时间：2023-10-08 01:29:33
乘法分配律是小学数学人教版四年级下册的教学内容。它的教学重点是让学生感知并归纳乘法分配律，理解乘法分配律的意义，并会用乘法分配律进行一些简便运算。
根据笔者及同行的经验，乘法分配律是小学阶段简便计算中比较难掌握和理解的，学生在练习的过程中往往会出现很多的错误。因为它不像其他运算定律那样只是单一的运算关系，它沟通了乘除法和加减法之间的联系；它既有顺向的分配形式，又有逆向的合成形式；它既有典型的常规题型，又有非典型的变式题型，因而显得更加复杂。对此，笔者尝试通过对乘法分配律进行专项测评，去发现一些在乘法分配率教学中的问题，从而及时调整教学。
二、测评说明
对学生进行了两次乘法分配律专项测验。第一次在刚学完新课后进行，第二次于第二周进行集体反思与辅导后进行。每次12道题，对应题匹配。具体情况如下。
三、测验情况及其分析
1.第一次测验情况
（1）总体情况（第一次测验）
（2）典型错误及其原因分析与采取的措施
【典型错误1】概念性错误
（4） （40-8）×25=25×40-8=1000-8=991
（8） 25×41=25×40+1=1000+1=1001
错误原因分析：这是顺向的分配形式题及其变式题，出错者对乘法分配律的概念不理解或理解不透彻。
补救措施：理解乘法分配律的概念。
【典型错误2】没运用乘法分配律
（11） 73+73×99=99×73+73×1=7227+73=7300
（4） （40-8）×25=25×32=800
错误分析：直接计算或走回头路，没有运用乘法分配律。
补救措施：让学生观察数字特点和运算符号，培养学生对数字与符号的敏感性，理解运用乘法分配律等可以使计算简便，能简算的要简算。
【典型错误3】粗心大意或感知性错误
（6） 425×12-425×2=425×（12+2）=425×14=5950
（3） 76×（100-2）=76×100-76×2=7600×152=7548
错误分析：抄错符号或计算错误。
补救措施：加强规范性训练，严格要求。如要求学生采用“一看、二想、三算、四查”的方法做题。
【典型错误4】混淆性错误
（11） 73+73×99=75×2×99=146×99=1454
（3） 125×（8+80）=129×8×80=100×10000=11000
错误分析：与乘法结合律混淆。
补救措施：加强乘法结合律与乘法分配律对比性练习。如进行题组对比：15×（8×4）和15×（8+4）；25×125×25×8和25×125+25×8。练习中可以提问：每组算式有什么特征和区别？符合什么运算定律的特征？应用运算定律可以使计算简便吗？为什么要这样算？
【典型错误5】定势性错误或其他错误
（4） （20-8）×125=（125×8）-20=1000-20=980
（8） 125×88=125×8×8=1000×8=8000
错误分析： 如题（4）中，学生看到125，就想到了8，于是随意改变运算顺序。
补救措施：切忌让学生形成“简便计算就是凑整”的错误思想。针对这类错误，一方面，教师要加强学生对运算定律的认识与理解，另一方面还应培养学生认真、细致的学习态度，养成用估算或按运算顺序再算一遍的方法进行验算的良好习惯。
2.第二次测验情况与第一次对比
（1）总体情况对比
（2）错误率对比题号
通过上面的数据，可以看到：对比第一次测验，第二次总体情况有进步，平均提高了12分多，优秀率提高了，但仍不大理想；不合格人数仍然较多，低分仍然很低；失分多的为第（1）、（3）、（4）、（8）、（11）、（12）题，即变式题、乘法对减法的分配题等。
原因分析：（1）第一次采取的措施偏向集体纠错。在测验完的第二天留了80分以下的学生进行辅导，及课堂练习时进行了有针对性的辅导。（2）发测验纸让学生抄了错题后马上收回了，没有取得家长的支持与配合。（3）第二次练习时，正在学小数，对测验的内容已出现回生现象。
四、测评后几点思考
通过这次的专项测评，经过对测验数据的分析，发现学生对乘法分配律掌握得不够好。因此在以后的教学中，必须强调以下几点。
第一，加强对后进生的辅导。教师本人及优生帮扶后进生，辅导时要尽量通过数形结合等生动形象的方式，让后进生 “领悟”学习内容。如通过数形结合的方式让他们理解乘法分配律的意义与实质，对乘法分配律的理解从外显的“形”上，步入“质”的层面。只有学生理解了乘法分配律，才会去掌握和运用乘法分配律。
第二，利用典型易错题，加强集体反思及个体反思。在学习过程中，犯错是在所难免的。我们要允许学生犯错，应帮助学生树立纠错追因意识，把学生的错误当作宝贵的教学资源，引导学生反思：错在哪里？为什么错？然后让学生有针对性地纠错，让错误发挥最大的功效。要求每位学生都有一本“易错题集”，并让它发挥应有的作用。
第三，经常反思自己的教学，及时调整教学。如教学乘法分配律时，两极分化明显的情况就说明课堂上对后进生的关注不够。
第四，深研教材，深度备课，做到胸有成竹。以教材为起点，在深读教材与跟人交流与请教的基础上（如不能一心只读教材与参考书，要多与人交流与请教，也可以上网搜集资料，这样对自己的教学能有所启发和帮助），最大限度地开发可以利用的一切课程资源，达到解读教材的深度与高度，拓展教学内容的广度，使教学目标与教学内容的设定尽可能地适度、合理。
第五，加强变式及对比练习。对一些难理解的知识，变换形式进行训练，既可培养学生的分析、概括、综合能力，促进知识和方法的迁移，又能使学生触类旁通、提高应变能力。如乘法分配律的例题只讲到了基本的顺向的分配形式题，且是乘法对加法的分配，而逆向的合成形式及变式题型少。因此，教学中应加强变式教学及练习，突出知识间的联系，拓宽学生的视野；要加强对比练习，如乘法结合律与乘法分配律的对比。
关键词：
一、 案例背景
人教版四年级下学期《运算定律与简便计算》这一单元在整个小学数学知识体系中起着举足轻重的作用，这块知识的掌握程度直接影响到五、六年级小数及分数的简便计算，其重要程度好比大厦的基石。学习本单元前，学生对这一块知识并不陌生，如加法交换律、乘法交换律在进行加法验算、乘法验算中接触过，乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律、连减的性质、连除的性质在部分“解决问题”的题目中体验过，如：计算长方形的周长，可以用“（长+宽）×2”，也可以用“长×2+宽×2”，又如：一本书有150页，第一天看了35页，第二天看了29页，还有多少页没看完？两种方法合到一起就是连减的性质，等等诸如此类的题，但这些知识的出现是零散的、不全面的，本单元把它们集中到一起学习，并抽象出运算定律和运算性质，给学生建立起完整且清晰的知识体系。学生之前有了一定的知识基础，学习此单元本应该是得心应手，但令数学老师感到困惑的是这一并不陌生的知识运用起来却不尽人意，做练习时要么是几种运算定律产生混淆，要么不能根据数字特点自发的进行简便，要么毫无依据的随便简便（错误简便），正确、灵活地运用运算定律及运算性质进行计算令学生颇有困难，于是有些老师便采取题海战术，熟能生巧，不怕你不会，因此花了大量的时间，但收效甚微。笔者认为，从学生的需要出发进行练习，可以起到事半功倍的效果。
