开发作业宝藏 提高教学效果

摘 要：作业是巩固知识的一个重要环节，本文从五个方面阐述了充分开发作业里的“宝藏”，不仅能培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，而且对形成系统化的知识网络及提高教学效果也大有益裨．

关键词：作业；开发；课堂教学

《普通高中数学课程标准（实验）》指出，教师应根据不同的内容目标及学生的实际情况，给学生留下延伸、拓展的空间和时间． 在教学过程中，作业是巩固知识的一个重要环节． 除此以外，我们还可以在课堂引入、知识发现、课堂小结等中，对练习进行精心设计，充分开发作业里的“宝藏”，不仅能加深对概念、公式、定理的理解，而且能培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，对形成系统化的知识网络及提高教学效果也大有益裨．

■课堂引入从作业中来

课堂引入很难，特别是上公开课，上课者普遍对课堂引入颇伤脑筋． 在创设情境上，现在颇流行从学科知识内在的发生发展的矛盾中引入课题，数学知识间存在着逻辑的联系，往往上位知识是为下位知识服务的，弄清这点，我们大可不必为如何创设情境而伤神，因为学生的学习是一个连续过程，只需将作业适当编排，从而可以设计发现问题的情境．

案例1：人教版必修1 “正弦定理作业设计”

1． 在ABC中，已知下列条件，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）．

（1）A=70°，C=30°，c=20 cm；

（2）A=34°，C=56°，c=68 cm.

2． 在ABC中，已知下列条件，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）．

（1）b=26 cm，c=15 cm，C=23°；

（2）a=15 cm，b=10 cm，A=60°；

（3）b=40 cm，c=20 cm，C=25°.

3． 在ABC中，如果有性质acosA=bcosB，试问这个三角形的形状有什么特点？

4． （试一试）在ABC中，如果已知b=26 cm，c=15 cm，A=23°，你能解这个三角形吗？

以上前三题来源于人教社出版的必修5第10页，第一题题意是在ABC中，已知两角及其一边解三角形，第二题题意是在ABC中，已知两边及其一边的对角解三角形，学生在尝试做第4题发现不容易解决，就有一个先行组织者：在三角形中，刻画边角关系除了正弦定理，还有其他定理． 学生会对解决这个问题怀有强烈的兴趣，会持续关注三角形中的边角关系． 第二天教师对学生的错题进行讲解，而对潜伏在作业中的问题完全可以充当引入课题《余弦定理》的“爆发点”．

■知识发现从作业中来

高中数学知识全部由探究发现得到是不现实的，而实现局部探究是现实可行的． 创设问题链不失为一种好方法，还有一种更为便捷的方法，即把要展示的数学结论埋在课堂练习中，师生一起将数学的本质归纳、挖掘、整理． 按照建构主义观点，所有知识要经“同化”和“顺应”，主动告诉学生不如让学生自己主动去发现，这样建构起来的知识才牢固、深化．

案例2：人教版必修1“《对数（一）》”课堂巩固练习设计

求下列对数的值：

①log28，②lg1，③ln1，④log525，⑤log■16，⑥lg100，⑦lne，⑧log24，⑨log5■，⑩log■■．

在平常的教学中，我们无法做到每节课都以探究形式讲授新知识，但是我们可以做到局部探究，以上课堂巩固作业设计使学生紧紧抓住对数运算是指数运算的逆运算这一实质，重视指数式与对数式的互化，通过教师的引导点拨和学生的思考练习，使学生理解和掌握对数的概念及本质，在学生完成课堂练习后，要指导学生进行反思，从练习中归纳出规律性结论：

对数的两条性质：“1的对数为0”和“底的对数为1”

及其两个对数恒等式：①logaan=n（a>0，a≠1）；②a■=b（a>0，a≠1）．

■课堂小结从编拟作业中来

在每节课教学即将结束时，教师引导学生把一节课的知识和主要内容做提纲挈领式的总结，然而这一教学环节往往流于形式，常见是将小结任务抛给学生：“同学们，你们对本节课有什么收获啊？”学生七嘴八舌发言后，教师加以总结，然后将“数形结合、函数与方程、转化与化归、分类讨论”四大思想方法加以提高． 殊不知此类总结放之四海而皆准，而学生真正收获多少还是一个疑问．其实在课堂小结环节让学生编作业就是一种行之有效的方法．

案例3：人教版必修5“基本不等式■≤■”学生编写的作业部分摘录

在本节课接近尾声时，学生对基本不等式有初步了解，在课堂小结中若就对均值定理的应用三大条件“一正、二定、三等号”重复一遍，则丝毫看不出学生对知识的深度理解． 此时最好的方法就是还课堂于学生，让学生就本节课所学新知识编拟作业，学生一定会兴趣高涨，选择质量好的作为当天作业． 真正做到“我的作业我做主”，以下就是学生编写的作业部分摘录：

