只有通过对计算题的整体观察，学生才能构建其思考中的整体意义。这样不仅有利于学生养成观察思考的习惯，更有助于学生整体思维的构建，提高思考效率。
二、从“大处”着手，进行心算口答的训练
在学习数学计算时，大部分老师重视的是列竖式的笔算教学。这当然要求学生掌握，但这种常规方法，如果一味训练，就会造成学生思维的局限，认为数学计算只能列竖式进行笔算。我常常对学生说：一道题有1000种解法，计算题也不例外。不同的解法只是看问题的角度不同而已。我们除了列竖式的常规解法外，更应该教会学生从“大处”着手，进行心算口算的速算训练。
例如，如何计算1241-587=？
大多数人都喜欢列竖式笔算，而不喜欢心算口答这种复杂的算术题，但我们一样可以使它变得很简单。那就是，我们不减587，而是减去600，得到641，又因为我们多减了13，所以结果为641+13=654。
又如，如果你的进货价为42元，你想获得15%的利润，你应该怎样计算呢？首先，你可以计算42的10%，即4.2元，而4.2元的一半即2.1元，也就是42元的5%，然后把这两个数字相加，即得到6.3元，也就是42元的15%。
很多学生习惯了笔算，习惯了书写解题过程，结果很多可以口答的题要淘出本子进行笔算，这实际上是效率不高的表现。而且笔算是从“小”进位到“大”，这样如果出现错误，是“大”处更容易出错，而我们直接从“大处”着手，就算出错，往往也是“小”处出错。因此，我们在教学中要有意识地教会学生这种心算口答的思考方法，这种思考方法着眼于“大处”，着眼于快速计算出“大”的结果。
三、掌握一些特殊的计算方法及其推广
常规的加减乘除竖式计算当然要求学生熟练掌握，但要让学生掌握一些特殊的速算方法。在小学数学计算教学中有较大的篇幅讲解计算的简便方法。即通过加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律，加法对乘法的分配律等帮助学生提高速算能力，而这些当然是特殊的计算方法。
但是，同样有通过观察提高运算能力的方法。如：计算112×25=？我们可以有特殊的计算策略，即以退为进地变成：28×4×25=28×100=2800。
特殊的计算方法，还可以采用一些非常规的速算方法，并由此帮助学生总结出规律性的东西。
如，计算32×11=？
对于这道数学题，只要把被乘数32的两个数字相加，3+2=5，然后把结果5放在3和2之间，你就会得出正确答案352。
但对于计算85×11呢？
因为8+5=13，那么它的答案是不是8135呢？
当然不是。因为这个13只能占一个数位，而十位的“1”必须进位到“8”的位置，即正确的答案为935。
这样，我们就掌握了两位数乘以11的全部秘密，而且能够迅速写出它们的答案。
那么，我们接着要问：是否可以用同样的方法计算三位数（或者更多位数）与11相乘的数学题呢？
当然可以，如计算324×11=？
这道题仍然可以从3开始，以4结束，因为3+2=5，2+4=6，所以答案为3564。
这样，学生的注意力一下子集中，他们纷纷提出：“有没有适合用于更大的数相乘的方法，如与111相乘，如何算呢？又如果是与12、13或者18相乘呢？”我说：“别急！方法靠人找，有兴趣的同学可以课后自行研究，自己找到特殊的速算方法的！”
从而发现，它们的结果一样可以是十位乘以十位加1的和，后面续写个位的乘积。这就与个位数为5的两位数平方规律一致，但它其实是这种特殊方法的一个推广。如果用字母代替数的话，这两个两位数就可以表达为（10a+b）[10a+（10-b）]。
这样的探究让学生的学习一下有了价值，因而深受学生喜欢。
四、在计算中提炼数学思想方法
计算能力要提高，除了培养学生的其他方面的能力外，还要注意数学思想方法的提炼。如前所述：“看”比“算”更重要，以退为进的策略，从特殊到一般总结规律，等等。
在计算中提炼数学思想，有助于我们从整体上提高学生的数学素养，使有限的课堂学习价值向无限的探索延伸，是知识转化为能力，能力转化为素质的必由之路。
数学中的计算能力，特别是心算口答的速算能力是学生心智成长中不可或缺的训练，在日常教学中我们要有意识地培养学生多角度思考问题的习惯，使学生在计算中思维敏捷。如计算15×18=？，我们可以让学生利用15×2×9=30×9=270这种以退为进并凑出整10的速算方法。也可以用5+8=13，5×8=40，再得出130+40=270这种速算的方法得出正确结果。
由于每个人的心智结构与思维特点的差异，每道计算题的思考方式和难易程度会因人而异，在以学生为本的新课改教学中，我们要把课堂交给学生，让他们自己探索，自我体验到学习中发现的快乐，而速算中独具一格的思考能给他们带来这样深刻的学习体验。
参考文献：
[1]张文在.通过速算培养小学生思维敏捷性与灵活性的实验研究[D].内蒙古师范大学，2002.6.30.