二、 案例描述
片段之一：揭示课题
师：同学们，今天我们进行“运算定律与简便计算（单元练习）”，主要考考大家的眼力及思维能力。
板书课题：运算定律与简便运算（单元练习）
说明：引入课题单刀直入、简单明了，既节省时间，又提出了要求，让学生明确计算的两件法宝，一是眼—审题，二是脑——选择正确的解题策略。
片段之二：抢答
师：我们先来热热身，抢答下面各题，并说说计算的依据。
64+120+36 189+43+57 37×25×4 125×37×8
62×（100+1） 395—68—32
抢答激发了学生的热情，同学们纷纷举手，教师根据学生的汇报板书相应的运算定律及运算性质。前面的练习一帆风顺，学生抢答争先恐后，突然150—20+30跳出屏幕
一学生迫不及待地喊：100 （学生掉进了陷阱）
师稍停：真的是100吗？（很多学生发现了问题，小手林立）
生1：不是100，是60
生2：不能先算加法，它没有括号，要从左到右依次计算。
师：那么怎样才能先算20+30呢？
生1：把加号改成减号。
生2：把20+30打上括号。
师：对，这两种改法才能用连减的性质去做。
抢答继续进行，紧接着出示360÷12÷3 ，学生快速抢速，没有难到他们，屏幕快速跳出200÷5×4 =
我找了一位中下生，由于受思维定势的影响，该生也掉入陷阱，大声回答：等于10
教师再次引导学生对比、讨论。
屏幕最后出现：36+50—36+50
一位平时成绩很不理想的孩子也高高举起了手：等于0
马上有不同声音反驳：“不等于0，没有括号”。
师：对，如果36+50打了括号就能先算加法，结果等于0，那么应该怎么计算呢？
生1：从左往右计算
生2：先算36—36
……
说明：让学生边抢答边回忆运算定律及运算性质，达到了练中促忆的目的，也有助于在学生头脑中建立本单元的知识网络，让学生对本单元知识有一个清晰且全面的认识，这种认识是整体性的、清晰的，而不是零散的、模糊的。另外实践证明，学生的简便意识过强也会导致只求简单而不思正误，所以在快速抢答中插入几道易混易错题，以引起学生强烈的认知冲突，从而提升学生的辨别能力。
片段之三：纠错、改错
出示学生平时的错题照片。
哗，同学们非常惊讶。
师：你能说说错误的原因吗？（学生逐题寻找原因）
师：会更正吗？
学生在错题旁进行更正，教师选几题让学生说说使用了什么运算定律。
师：通过这题你有什么感想？
生1：简便算法要有依据，不能随便简便。
生2：不能随便加括号，有些题加了括号虽然简单，却是错误的简便。
生3：做题之前要先看题，想好了再做。
生4：不要被表面现象所迷惑
生5：不能只顾埋头拉车
师：对，首先要学会抬头看路，先看看题目能否简便，能简便的一定要有简便依据，比如说这几题（指着屏幕上前4题），没有简便依据的就按四则运算法则进行计算，比如这几题（指后面两题）。
说明：以上习题都是学生平时的错题，而且是一些典型错误，用照片方式呈现出来，体现了一种真实感，很容易吸引学生的眼球，并且给学生一种内心的强烈冲击，这就是我曾经犯过的错误或我的同学犯过的错误，从而引发了学生强烈的纠错欲望。里面有几道非简算题，这几题主要是训练学生的辨别能力，让学生明白简单的错误计算并不等于简便。这种针对学生的典型错误开展练习，起到了事半功倍的效果。后面叫学生谈感想，是对解题方法、解题习惯的一种指导，把老师想说的话通过学生说出来，其效果比老师不断强调好得多。
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片段之四：对比练习
1、街心花园有玉兰树和海棠树各3行，玉兰树每行12棵，海棠树每行8棵。两种树一共有多少棵？玉兰树比海棠树多多少棵？
2、街心花园有3行玉兰树、4行海棠树，玉兰树每行12棵，海棠树每行8棵。两种树一共有多少棵？玉兰树比海棠树多多少棵？
全班独立完成，教师巡视，相机叫学生上台板书，黑板上的板书有正确的，也有错误的。
教师重点引导一个错误算式：（12+8）×（3+4）
师：这样做对吗？
生：不对
师：为什么？（师追问）
该生无语，另有几只手举起来，我见举手的人不多，便接着引导：我们先把3+4算出来，变成（12+8）×7，这时有较多的手举起来，但个别学生还是茫然，继续引导：如果我们把它变成12×7+8×7，几乎全班同学举起了手，此时水到渠成，我指名一中下生回答。
生：玉兰树与海棠树各有7行了，题目是3行玉兰树、4行海棠树。（该生准确回答）
师：那么第一题能列成算式（12+8）×（3+3）吗？
刷，全班举起了手。
生：那不是玉兰树和海棠树各有6行了吗？
……
教师没有就此结束，继续追问。
师：为什么第一题可用乘法分配律做，而第二题不行呢？
生：第一题玉兰树和海棠树的行数是一样的，第二题不一样。
师：对，乘法分配律中必须有一个相同的因数。（师强调）
……
说明：这两道题看起来很简单，在学生学习乘法分配律之前他们已有接触，但自从学了乘法分配律以后，一些学生反而糊涂了，因为乘法分配律较其他运算定律更为 抽象，部分学生对这一概念一时难以理解透彻，但自认为自己学会了，于是出现不假思索，乱套公式的现象，这种错误现象在求相遇问题的时候也时有发生，学生往往把两个相同的时间加起来。所以此题的目的有两个：一是通过学生的错误让他们深刻理解乘法分配律的真正含义。二是通过对比，让学生明白乘法分配律中必须有一个相同的因数，通过对比辨识再次强化了乘法分配律的算理。乘法分配律是本单元的一个难点，学生易错、易混，让学生明确其算理是极为重要的，但是算理不应仅仅停留在算式上，因为算式较为抽象，而生活问题具体形象，通过生活问题能让学生对其有一个更加清晰地认识。
片段之五：深化练习
出示如下画面：
师：你能根据这些信息提出数学问题吗？
生1：高云、玉冰可以买多少支水彩笔？
生2：泓杰可以买多少盒水彩笔？
生3：高云、玉冰买水彩笔用了多少钱？
学生分别列出式子并解答，教师巡视，并请几名学生上台板演，一个错误的解答引起我的注意，随即让该生板演。
