利用函数知识巧解探索规律问题

【摘要】规律探究问题也是归纳猜想型问题，此题型一直是让学生比较头痛的一类题型。解决这类问题要求学生具有一定的观察、归纳、比较、猜想、论证等能力，从函数的角度去研究可能会使问题更容易解决。

【关键词】规律探究；函数

规律探究问题也是归纳猜想型问题，解决这类问题要求学生具有一定的观察、归纳、比较、猜想、论证等能力。此题型一直是让学生比较头痛的一类题型。但如果从函数的角度来研究，可能会使问题更容易解决，求解的步骤可以归纳为：①确定自变量和因变量，并列出表格填上这些变量的对应值。②通过对应值发现对应关系，试列出函数解析式，或者在坐标系画出函数图像(散点图)，猜想是什么类型的函数，并用待定系数法求得函数解析式。③验证并化简得到的函数解析式，得到规律。

一、当相邻两数的差为一定值时，考虑用一次函数

例1、如图所示：每张长桌单独摆放可坐6人(如图1)，并排摆放两张长桌可坐10人（如图2）,若按这种方式摆放3张长桌可坐14人（如图3），按这种方式摆放n张长桌可坐( )人 。

图1图2 图3

解析：（1）由题意可知：每个图中的人数随着图形的序号的变化而变化，可以推测图形序号为自变量，人数为因变量。列表：

图形编号n 1 2 3 …

人数个数S 6 10 14 …

（2）由表可知相邻两个图形人数的差为定值4，由此可设s＝kn＋b，把n=1, s=6; n=2, s=10 代入, { k＋b＝6 得 {k=4

2k＋b＝10b=2

所以函数解析式为：s＝4n+2

（3）验证：将n＝3，s＝14代入，解析式成立。

即按这种方式摆放n张长桌可坐 (4n+2)个人

二、当相邻两数的差为一组连续自然数、连续奇数、连续偶数等组连续有规律的数时，考虑用二次函数

例2、图1是棱长为1的小正方体，图2、图3由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层、…、第n层，第n层的小正方体的个数S为（）。

解析：（1）由题意可知：小正方体的个数随层数的变化而变化，图形的层数n为自变量，小正方体的个数S为因变量，列表得

图形的层数n 1 2 3 4 …

小正方体的个数S 1 3 6 10 …

（2）由表可知；层数n依次增加时，小正方体的个数S相邻两数的差为一组连续自然数，故可考虑用二次函数。

由此可设s＝an2＋bn+c，把n=1, s=1; n=2, s=3; n=3, s=6;

a+b+c=1 a= 1-2

代入 {4a＋2b+c=3解得{b= 1-2

9a＋3b+c=6 c= 0

所以s＝ 1-2 n2＋ 1-2 n

（3）验证：当n＝4时，s＝10代入，解析式成立。

即第n层的小正方体的个数为（ 1-2 n2+ 1-2 n）个。

三、当自变量与因变量的积为一常数时，考虑用反比例函数

例3、资料显示,近视眼镜的度数Y(度)与镜片焦距X(米)的关系如下表所示：

镜片焦距X(米) 1 0.5 1- 3 0.25 …

眼镜度数Y(度) 100 200 300 400 …

这张表是怎样刻画近视眼镜的度数Y(度)与镜片焦距X(米)之间的变化规律的，用一个表达式表示出来是（）

解析：（1）由表可知眼镜度数随着镜片焦距的变化而变化，镜片焦距X为自变量，近视眼镜的度数Y为因变量，且自变量与因变量乘积为一个常数100，所以可以考虑用反比例函数。

由此可设y= K-x , 把x=1,y=100 代入，得： k=100,

所以解析式为：y= 100-x

（2）验证：当x＝0.5，y＝200时代入成立,其它值代入也成立。

所以，表达式为y= 100-x

对于探究数形结合规律的题目，如果从函数的角度来考虑，往往使问题更容易解决。