高中数学复习课例题设置的思考

数学复习课以系统复习所学知识为主要任务，把平时所学的局部的、分散的知识纵横联系，使之系统化、结构化。使学生进一步明确各部分内容的地位与作用，加深理解各部分内容之间的内在联系，以此达到螺旋上升的目的。

与新授课不同，复习课采用的数学教学内容需要教师根据学生的学习情况，自主进行遴选和组织，而例题的安排，常常出现漫无目的和随意设置，造成复习教学低效的现象。因此，精选数学复习课典型例题是一项十分重要的工作，对帮助学生查漏补缺、揭示解题规律、总结解题方法、提高数学能力具有重要意义。下面以江苏教育出版社出版的高中数学必修2中单元复习课“直线与方程的单元复习”为例，侧重于例题的教学功能，谈谈高中数学复习课例题设置的思考。

一、夯实基础，突出“巩固”功能

数学复习课教学的例题设置首先要依“标”靠“本”，注重基础，教师在选择例题时，依然要紧抓基础知识复习与基本技能训练，加深学生对知识的理解与掌握。同时要突出重点，提高针对性，注意学生的薄弱环节，紧扣知识的易混点、易错点设计例题，突出巩固功能，做到有的放矢，对症下药。

例1.求直线方程：

（1）过点P（3，1），且在两坐标轴上截距相等；

（2）与直线2x+5y-1=0垂直，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5。

说明：“直线与方程”单元的教学内容包括：“直线的斜率”、“直线的方程”、“两条直线的平行与垂直”、“两条直线的交点”、“平面上两点之间的距离”、“点到直线的距离”六节，其中“直线的方程”和“两条直线的平行与垂直”是本单元的重点内容，也是平面解析几何的基础。设置例1的目的，一是复习巩固这部分知识内容，二是求解例1时，例1（1）、（2）都有两种不同情况，是学生学习中的易错点和易混点。例1（1）中，设所求直线方程时要分过原点的y=kx和不过原点的■+■=1（a≠0）两种情况；例1（2）中，可设所求直线方程为5x-2y+m=0，求出其在两坐标轴上的截距，再利用三角形的面积公式列出方程求解。

本例的教学形式可以采用先学生自主练习，然后学生板演或用实物投影仪展示，也可以先让学生自主练习，然后教师巡视、巡批。

二、强化规范，提高“示范”功能

复习教学的例题设置要进一步强化示范功能，提高规范性，这里主要包括数学语言的规范表达、数学推理步步有据、解题步骤规范有序、书写结构合理完整等方面。使学生解题时能做到：想明白、写清楚、算准确。摒弃语言书写不当、解题过程跳步或繁杂、分析过程杂乱等不规范的解题情况。

例2.直线l与直线3x+4y+1=0平行且距离为4，求直线l的方程。

说明：在本例的求解过程中，可以先用待定系数法设直线l的方程，然后在已知直线上取一点，再利用点到直线的距离公式列出方程求解。因此在本例中，可以体现步步有据的推理，规范有序的解题步骤和书写格式如下。

解：因为直线l与直线3x+4y+1=0平行，

所以可设直线l的方程为3x+4y+m=0.

在直线3x+4y+1=0取点A（1，-1）.

因为直线l与直线3x+4y+1=0的距离为4，

所以点A到直线3x+4y+m=0的距离为4.

所以■=|4|.

解得m=-19或m=21.

所以直线l的方程为3x+4y-19=0或3x+4y+21=0.

本例的教学形式可以是学生自主练习后板演或者学生说解题思路，教师板演。此外本例也可利用两平行直线间的距离公式求解。

三、举一反三，凸显“通法”功能

复习课的例题设置要揭示典型的数学解题方法，突出规律性。这样才能引导学生从数学思想方法的层面，去分析问题、解决问题，进一步认识其内在的特点和规律，以点带面、举一反三，真正通晓数学思想方法。这里的方法不仅有平面解析几何中用代数方程表达几何问题的方法、待定系数法等常用的一般方法，还有解决一些特定类型问题的具体的特殊方法，例如在解决一些直线之间对称问题过程中的转化化归的方法等。复习课的通法功能更多的是对一类方法的提炼、概括和总结。

例3.如图1，在ABC中，∠C的平分线所在的直线l的方程为y=2x，若点A，B的坐标分别是A（-4，2），B（3，1）.求点C的坐标，并判断ABC的现状。

说明：本例中，因为ABC中∠C的平分线为y=2x，所以点A关于直线y=2x的对称点A'在直线BC上。设点A'的坐标为（x1，y1），则由AA'的中点在直线l上，及kl·kAA'=-1，便可求出点A'的坐标。

于是可求出直线BC的方程，同理可求出直线AC的方程。继而可求点C的坐标，并可判断ABC的现状。

图1

本例中采用的一个重要方法就是将直线与直线之间的对称关系转化为点与点之间的对称关系求解。这类问题还有很多，教学时可以根据学生的情况，选用不同的例题。

例4.如果直线l与l1：x+2y-3=0关于点（0，-1）对称，求直线l的方程。

例5.已知光线通过点A（-2，3），经x轴反射，其反射光线通过点B（1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程。

例6.在ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0，角A的平分线所在直线的方程为y=0，如果点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标。

说明：例4、例5、例6都是直线与直线关于点的对称问题。例4中，只要在l1上取两个点，求出这两个点关于点（0，-1）对称的点，便可求出直线l的方程；例5中，求出点A、点B关于x轴的对称点，便可求出入射光线和反射光线所在直线的方程；例6中，直线x-2y+1=0与直线y=0的交点为点A，求出点B关于直线y=0的对称点B'的坐标，则可求出直线AC的方程，由BC边上的高线的方程及点B的坐标，可以求出直线BC的方程，继而可求点C的坐标。

这类例题的教学形式，可以采用师生交流解决问题的方法，然后由学生自主完成，概括提炼方法。

四、拓展延伸，渗透“探究”功能

复习课的例题设置要有弹性，要关注不同学生的数学学习需要，要根据不同的内容目标、学生的知识背景和数学活动经验，给学生留下延伸、拓展的空间和时间，从而加深学生对知识的理解、运用、延续和深化，使之成为培养学生思维能力的有效载体，使每一位学生都得到应有的发展。基于此，教师要善于提出适合学生的有一定思维价值、有探索性和挑战性的问题，并在教学中加大学生的参与度，提高学生的探究能力。

例7.过点P（3，0）作直线l，使它被两相交直线2x-y-2=0和x+y+3=0所截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程。

说明：本例中，如果直线l垂直于x轴，可得直线l与直线2x-y-2=0和x+y+3=0所截得的线段不被点P平分，所以直线l不垂直于x轴。如果设直线l的方程为y=k（x-3）（k≠0），分别求出直线l与直线2x-y-2=0和x+y+3=0的交点，再利用所截得的线段被点P平分，列出方程求解。此种解法运算量很大，因此作为单元复习课，可以引导学生探究新的解题途径，例如，分别设直线l与直线2x-y-2=0和x+y+3=0的交点为A（a，2a-2）、B（b，b+3），再利用点P是线段AB的中点求解。

本例的教学形式，可以采用师生共同探讨解题思路，然后由学生尝试解决。

总之，高中数学复习课的例题设置，除了要思考内容、形式、教学方法外，更要关注学情，从问题出发，精心设置复习课例题，重视发挥例题的教学功能，并且通过例题教学，提高数学复习课教学效益，使学生在原有基础上得到较快发展。