算式：25×12
=25×（4×3）
=25×4×25×3
=7500（支）
师提问该生：你用了什么运算定律？
该生自信地说：乘法分配律。
其他学生举起了手，教师不加理会，手指乘法分配律公式继续追问：乘法分配律有什么特点呢？
生：有加有乘两级运算。哦，错了，应该是乘法结合律。（该生恍然大悟）
师强调：对，从运算符号上来看，乘法分配律含有两级运算，而乘法结合律只含乘法一级运算。不过，虽然你用错了定律，但你能自觉用简便方法计算，还是要表扬的。
说明：此题重在训练学生问题意识，我国著名教育家陶行知先生说过：提出一个问题比解决一个问题更重要。从小培养学生的问题意识，有利于学生良好思维品质的形成，有利于培养学生的创新思维和创新能力，学生的这种能力不是一朝一夕形成的，也不是老师强加给学生的，而是在于平时的教学中一点一滴地渗透。此题另一重点是训练学生的简便意识，看学生能否在平时的练习中自觉运用简便方法计算，巡视时发现表现良好，但发现一个错误，教师敏锐地发现这也是部分学生易犯的错误，于是再次利用错误资源深化乘法分配律及乘法结合两种运算定律的不同之处。
片断之六：拓展练习
出示：3.76×850+85×62.4
师：这道题有点难，想挑战吗？
生齐答：想
随即教室里非常安静，几十双眼睛盯着屏幕思索，一时无人举手。
师：能否用我们学过的知识解答呢？
个别学生想举手，但有些犹豫。
师再提示：上学期我们学过积不变……。
几位思维活跃的学生立即高高举起了手
……
说明：学生的潜力是无穷的，其内心也有一种渴望成功的欲望，教师不能只满足于学生掌握一些基本知识、基本技能，要以发展的眼光看待问题，努力开发学生的潜能，开启学生的智慧，实践证明，学生跳一跳摘到的桃子是最香甜的。
三、 案例反思
1、从学生的需要出发，重视练习的“多样性”
课堂上如果教师一味地讲，学生一味地听，教师的语言很可能成为催眠曲，如果让学生一味的做，也会引发学生的厌烦情绪，总之一味重复某一单一的活动，会造成疲劳效应，引起学生注意力涣散，导致课堂效率低下。俄国教育家乌申斯基曾经说过：注意是心灵的天窗，只有打开这个天窗，才能让智慧的阳光撒满心田。本课中形式多样化的练习保持了学生的注意力，激发了学生学习的热情，课始的抢答就像一项热身运动把学生迅速从课外拉进了课堂，当这股热劲还未褪尽时，学生平时的典型错误又以照片的形式真实的展现在他们的面前，哗，学生惊呼，投影屏幕像磁铁一样吸引着孩子们的眼球，几道熟悉且真实的题目把他们引入到积极地纠错、改错状态中，在畅谈感想中他们说得多好啊！“简便算法要有依据，不能随便简便”。“不能随便加括号，有些题加了括号虽然简单，却是错误的简便”。“做题之前要先看题，想好了再做”。“不要被表面现象所迷惑”。“不能只顾埋头拉车”。紧跟着的对比练习又把他们带入了另一种状态，几例错误答案引发了他们的探讨。接着看图提问并解答的练习题又满足了学生的成功感，最后的拓展练习更激发了学生挑战难题的欲望，几十又眼睛盯着屏幕，他们在观察、在思考……。课后几位同学跟我说，这节课过得真快呀！一位调皮的学生说：下节课还是数学课吗？
2、从学生的需要出发，注重练习的“针对性”
练习设计要做到“目中有人”，注重学情，以学生为中心、为主体，有目的、有针对性地展开练习，如果眉毛胡子一把抓，将如蜻蜓点水，很快了无痕迹，而根据学生的实际情况开展的练习将会使学生印象深刻，产生强烈的共鸣感，美国著名教育心理学家奥苏伯尔曾经提出这样的命题：“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么，我将一言以蔽之：影响学习的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么。要探明这一点，并应据此进行教学”。本课从以下两方面进行了富有针对性的练习，第一，针对学生的薄弱环节进行练习。本课第一环节抢答题中夹杂了几道学生易错的题，如：150—20+30 200÷5×4 36+50—36+50，由于受思维定势的影响，学生一次次掉入了陷阱，当他们从陷阱中爬出来时，以后再掉下去的机会就会少得多了。第二环节的纠错、改错又给了学生强烈的冲击，当他们自己或同伴曾经犯过的错误那么真实的出现在眼前时，教室里立即出现一声惊呼，随即全情投入，他们争先恐后地指出其中的错误，完全融入其中，因为把身边的错误改正过来令他们倍感亲切。第三环节的对比练习是专门针对乘法分配律的一项练习，因为乘法分配律较抽象，是本单元的一个难点，学生易混易淆，本节课浓抹重彩地进行了强化训练。第二，利用学生的错误资源展开探讨。在对比练习中，第二小题的解答某学生列出了如下算式：（12+8）×（3+4），教师以此为契机进行引导，师：我们先把3+4算出来，变成（12+8）×7，这时有较多的手举起来，个别学生还是茫然，继续引导：如果我们把它变成12×7+8×7，几乎全班同学举起了手，此时水到渠成，学生对乘法分配律的算理在层层剖析中更为清晰了。在看图按数学信息提出问题的解答中，一位学生也出现了如下错误：25×12=25×（4×3）=25×4×25×3=7500（支），教师敏锐地发现这是学生的典型错误—混淆乘法结合律与乘法分配律的概念，随即叫该生板演，并且反复追问，该生终于恍然大悟：“哦，错了，应该是乘法结合律”。错误资源强化了两 个概念的不同点，学生对两个概念较之前更清晰、更明确了。
3、从学生的需要出发，追求练习的“发展性”
有研究证明，儿童90%的潜能处于休眠状态，因此教师不能只满足于学生掌握一些基本知识、基本技能，要以发展的眼光看待问题，尽可能挖掘学生的潜能，启迪他们的智慧。著名教育家陶行知先生说过：“我们发现了儿童有创造力，认识了儿童有创造力，就须进一步把儿童的创造力解放出来”。本课练习层层深入，最后两题有一定的思维难度，一题是看图根据数学信息提出有价值的数学问题并解答。由于提出问题比解决问题更具挑战性，学生很有兴趣，他们积极思考，踊跃发言，并提出了三个有代表性的问题，生1：高云、玉冰可以买多少支水彩笔？生2：泓杰可以买多少盒水彩笔？生3：高云、玉冰买水彩笔用了多少钱？最后一题较前一题稍难，里面的小数乘法（五年级知识）干扰了学生，但此题并非高不可攀，它处于学生的最近发展区，如果找到了解题关键点，该题并不难解。小数乘法还没有学过，怎么做呢？同学们一时蒙了，教室里非常安静，全班同学的注意力高度集中，人人盯住题目认真思考，不久，个别学生想举手，但有些举棋不定，老师稍加点拨，几位同学立即自信地高高举起了手……，又解决了一个难题，同学们脸上洋溢着笑容，成功的欲望再次得到了满足。数学是思维的体操，教师不能把学生当成知识的容器，我们要做的是如何引导、设疑……，激活、拓展他们的思维，富有挑战性的练习给了学生广阔的思维空间。