①当x>0，求f（x）=x+■的最小值；

②当x

③当x>3，求f（x）=x+■的最小值；

④当x∈（0，π），求sinx+■的最小值．

学生在编写作业①就是要在使用均值定理中的所谓“正”，即要求参与应用的数或代数式是正数这一要求，这在该编拟题中体现出来． 参与的式子结构的和或积要为定值，如果达不到这一要求，就有改造题目的需要，比如在③中对题目进行f（x）=x+■=（x－3）+■+3变形． 学生能设计出作业④说明其已明白在均值定理中等号成立的条件，在该式中利用均值定理求最值显然无能为力，而应求助于学生熟知的“耐克函数”：f（x）=x+■的单调性进行求解．

■体验感悟从作业中来

波利亚曾说，掌握数学意味着学会解题． 复习课实质是要将数学知识转化为如何解题的“催化课”，不能将知识与能力简单地割裂开来． 复习的目的是为了更好地梳理知识，并要求在学生认知规律的基础上，用科学的方法和计划，将学生脑中的不成熟的、不成系统的知识进行内化和提升；使学生知识由薄到厚，再由厚到薄，最后又变为厚；以知识为载体，提升能力为目的，在解题中体验方法、经历困惑、迷茫到豁然开朗，从而使学生体会到数学学科的本质――理性精神． 老师们更应在如何上好复习课中倾注更多心血，力求复习课上出新花样，上出精彩来，从而帮助学生形成系统的数学学科知识，具有在不同问题情境中解决问题的能力，从而真正做到轻负高效．

案例4：“求参数取值范围的复习课”例题、练习题设计

上课之初：教师板书（2011年浙江理科第22题）

设函数f（x）=（x－a）2lnx，a∈R ．

（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e］，恒有f（x）≤4e2成立．

（先让学生思考酝酿，教师在课堂里巡视，等教室里有轻微骚动声时，接着教师与学生共同应对第2问）

由于x∈（0，3e］时，lnx>0，故问题可以参数分离为：x－■≤a≤x+■恒成立，则只要求函数g（x）=x－■（1

课堂作业：（2006年全国卷Ⅱ理科第20题）

设函数f（x）=（x+1）ln（x+1），若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围． 让学生尝试完成，学生纷纷利用参数分离法进行求解，显然当x=0时，不等式f（x）≥ax对任意的实数a恒成立，故只要保证对所有x>0，不等式f（x）≥ax恒成立即可，即a≤■对任意的x>0恒成立．

令g（x）=■=■，x>0，则a≤［g（x）］min，由于g′（x）=■，令h（x）=x－ln（1+x），x>0，则h′（x）=1－■>0，则h（x）在（0，+∞）上单调递增，则h（x）>h（0）=0,从而g′（x）>0,故g（x）在（0，+∞）上为增函数，从而g（x）在（0，+∞）上没有最小值．

学生在这种“愤”“悱”状态之下更愿意接受对“含参问题”的新的求解方法――整体构建函数再分类讨论的方法． 学生的作业是展示其思维的过程，在数学教学中，教师既要向学生展示自己的思维方式，了解学生在解决问题时遇到的困惑和挑战，与学生共同经历解决问题的艰辛与曲折；同时，也要引导学生暴露自己的思维过程，帮助学生树立战胜困难的信心，优化解决问题的方法，与学生共同分享数学学习的成功与快乐．

■上下节课的衔接从作业中来

教师布置作业既可以巩固学生课堂上所学的数学知识、数学思想方法、反馈教学情况，又可以为下一堂课做适当的准备，从而发挥出作业衔接课与课的作用．

案例5：学习导数的概念第一节平均变化率后，通过布置以下作业来达到课堂间的衔接

1． 已知函数f（x）=x，分别计算f（x）在下列区间上的平均变化率

（1）［2，4］，（2）［2，3］，（3）［2，2.1］，（4）［2，2.01］，（5）［2，2.001］，（6）［2，2.0001］

2． 思考：已知函数f（x）=x，f（x）在x∈［2，2+Δt］时的平均变化率；如果Δt无限接近于0，则f（x）在x∈［2，2+v1］］时的平均变化率无限接近于________．

通过这样的布置作业，既能巩固平均变化率的概念，又能为下一课中的瞬时变化率――导数的学习做铺垫．

“讲之功有限，习之功无已”． 说明我们不仅要重视课堂上知识的传授，更要重视“习行之功”，重视作业这个“聚宝盆”，要开发利用好，并且在教学中有所创新和发展，使学生在作业中掌握技能，在作业中形成能力，在作业中发展思维． 在日常教学中，我们教师应就地取材、精心设计、努力挖掘，充分发挥作业多层面教学的功能，力求使教学的有效性达到最大效果．