[2]王成国.培养小学生数学计算能力的几点思考[J].数学学习与研究，2013.9.20.
“商不变规律”这一内容是小学数学教学的难点之一。为了提升这一内容的教学效果，可以“变异理论”为指导思想，明晰教学内容的关键属性，重视学生的相关经验，设计相应的教学环节，并根据具体情景的“变”与“不变”，把握变异维度，以引导学生审辨教学内容的关键属性。
二、行动研究方案与教学设计
本研究采用合作的行动研究方法，由小学数学教师和研究者组成合作团队，在确定研究主题、设计教学、实施教学和学生测试等过程中相互协作、共同探讨。
1.实验班的教学过程
实验班教师以“变异理论”为指导设计教学环节，具体有三步。
（1）内容分析
“商不变规律”这一内容包括两个层面的教学。一是规则学习。“商不变规律”，即“被除数和除数同乘或除相同的数（0除外），商不变”。该规则揭示了除法运算中，商、被除数和除数之间大小变化关系的特殊规律。二是技能学习。“商不变规律”简化除法运算有两个方法：一是缩倍法（被除数和除数的末尾都有零时，当它们同除以10或10的整倍数，可简化为划掉被除数和除数末尾相同个数的零），二是扩倍法（除数为5、25或125时，被除数和除数同时乘以2、4或8，以使除数凑成整10、100或1 000）。
（2）学情分析
一是大部分学生对除法运算法则已灵活掌握，并能由商的限定条件推断被除数和除数。二是解释算式之间的规律时，一部分学生回答错误或未回答，另一部分学生能说出局部规律。三是在观察规律时，学生写的算式多是循着逐渐扩大的顺序，较少考虑到逐渐缩小的情况。
（3）教学过程
其一，认识“商不变规律”。
一是导入“商不变算式”。
猴王准备把6个桃子平均分给2只小猴，小猴嫌太少；猴王又准备把12个桃平均分给4只小猴，小猴还嫌太少；猴王准备把60个桃子平均分给20只小猴，小猴觉得占了大便宜，开心地笑了，猴王也笑了。请问，猴王为什么笑？
学生：猴王很聪明。
教师：你怎么知道？
学生：算一下就知道。6除以2 等于3，12除以4等于3，60除以20还等于3。
（教师板书：6÷2=3 12÷4 =3 60÷20=3）
教师：观察这几个算式，它们有什么共同之处？
学生：它们的商一样。
（教师板书：商不变）
二是归纳“商不变规律”。
教师：我们试着分析，在这些算式中被除数和除数怎样变化，商才不变呢？
（学生四人一组展开讨论，之后全班交流与总结。教师提示先分析前两个算式。）
学生：被除数比前一个算式扩大2倍，除数也比前一个算式扩大2倍，商不变。
教师：扩大2倍，采用运算的形式如何表示？
学生：乘以2。
教师：就是说，被除数乘以2，除数也乘以2，商不变。那么，我们可以把乘除的情况综合起来简洁表述吗？
学生：被除数和除数乘以（或除以）2、5或10，商不变。（此时学生未提及“同时”）
教师：乘以或除以其他数也可以吗？
学生：换成其他数，商也不变。（此时学生未意识到零的特殊性）
教师：我们能不能把它们再归纳为更简洁的一句话呢？
学生：被除数和除数乘以（或除以）相同的数，商不变。
这样，学生用“一个数”“共同的数”或“相同的数”来替代那些具体数值，归纳出“商不变规律”的主要内容，但没有审辨出“同时”和“0除外”这两个要素。
三是完善“商不变规律”。
教师通过正反例对比的变异图式，既巩固已归纳的要点，又引导学生看到前面的归纳还不完善，即需要补充两点（“同时”和“0除外），并强调这两个关键属性。
（12×3）÷（3×3）正例
（12×2）÷（3×4）反例