第一，几种运算定律混淆。
主要是乘法分配律和乘法结合律混淆。
典型错误如：
32×25 8×25×4×125
=（4×8）×25 =（8×125）+（25×4）
=4×25+8×25 =1000+100
=100+200 =1100
=300
第二，不理解运算意义。
典型错误如：
101×23
=（100+1）×23
=100×23+1
=2300+1
=2301
第三，不会运用乘法分配律。
典型问题是遇到诸如99×15、99×15+15这类题分不清怎样做，束手无策。
在乘法分配律的练习中，教师费尽心思，讲尽各种题型，但学生作业中的错误还是屡屡出现。为什么会让教看似简单的知识“越教越难”，为什么学生对乘法分配律的学是镜中花、水中月，不得其要领呢？这是由于教师在教学乘法分配律时只注重了表面形式的认识，学生在学习新知识时单纯依靠模仿和记忆，对乘法分配律算式形式结构是机械记忆，这就是典型的对数学探究学习理解的偏颇和不到位。
教学“乘法分配律”时，可以从以下几方面引导学生进行有效探究，提高学生学习的有效性。
一、提供有探究意义的学习材料
数学探究学习的过程是一个复杂的过程，是不断经历猜想、验证、思辨的过程，探究性学习材料是学生进行有效探究的前提和基础。
以往的教学从一道题目入手（如，一套运动服上衣要120元，裤子80元，买这样的3套服装应付多少钱？）引导学生用两种方法解决（120+80）×3和120×3+80×3，进而观察、举例、总结、应用。这样单纯的教学素材缺少了对内在运算意义的引导，忽视了乘法分配律和结合律的内在联系和比较，使得学生的注意力容易指向算式的形式结构变化，而表现形式的简单记忆就犹如搭在一堆流沙上的建筑，稍加干扰就立刻散架，甚至无法复原。为此，教师可把学习材料重新安排：
1.引入。
商店进来橡皮2箱，每箱4盒，每盒有25块，一共有多少块？
（1）学生列式计算：2×4×25或2×（4×25）。
（2）运用了什么运算定律？
（3）乘法结合律中，什么变了？什么没变？
（4）括号中的乘号能不能变成加号？为什么？
引导学生明白“2”表示“2箱”，“4”表示“4盒”， “25”表示“每箱25块”，单位不同，不能相加。乘法结合律中的乘号不能变成加号。
2.展开。
商店原有2盒橡皮，每盒25块。现在又进来4盒同样的橡皮，现在一共有多少块？
（1）学生列式计算：25×（2+4）或25×2+25×4。
（2）“2”表示什么？“4”表示什么？25×（2+4）这个算式中加号能否改成乘号？为什么？
引导学生明白“2”表示“2盒”，“4”表示“4盒”，单位相同，可以相加。“2+4”表示一共有6盒橡皮。这里的加号不能变成乘号。
小结：2×4和2+4虽然只是一个小小的运算符号不同，代表的是2和4之间完全不同的两种关系。“2×4”表示“2个4盒，2箱一共8盒”，“2+4”表示“2盒加上4盒，一共有6盒”。
（3）如果25×（2+4）去掉括号――25×2+4，发生了什么变化？结合每个数表示的意义和数与数之间的关系进行解释。
小结：要正确解答这道题，括号不能去掉。
3.进一步讨论。
（1）（2+4）×25要去掉括号应该写成什么？写一写并解释为什么。
（2）同样是去掉括号，为什么（2+4）×25=25×2+25×4中“25”出现了两次，而2×（4×25）=2×4×25中“25”只出现了一次？
（3）比较2×4×25和（2+4）×25，每个数表示的意义是什么？2×4和2+4表示的意义相同吗？
4.归纳总结。
（1）（2+4）×25=25×2+25×4 前后算式中什么变了？什么没变？为什么可以这样变？
（2）用自己的话说说算式的特点，再用自己喜欢的符号表示出来。
（3）揭示概念：这个运算定律叫做“乘法分配律”。
（4）阅读教材上的相关知识。
5.练习。
（1）在横线上填上适当的运算符号或数。
46×77+46×23 =（___+___）×___
（77___23）×46=77×（23×46）
讨论：为什么这样想？能用实际事例说明吗？
（2）观察：这堂课上出现的几组算式，前后对比，怎样计算更简便？
2×（4×25）=2×4×25
（2+4）×25=25×2+25×4
46×77+46×23=（77+23）×46
（77×23）×46=77×（23×46）
两组探究材料的设计，注重了数学材料内在的层次性和逻辑性，由学生已经掌握的乘法结合律的特点和内在意义引出乘法分配律，将两种运算定律结合具体事例进行了解释和反复对比，最后从形式结构上比较。比起以往的教学来说，并没有过多地强调外在形式的简单记忆，在教学的各个环节，无论算式的外在形式怎样变化，学生的思维始终围绕运算意义的理解展开。在解释交流的过程中，随着两个定律的非本质属性被不断剔除，其本质属性得以凸现，而算式外在形式的变化特点在意义解释过程中自然而然地被纳入学生的认知结构中。
二、设计有效的探究学习过程
当探究材料具有内在的逻辑性和结构性的时候，教师怎样利用这些材料进行有效的探究学习呢？所谓有效，就是指学生在探究学习的过程中，能够自主探索、积极思考，利用探究材料，探索发现数学规律，能结合实际情境主动应用数学规律。因此，教学设计要注意以下两方面：
1.教师提问的针对性。
在上述材料的讨论和归纳阶段，几次反复提问，都一再强调运算符号的变化所产生的意义和结果，旨在引导学生从运算意义的角度追根溯源、深入思考，真正把握定律的内在实质。通过有意义、有深度的问题引导学生植根于定律的意义理解算式的结构特点。
2.注重学生的探究体验。
体验是置身特定情境下的感受，它一定是学生真切的、发自内心的感受。比如让学生思考：“2”表示什么？“4”表示什么？（2+4）×25这个算式中加号能否改成乘号？为什么？如果25×（2+4）去掉括号――25×2+4，发生了什么变化？结合每个数表示的意义和数与数之间的关系解释。这些环节的设计目的在于让学生体验乘法分配律的本质意义，尤其是“公因数25”的实际意义，突出了从模型建构的角度理解运算意义。
练习安排〔练习（1）在横线上填上适当的运算符号或数。讨论：为什么这样想？能用实际事例来说明吗？〕从现实生活过渡到抽象模型，用实际事例来说明乘法分配律和乘法结合律，目的在于进一步让学生经历问题探究过程中理解数学情境的本质结构，培养学生的思维迁移能力。
