函数思想在数学规律中的应用

摘 要：函数思想作为数学四大基本思想之一，其价值贯穿于整个数学学习过程，对拓展学生思维，提高学生的解题效率起着非常重要的作用。而在有关数学规律的相关试题的解答中，函数思想的应用则是其有效解题的重要方法之一。因此，从函数思想在代数规律和平面图形规律两个方面入手，以为学生解题效率的提高打下坚实的基础。

关键词：函数思想；数学规律；代数规律；平面图形规律

近年来，找规律的题目越来越多地出现在中考试卷当中，当然，也越来越受到重视。因此，本文就从函数思想在代数规律中的应用和函数思想在平面图形规律中的应用进行简单概述，以逐步提高学生的解题效率。

一、函数在代数规律中的应用

代数是初中数学的重要内容，也是数学规律试题中常见的试题。在代数规律试题的解答过程中，首先也是最主要的步骤就是观察，一般是根据数据的个数来判断是选择用一次函数还是二次函数又或者是反比例函数等，总之，观察是最重要的，也是直接影响学生是否能顺利解决问题的关键。因此，本文就从所给出的数据增幅程度来进行简单概述。

1.增幅相等

例1.23，45，67，89…，求第50位数是多少。

分析上面所列出的数字之间的关系，仔细分析不难看出，属于等幅度增加的代数规律题目。所以，在解答的过程中，我们就可以渗透函数思想，将第x的数据设为y，即会出现：

当x=1时，y=23

当x=2时，y=45

当x=3时，y=67

……

通过观察我们可以将y=ax+b的一次函数式。将x=1，y=23；x=2，y=45带入，求解方程组，即23=a+b45=2a+b

解得：a=22，b=1，即y=22x+1

所以，第50位数应为1101

从这个过程来看，在增幅相等的数学规律中，一般情况下我们都是可以将其设为一次函数的。因为对于增幅相等的数学规律来说其本质考查的是等差数列（an=a1+（n-1）d）的相关知识。但是，因为初中阶段并没有涉及数列的相关知识，所以，在解答该题的过程中，我们只能用函数思想来进行解答。

2.增幅不等

例2.给定下面一列分式： ；- ； ；- …（其中x≠0）

（1）把任意一个分式除以前面的一个分式，你发现了什么规律？

（2）根据所发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式。

该题是2007年杭州中考数学试卷中的一道试题，但是，确实是增幅不等的数学规律中的具有代表性的试题。

分析：根据试题中的提示，把任意一个分式除以前面的一个分式，我们可以轻松地发现，相除后的结果都是：- 接着，分析数据，设分式中第t个数为g，则有：

当t=1时，g=

当t=2时，g=-

当t=3时，g=

……

该题并不能像上题一样看成一次函数，所以，从观察可以看出，我们可以将其设为g=aqt

和上题一样将当t=1时，g= ；当t=2时，g=- 通过解方程组得出a=-x；g=- 这样就可以得出本题的规律，即g=-x（- ）t可以看出这是一道关于t和g之间的指数函数关系。

其实，该题中的增幅恰好是高中所学的等比数列的相关知识，所以，类似这样的相除可以得到规律的试题都可以这样找规律，但是，并不是所有的增幅不等的数学规律都可以设为这样的函数的。比如：1，9，25，49，（ ），（ ）…类似这样的要用公

式法。

总之，在代数规律的应用中，具体的找规律的方法要因题而异，切记出现所有的试题都用同种方法的现象，这样只会在考试中浪费时间。

二、函数在平面图形规律中的应用

平面图形规律题相对于代数规律题要存在一定的难度，主要是因为学生必须要将相关的平面图转化成代数式，这样才能在观察中找到规律，才能借助函数思想来提高解题效率。

1.铺地板

铺地板类型的找规律试题是我们最常见的，所以，在解题的过程中，我们要引导学生掌握解决这类试题的基本思路，进而，在学生不断练习中逐步提高学习效率。

例3.用相同规格大小的黑白色正方形瓷砖铺设矩形地面，如图，请问，第n个图形中需要用黑色瓷砖多少块。

分析：在该题的解答过程中，我们首先要分析题目中所给出的三个图，并找到图形的个数与黑色正方形之间的关系。此时，我们就可以将第n个图形设为x，将所用的黑色瓷砖设为y。从图中可以得出：当x=1时，y=8

当x=2时，y=12

当x=3时，y=16

……

如果依旧看不出之间的规律的话，学生可以自主再画几个图形，进行分析观察，比如：当x=4时，y=20等，接着，分析数据之间的关系。从y的数据中分析，该题属于增幅相等的试题，也就是说，我们可以将y与x之间的关系设为一次函数，即y=ax+b任选其中的两组数据，解得：a=4，b=4

这样就可以求出x与y之间的关系，即为y=4x+4，所以，也非常容易求出第n个图形中应该用4n+4块黑色瓷砖。

2.圆点题

例4.观察下图，分析第n个图形中所有圆点的个数应该是多少。

分析：该题属于图形变化类的规律题，和上题一样，我们首先应该观察图形，将其中的代数关系找出来。仔细分析，在第一个图中有4个圆点，在第二个图中有9个圆点，第3个图中有16个……如果我们将第几个图设为x，将圆点数设为y，则存在下面的关系，即

当x=1，y=4=1+3

当x=2，y=9=1+3+5

当x=3，y=16=1+3+5+7

……

从数据之间的关系可以看出，和例1与例2的关系都是不一样的，所以，不能将x与y的关系设为一次函数或者是指数函数。此时，不妨我们可以将其设为二次函数试一下。即y=ax2+bx+c并将上述的三组数据带入，列方程组进行求解，不难求出a=1，b=2，c=1即y=x2+2x+1，此时进行验证，根据上面的三个图，手动画出第4个图和第5个图，然后进行验证，这样就能非常轻松地得到答案。

通过上述的几个试题分析我们可以看出，函数思想在初中阶段的数学规律试题中的作用是不可替代的。但是，需要注意的是，数学思想在具有规律性的试题中的应用需要学生不断地练习，这样才能很快找到其中的规律，才能真正提高数学解题效率。

作者简介：郑卫强，男，1981年6月出生，本科，就职于浙江省杭州市余杭区崇贤中学，研究方向：如何使有限知识在应试中发挥最大功能。