（12+9）÷（3+9）反例
（12÷6）÷（3×6）反例
（12×0）÷（3×0）反例
其二，运用“商不变规律”简化除法运算。
在复习“商不变规律”这一内容后，教师呈现两个新的教学内容：一是缩倍法简算，二是扩倍法简算。教学重点在于引导学生审辨这两种方法的适用条件和操作方法。
一是缩倍法。
教师：这里有两道题，你可否运用“商不变规律”，口算出结果？
（教师板书：2400÷1200= 24000÷12000= ）
（有几个学生迅速说出答案）
教师：他们是怎么算的？为什么这么快？请大家分小组讨论一下这两题的简算方法。
（教师巡视，并对有困难的学生给予指导，然后全班交流。）
学生：做第一道题，我们的方法是，把被除数和除数都除以100，结果等于2。做第二道题，我们的方法是，把被除数和除数都划掉1000个0，商不变。
教师：这两题有什么共同点？什么情况下可以用去零法或缩倍法简化运算？
学生：被除数和除数都有0。
教师：0在什么位置呢？
学生：在数的末尾。
教师：很好，请大家完成这组练习。
（教师板书：8400÷400= 36000÷1200= 2000÷500= 72000÷600= 8080÷80= ）
在这组练习题的第2、3、4题中，被除数和除数末尾零的个数不同。起初，不少学生未能审辨这一差别，只是一味地将末尾所有零划去。后来，学生发现了问题（划去零的个数不同违背了“商不变规律”），进而意识到：必须分辨末尾零的个数，以确保被除数和除数划去的末尾零的个数相同。
二是扩倍法。
由于学生自己探究扩倍法简算的难度较大，所以采用课本上的例子作为导入示范。
教师：请大家看课本第76页的“观察与思考”，注意“400÷25”的运算过程，从中你发现了什么？
学生：运用了“商不变规律”，被除数和除数同时乘以4，商不变。
教师：为什么要乘以4？
学生：使除数变成100，再算除法就简单了。
教师：你能用这样的方法简便计算下面各题吗？
（教师板书：300÷25= 340÷5= 4000÷125= ）
在这组练习题中，第1题可采用“乘以4”的方法简算；第2题的除数是5，可把被除数和除数都乘以2，这样，除数变为10，从而简化运算；第3题的除数是125，可把被除数和除数都乘以8，这样，除数变为1 000，从而简化运算。这组练习题的关键在于除数。当除数是5、25和125时，为了简算，应把除数分别乘以2、4和8，以使除数变为10、100和1 000。当然，被除数也要乘以相同的数。
2.对照班的教学过程
对照班的教学过程也紧紧围绕“商不变规律”这一内容展开，与实验班的教学过程相比，它有四个不同之处：一是强调了“商不变规律”的关键要素，但未通过“变”与“不变”的教学情景逐一突出其属性；二是设计的教学情景与“商不变规律”这一内容的联系不够紧密；三是强调“相同的数”可以是任何数（包括除不尽的情况），引发学生的不解；四是技能教学只列举了几个例子，变异图式不够完整。
三、研究结果分析
教学后的测验表明，实验班与对比班的学生对“商不变规律”这一内容均已基本理解，但实验班学生对这一规律的理解更全面、清晰，并能熟练掌握这一规律简算除法。于是，我们总结出两个体会。一是关于“商不变规律”这一内容，应将整体表述与细节分析相结合，以使学生对规律的细节有深刻的理解和有力的把握。二是关于知识技能的运用，需要专门而有效的教学设计。在“变异理论”指导下，知识技能的教学强调了情景的识别和方法的判断，这对知识技能的习得和今后的迁移变通具有积极的促进作用。