数学课堂练习是学生巩固所学知识，提升数学素养，发展数学经验的重要平台。数学经验是学生学习数学的基础，学生有什么样的数学经验，就会有什么样的学习方式，就会产生什么样的学习后果。当学生的数学经验不足或不完备时，他们在后面学习相关的内容时就没有经验可调动，就会直接导致学不下去或面临很多困难。下面，笔者就结合苏教版小学数学四年级下册“运算律”的教学来谈一谈如何设计有效数学练习，以丰富学生的数学经验。
一、不同内容不同练习，让训练有目标
在教学时，针对不同的教学内容，要设计不同的练习，要让练习题内容与教学内容紧密联系在一起，要让练习题达到巩固、发展课堂教学内容的作用。
下面是一位教师在“教学乘法分配率”时出示的练习题：
25×44＝ 32×8＝ 56×4＋32＝
36×25＋64×25＝ 75＋46＋27＝
在这一组练习题中，除了25×44与36×25＋64×25这两道题目是巩固乘法分配率的，其他三道其实就是最基本的计算题，而且是学生早就掌握的内容，与本节课的教学内容没有太大的联系。我课后与这位教师交流时，问他为什么要设计这样的练习题，他说当时也没有想那么多，认为反正练习就是训练学生计算能力的，无论出什么样的计算题对提高学生的计算能力都有帮助，所以就没有过多地去想如何设计。
这就是一种不按教学内容来设计练习题的典型，这样做不但会浪费学生宝贵的学习时间，还会让学生产生一种厌倦感，打消了学生学习乘法分配率的兴趣。这样的做法是不可取的。所以，我们在设计课堂练习之前，要系统地研究本节课所要教学的内容，知道哪些地方学生不容易懂，哪些地方学生可以很容易解决，哪些地方学生容易混淆，把握好本节课的教学重难点，有针对性地设计一些练习。
二、不同学生不同难度，让训练有层次
不同的学生有不一样的知识水平，他们解决数学问题的能力也有差异。在练习设计时，我们要根据学生的这些差异，确保每一个学生都可以在练习中提高自己的解题能力，享受到成功的喜悦，不能让所有的学生都做同样的题目。
比如，在“乘法分配率”这一节课的教学中，我设计了三个层次的练习题。第一层：36×25＋64×25，27×48－17×48；第二层：25×102、45×98，2×56＋32×43＋32；第三层：25×44，560÷35。第一层的练习题是一些简单的，让学生可以轻松算出答案的练习题，学生只要懂得乘法分配率的应用，就可以一眼看出如何解答。这一层次练习的设计目的就是巩固学生在课堂上的所学，夯实学生的数学基础。第二层比第一层的练习题灵活一些，是一种变式练习，学生一下子可能看不出题目中所隐含的乘法分配率，需要在充分理解乘法分配率的使用技巧之后才能完成。这样是想让学生通过练习，灵活运用乘法分配率，体会乘法分配率的价值，以提高学生综合运用数学知识来解决问题的能力。这样，学生就可以根据自己不同的水平选择合适自己的练习题。第三层的练习题是一些拓展性与综合运用的题目，第一题除了可以用乘法分配率来解答“25×44＝25×（40＋4）＝25×40＋25×4＝1000＋100＝1100”，还可以用乘法结合率来解答“25×44＝25×4×11＝100×11＝1100”；第二题是一道除法计算题，目的是想迷惑学生，让他们不知道用什么运算律来解答，其实是想让学生在学习乘法分配率之后，想一想以前学习过的乘法都有哪些运算率，体会不同运算之间的联系，以提高学生综合运用运算率的能力。这样，通过不同层次的练习就可以促进学生对乘法分配率的理解，并丰富他们的数学经验。
三、不同兴趣不同题型，让训练有动力
学生的兴趣爱好不尽相同，有的学生喜欢一些计算题，而有的学生却喜欢一些操作性的题目。如果我们给他们安排相同题型的练习题，那么就会让一部分学生的思维产生审美疲劳。而针对学生不同的兴趣设计不同类型的练习题，就可以提高学生的练习兴趣以及参与的积极性。
比如在教学“乘法分配率”时，根据不同学生的兴趣我设计了不同类型的应用题，比如喜欢操作的学生，让他们用乘法分配率来验证长方形周长与梯形面积的计算公式，看看能不能通过操作，运用乘法分配率来验证这两个公式的正确性；喜欢解答应用题的学生，就安排他们解答通过乘法分配率来计算的应用题“学校有6行杨树，4行柳树，每行树有17棵，杨树与柳树一共有多少棵？”而喜欢计算题的学生，就出示各种可以应用运算率来计算的计算题来让他们练习。这样既关注了不同学生的兴趣爱好，又可以有效地巩固学生对乘法分配率的理解，同时还提高了学生解题能力，在无形中丰富了学生的数学经验。
总之，有效的数学练习可以提高学生数学技能，丰富学生数学经验。在数学教学中，教师要精心设计数学练习题，只有这样，学生的数学素养才能得以提升。
一、精讲多练，将计算进行到底
新授课时一定要有一个计划：这节课的内容是什么，我要达成什么目标在讲解算理时最好能选择学生能够理解的快的通俗的语言，让学生在理解算理的基础上自己找到算法。课堂上程度较好的学生能按照这种方法学到新知，但有一小部分学生不理解算理所以对算法很茫然。比如在初学“除数是两位数的除法”时，一部分学生不会试商，用乘法想除法，对比较大的数就一脸的茫然，不知道怎么去做了，如：在计算1260÷36时，找数与36相乘，因为数过大失去了耐心最后索性就不去做了。为了纠正这种情况我在辅导的时间又不厌其烦地讲解算理和算法，在他们真正理解了以后这种错误就少了很多。当然，开始要有大量的练习来巩固学到的方法，出错较多的有代表性的题目要全班交流和评价，仅在学习本单元时做大量的练习，学习其它内容时就不再练习计算了这也是不可取的，这样很容易让学生刚刚熟悉的新知谈忘掉，所以我在本单元以后的学习中也将计算长抓不懈，每天5道题，（不要太多，因为还有其它作业。）先是每天5道除法题，再往后每天换上两道乘法题（3道除法2道乘法，有时也可以是乘法多点）这样在长时间的锻炼中保证了运算能力的提高。
二、设计练习要有层次性
练习的设计要有层次性，由易到难，循序渐进，这样符合学生的认知规律，使他们掌握新知也能得心应手。如我在教学乘法分配律时就先让学生练习一些能直接运用乘法分配律的题型如：125×（8+80），待到孩子们掌握的差不多了再选取一些乘法分配律逆用的题型如：35×198+65×198，在正用和逆用都能运用自如时再选一些变式题如：99×83、101×83、760×48+76×520，另外再安排一些拓展题如：72×26+27×26+26、35×68+66×68-68等等，这些题目的练习，由浅入深，在前面题目的专项练习中学生们都能掌握了乘法分配律的内涵，所以后面的变式和拓展题型对他们来说就充满了乐趣和吸引力，往往上完了一节课孩子们还意犹未尽，总有这样的声音：老师再出一些这样的题练练呗。当然，仅靠课堂上的时间还是有限的，所以我充分利用了中午的辅导时间，一般拣不同的题型出10道左右的简算题，提前写在黑板上，午饭后孩子们来到，看到有任务也会认真地完成作业，在一定程度上也稳定了班风，促使孩子们养成良好的学习习惯。还有每天晚上的5道题要出的有代表性有质量，必须要精，否则是起不到锻炼运算能力的作用的。
三、要及时的订正反馈
每天的练习要有时间批改，这样能及时地掌握孩子们的学习情况，发现问题，要看是某位同学的个别现象，还是全班大部分同学的共性，如是前者仅需个别辅导，要是后者一定要全班交流后及时订正。在一次次的批改订正中不断地发现问题解决问题。记得刚学减法的性质时多数同学在加括号和去括号时迷糊，弄不清什么时候要变号，有不少孩子出现这样的错误，如：546-（46+100）=546-46+100=500+100=600；655-75+25=655-（75+25）=655-100=555遇到这种大部分都错的情况一定要及时地去处理，告诉孩子们为什么错了，给他们讲清楚：在什么时候原来括号里的“+”去括号后要变成“-”；原来的“+”加上括号后要变成“-”。只有理解了才能更好地接受新知识。
二、原因分析
笔者通过对教材、教师和学生三个层面的调查与分析，发现了产生这些问题的一些主要原因。
1.教材层面
笔者首先翻阅了人教版四年级下册的教材，发现教材对于这部分内容在编排上具有相对集中的特点，知识趣味性不强，练习量又远远不够，不利于学生在短时间内理解和掌握，所以学生在第一次学习乘法分配律时不是很扎实。先入为主的错误学法，再加上小数、分数的存在，所以后面在学习小数乘法的简便运算和分数乘法的简便运算时，乘法分配律就成了学生的“老大难”问题。
2.教师层面
（1）重外形，缺内在。
大部分教师在教学乘法分配律时，将侧重点放在观察算式的外在形式上，淡化了内在算理的阐释，导致学生只会机械地记忆规律，不能理解规律的内涵本质。因此，学生运用乘法分配律时往往将括号外的数只乘括号内的一个数，出现如（32+48）×5=32×5+48、48×2+48=48×2+1、32×5+48×5=32+48×5等类型的错误。
（2）重灌输，缺建构。
大部分教师在教学乘法分配律时，往往受功利驱使，根本不顾学生已有的知识经验和知识的生长点，而是另起炉灶，强迫学生建“空中楼阁”——数学模型，即“硬逼”学生根据几个等式发现规律性的内容，概括出乘法分配律，时间稍长，这种暂时性的记忆必然消失。
（3）重练习，轻体验。
学生缺乏对知识的深层体验，即使运用题海战术，也很难达到熟能生巧的目的。
3.学生层面
（1）心理方面。
中、高年级学生的自尊心强，他们对于一些行为或心理问题会进行有目的的掩饰，当数学学习不好、回答问题或作业出错时，就会不懂装懂，回避困难。
（2）认知方面。
第一，感性积累少。对于加法、乘法的交换律和结合律，学生在正式学习之前就经常运用，积累了大量的感性经验，但学生在学习乘法分配律之前很少有这方面的感性积累与直接经验。尽管学生在学习笔算乘法时也曾用到过乘法分配律，但那时还处于无意识的状态。第二，内在算理混淆。乘法分配律的形式变化比较大，因为学生缺乏对乘法分配律内在算理的理解，所以乘法分配律一变式，学生就摸不着头脑了。如35×99+35、4.6×2.3+0.54×23、×55等，这些都是乘法分配律中常见的不完整结构的算式，学生由于不能深刻理解乘法分配律的算理，往往会无从下手。第三，自主体验缺失。课堂上学生只是从形式上感知了规律，未从实质上加以领悟。
三、教学对策
知惑而后解惑，方能对症下药。基于前面的原因分析，笔者认为，最终的源头还在于对数学本质的认识。所以，笔者提出了三个层次的教学策略来破解学生学习乘法分配律时的困难。
1.系统把握，注重前期渗透
前面笔者已经提到学习乘法分配律不能建空中楼阁，应该注重学生已有的知识经验，找到知识的生长点，经过同化和顺应，构建新的认知结构。那么，学生已有的知识经验、知识的生长点是什么呢？怎样构建新的认知结构呢？笔者认为学生已有的知识经验是“几个几加几个几等于几个几，几个几减几个几等于几个几”，因为在低年级学习乘法的意义后，后继教材中都有所孕伏、渗透。所以，我们在教学乘法分配律前，需要认真地研读教材的真正用意，系统地把握好教材，为学生的后继学习打好基础。
（1）充分理解乘法算式的意义。
在人教版第三册“7的乘法口诀”第79页练习题中有这样的题目：
在教学这一题时，教师不要只为计算而计算，需要最大限度地发挥练习题的多重功能。如“7×6+7”可以先让学生计算出结果，接着教师可提问：“除了这种方法，我们还可以怎样算呢？”有些学生可能会根据算式的意义“6个7连加后，再加一个7，就等于7个7，所以可以用7×7=49”来计算，这其实就是学习乘法分配律简便计算的基础。如果在计算这道题时，教师能让每个学生对乘法意义都理解到位，那到了四年级学习乘法分配律时，学生的困难就会大大减少。
（2）在具体情境中理解拆分。
人教版第六册“笔算乘法”第63页有这样一题：
在学习“两位数乘两位数笔算乘法”时，教师应引导学生关注把12拆分成“10+2”，明白24×12就是求2个24与10个24的和。学生有了把“一个数拆分成两个数相加的和”的经验积累，到了学习乘法分配律时就不会感觉那么困难了。
2.立足本质，促进意义建构
在简算教学中，教师结合教学内容，联系现实生活创设情境，能很好地让学生从数学活动中去体验，从数学与生活原型中寻求支点，有利于解决数学内容高度抽象性和小学生思维具体形象性之间的矛盾。这里的关键是创设怎样的情境和怎样利用这个情境。
（1）突出现实背景，为自主建构运算定律提供支点。
学生对计算方法的选定，更多的是依赖于生活实践中积累的真实想法与最自然化的理解。如：“天气变冷了，李阿姨到批发市场去批发衣服。看中一件上衣56元，一条裤子44元，如果她想批8套这样的衣服，一共要多少元？你可以用哪些方法解答？”面对这样的问题，学生出现56×8+44×8和（56+44）×8两种解决方法，然后教师组织学生对这两种方法进行分析比较。学生除了得出两种算法有相同的结果外，更重要的是还惊喜地发现当上衣、裤子的单价正好可以凑成整十、整百时，把它们先合起来再乘会更简便，从而得到了一种优化的解题方案。因此，教学中，教师需要创设一些情境来帮助学生真正从模仿走向理解。
（2）注重意义感悟，为自主建构运算定律打下基础。
如上述案例中，在学生得出56×8+44×8=（56+44）×8后，教师可趁热打铁地追问学生：“如果不计算，你能用以前学过的知识来解释这两种解法为什么相等吗？”接着以数形结合的思想，引导学生根据乘法意义来理解两种解法相等的算理。如：“学校扩建草坪（如右图），求扩建后的草坪面积。”在数形图的帮助下，学生明白8个56加8个44等于8个100（即56+44）的道理。在后继的练习中，教师有必要反复多样地呈现这样的情境，然后引导学生看着算式去思考，不断思考算式的本意。
（3）逐步抽象概括，为自主建构运算定律搭建模型。
如在上述教学的基础上，教师又安排了横向比较抽象、逐步符号抽象和新旧对比抽象的三次抽象活动。横向比较抽象（把例题中的“8套”改成“20套”，列成等式成立吗？为什么）脱离了具体数的抽象，从中引导学生初步总结出乘法分配律；逐步符号抽象（将“20套”改成“c套”，能列成等式吗？为什么？这里的c能表示哪些数？把“56元”改成“a元”，把“44元”改成“b元”，等式怎么变）脱离了具体情境的抽象，从中引导学生进一步感悟乘法分配律的特征，并得到乘法分配律的字母表达式；新旧对比抽象（“a+b”在这里表示一套衣服的价钱，除此之外，还能表示哪些数量？沟通旧知“速度和”“长宽和”等与新知间的联系）脱离了具体数和具体情境的抽象，从中引导学生在沟通中完善关于运算定律的认知结构，并进一步加强对乘法分配律特征的认识。乘法分配律模型的建构，在以上三次抽象的过程中自然生成了。
特别要强调的是，教师在引导学发现、总结运算定律时，不能只重视结论的得出，而忽略探究的过程。教师要给学生留出自主探索的时空，让学生运用已有经验，在合作与交流中，把对乘法分配律的认识由感性逐步发展到理性，合理地建构知识。学生只有经过自己的观察、验证后，才会对乘法分配律有实实在在的体验和理解。关于学生对乘法分配律的口头表述，教师不要提过高的要求，学生只要能抓住要领，基本讲清楚就可以了。
3.后期延伸，提高简算意识
学习乘法分配律的最终落脚点不在于对内涵本质的理解，在于运用乘法分配律进行简便运算，而简便计算教学的落脚点又在于使学生形成自觉计算的意识和能力。
（1）理解为本，强化对比性。
学完了运算律（苏教版教材四年级下册），进行单元复习时，整理与练习中有这样一道习题：
办公室一位上了年纪的教师笑着说：“真好笑！班里有一半学生不会举例，但能熟练地用字母来表示运算定律。”她的说法立即得到了另一位教师的应和。从对话中，可以看出他们对学生学习中出现这一“奇怪”现象的不解，他们认为学生会用字母表示定律，而不会举例说明，是“死学习”、学“死知识”的表现。刚好，这一节复习课笔者还没有上，于是，带着测试的目的，笔者让学生独立完成作业，根据题目要求，先举例后写运算定律。结果，95%以上的学生都能正确举例。笔者又了解了同轨班中其他班级的情况，结果发现班与班之间在这一点上相差很大。
【反思】
同是平行班，学生的学情基本一致，教学进度也一致，为什么会出现这样大的差异呢？毫无疑问，问题一定是出现在教学上。在一次市级赛课中，听了一位薛老师执教的“运算律”，让笔者眼前一亮，受益颇多。薛老师在这节课中除了打破原有教材的编排体系，将加法交换律与乘法交换律合并为一课时教学外，最主要的还是将两条运算定律的形成过程演绎得生动而不乏思维、有趣而不缺思考。这两条运算定律比较简单，学生凭借自己已有的知识经验就能“直觉”出它的正确性，但薛老师并没有简单地与学生一起“认同”，而是与学生从简单的实例学起，沿着实例―猜想―验证―结论展开教学活动，引导学生用数学的思维质疑熟悉的“事实”，用数学的严谨验证猜想的结论。在此基础上，再经过结论―联想―验证―新结论的学习过程，拓展对定律的认识与理解。整个教学过程，学生的思维显得严谨、有序、灵活、开放。一条简单的结论，一份精心的设计，演绎成一场热烈的互动，师生一起深度经历了发现、观察、比较、猜想、举例、验证、质疑、归纳、类比、抽象等数学思维过程，最终逐层推进、抽丝剥茧，得出一致性的结论。学生从中收获的不仅仅是两条运算定律，还有数学的思维方法、踏实的研究态度、严密的推论过程和敢于质疑、敢于猜想的科学精神。学生的学习活动似乎少了些题量练习，解题还不够熟练，但面对自己不熟悉的问题，学生学会了从知识的本源去思考、寻找解决问题的方法。一句话，学生获得了“渔”的能力。自此以后，笔者在教学这部分知识时，总是借鉴薛老师的做法，带领学生充分经历定律的探究过程，放手让学生自主举例、自主验证、自主归纳，注重学生对定律算理的理解，而不再计较一式一题的熟练解答。
对照薛老师的教学，不难发现，我们在教学运算律这部分内容时有“急功近利”的思想，导致教学中出现“三轻三重”的现象。
1.轻过程，重练习
运算律这一单元共学习五条最基本的运算定律，虽然教材编排时都突出了定律由实例―猜想―验证―结论的探索过程，可很多教师认为定律没有什么可讲的，这些结论的得出显而易见，只要学生会运用就可以。更何况，带领学生一起经历定律的“推论”与“证明”过程，需要学生思维的高度参与，而持续的抽象思维与及时、有效的学习调控，使学生保持高昂的学习热情，对教师的教与学生的学都是一种挑战。因此，教师在教学时常常简化定律的探究与发现过程，将教学重点放在定律的练习与运用上。这样做从一节课的得失来看，教学效果不错，学生往往能很快掌握相应题型的简便计算。可及至学完了几条运算定律，多种简算题型混杂在一起的时候，教学的不足就会凸现出来，学生往往不知道根据何种运算定律去简算，或者会对“熟悉”的运算式题作出违反算理的“简算”方法，缺少对题目的理性思考与分析。
2.轻算理，重模仿
学习数学需要理解，其中数学算理的学习是重点。由于运算律可以有效地丰富学生解决有关计算问题的策略，使计算方法更简便、更灵活，所以教学时教师多关注如何进行简便计算，强调简算形式，而对运算定律算理的理解重视不够，导致学生在具体简算时缺乏算理的指导。例如很多教师在讲解乘法分配律时，常借助画线的方式来帮助学生记忆：一个数与两个数分别相乘，再将所得的结果相加。学生模仿着做题时常会出现：第一步计算用一个数去分别乘另两个数，再相加，第二步又回到原题上来――用这个数去乘另两个数的和，还有的学生在应用乘法分配律进行简算时经常出现漏乘的现象。出现这些问题的原因就是学生不清楚乘法分配律的算理意义，学生做题只是在形式上进行模仿。轻算理重模仿的另一种表现就是：学生缺失运用自己的语言叙述或者解释运算定律的能力。还以乘法分配律为例，教材例题无论是情境的创设还是数据的选择，都意在引导学生从乘法的意义角度去理解乘法分配律，使学生明白先加后乘或者先乘后加是缘于简算的需要，其结果都是求相同多个因数的和。理解了这点，学生在依据乘法分配律进行简算时就能有效地减少一些非理性的行为。
3.轻联系，重记忆
每一条运算律的呈现都是联系生活实例展开的，借助于生活内容帮助学生理解，学生再由感性认识抽象成形式化的数学结论。很多教师在学生得出算式后，仅引导学生观察等式，说出数字之间的位置关系，而不再或很少联系实例内容去理解等式的合理性，导致学生仅记忆定律形式上的表达，而缺乏对定律内在联系的探究。学会用字母表示定律后，有些教师甚至安排时间让学生去背诵运算定律，而舍不得花时间让学生联系自己已有的生活经验去举例说明。再有，在学习运算律之前，教材已经为此作了许多知识上的渗透与铺垫，可有些教师在教学时，没有注意引导学生沟通新旧知识间的联系，帮助学生形成完善的知识结构，致使学生不能灵活应用知识。其实，打通知识间的联系，是学生将外在知识内化为自己内在知识的表现，它促进了学生对所学知识的透彻理解。
【感悟】
新课程标准颁布以来，虽然新课程理念已吹遍每一位教师的心田，但教师对新课程理念的认知程度不一，有些教师多年养成的教学习惯，使他们还在沿袭原有的教学传统，有些教师为了体现新理念的教学要求，在教学方法与组织形式上作了一些改变，在流程设计上作了一些安排，但往往有名无实，没有将对学生终身发展有益的、隐形的数学能力培养真正落到实处，导致学生数学学习显得僵化，不够灵活。
1. 约分后遗症（约不清、漏数）。
分数计算中，最常见的是约分导致错误结果。有的结果没约成最简分数或整数（如图1所示）；有的约分没结束，最后结果不是最简分数（如图2所示）；还有的学生约分后相乘时漏看数，或看错符号（如图3～5所示）。这些错误都是约分引起的错误，我们姑且称这样的计算错误叫“约分后遗症”。
这些错误不容小觑，从错误中可以读出学生的学习情感欠专注，书写缺乏耐心。
2. 草木皆是兵（加减全来乘）。
有部分学生，知道乘法的计算方法，但在计算过程中，算着算着，就云里雾里的，把加减法当乘法计算，从而在计算过程中进行约分，导致结果错误。
■-■÷■+■=■-■×■+■=■-■+■=■
-■+■=■
3. 乱点鸳鸯谱（按自己的“法则”算）。
六年级学生把整数、小数中的运算律和运算性质直接迁移到六年级的分数计算中，本应是很简单的事情，但学生出现的下列错误，真让人大跌眼镜，足以暴露出知识点间的交接存在遗漏。看这些学生的思考与做法。
有少数学生，在头脑中形成的知识结构中，没有建立乘法分配律的数学模型，只是主观臆断，看哪几个数凑起来好算，无视算法与算理，按自己的意愿硬凑到一起。
4. 算理没弄明（无视运算顺序）。
有位学生计算■+■×■时，很快算出结果是■。
师：你是怎样计算的？
生：因为■+■=1，所以先算■+■=1，再算1×■=■。
师：这道算式有加法和乘法，你觉得先算哪一步？
生：乘法！
师：那为什么你先算加法了？
生：因为正好得1，就当成乘法分配律算了
师：这题应怎么变化一下，就可以用乘法分配律计算了？
生：当算式是“■×■+■×■”时，才可以用乘法分配律。
类似的例子还有很多，如下：
5. 口算基础差。
还有少部分人，对简单的分数计算问题，明明可以唾手成功，但却在非常简单的口算中出错，例如：21-21×（■-■）=21-21×■=21-3=19。
纵观上述列举的问题，分析学生的个体因素，可归纳为三大原因：能力问题——不会算；态度问题——不想算；精确问题——算不准。此三大原因又可以合并成一个问题，即运算能力的培养。《义务教育数学课程标准（2011）》（以下简称《课程标准》）明确提出了应该培养的学习习惯是认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑。如何让计算问题来个华丽转身？这是我们一线数学教师翘首以盼的答案。笔者从分析中采取了一些措施，作了一些尝试，收到了非常明显的效果，期待与大家进一步分享与商榷。
1. 积累计算经验，引导“推理”与“迁移”。
从计算现状看，学生的知识链断链严重，身为六年级的数学教师，就要采取补救措施。特别是对“加法交换律a+b=b+a” “加法结合律（a+b）+c=a+（b+c）”“乘法交换律a×b=b×a”“乘法结合律（a×b）×c=a×（b×c）”“乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c”“减法基本性质a-b-c=a-（b+c）”“商不变规律a÷b=（a÷c）÷（b÷c）或a÷b=（a×c）÷（b×c）（b，c≠0）”“积不变规律a×b=（a×c）×（b÷c）（c≠0）”等系统地比较和梳理，在脑中构建算理算法。一窍通，百窍同，算理掌握牢了，才能保证整数、分数、小数等计算的正确性。在四、五、六年级的交接中，教师要清楚教材的编写系统，了解学生的认知结构，恰当引导推理，让整数计算方法作为基本的学习经验，推理出小数的计算方法；到六年级，再把整数与小数的算理算法作为基本的学习经验，迁移到分数的计算学习中，从而形成良性循环。这是“曲突徙薪”的第一步。
2.强化学习数感，培养“会算”与“算对”。
“算什么？”“怎么算？”“为什么？”这是计算教学面临的三大问题。张丹教授指出：运算能力首先是会算和算正确，而会算不是死记硬背，要理解运算的道理，还要寻求合理简洁的运算途径解决问题等。如此看来，制定切实可行的训练计划是必不可少的。正因为教学中缺乏对计算知识的理解和训练，才造成计算能力普遍下降。掌握了算理算法后，进行定期的训练是必不可少的。所以，每节课的课前五分钟，要进行简单的口算、简算、估算等训练，每天晚上布置10道计算题，可以是四则混合运算、连乘、连除、简算等，其中包括方程的训练。还可以把典型的计算题形成题库发到学生手中，每天请家长配合训练检查其中10道。这样在练习中就能有意识地培养学生的数感。《课程标准》给数感赋予了更深的内涵，指出对数的感悟包括三个方面：数与数量、数量关系以及运算结果的估计。因此，应把数感培养放在教学的首要地位。“会算”关注了学生的学习过程，“算对”关注了学习的结果，让学习过程与学习结果并重，才是优质学习的保障。这是“曲突徙薪”的第二步。
3. 坚持积极评价，促进“速算”与“优算”。
速算与优算是我们计算教学的追求和目标。训练时，我们要做好定性评价与定量评价相结合，如开展班级内、年级间的“计算小能手”比赛，以赛带学，以赛促练；在批改作业时，尽量面批，多静下心来听听学生是怎么想的，这是对学生的一种尊重，也是寻找错因的最好途径；坚持激励性评语，“你的方法真好，能与大家分享一下吗？”“恭喜你全对，如果能再快一些就更棒了！”让学生充满学习的自信， 有目标、有兴趣、有动力。这是“曲突徙薪”的第三步。
计算能力提高了，数学学习颇有“提领而顿，百毛皆顺”之感。故想到补救“亡羊补牢”之计——“曲突徙薪”。