课堂外的数字世界

在我们数学课堂教学的闲暇，适当地开展一些相关的拓展课堂是一种很有价值的辅助教学尝试。经由这样的拓展教学尝试，我们可以邂逅书本外的知识，拓展中学生的数学视野，分享快乐与启迪智慧……本文源自在上海市复兴实验中学中预（2）班开展的一次初中数学的拓展课堂，在介绍数的整除内容的基础上，与学生一起讨论有关完美数和亲和数的一些数学知识和相关数学故事与文化。

具体的课堂教学的设计与尝试如下：

一、来自课本外的数字朋友：新知识的呈现

教学片段一：完美数的引入

师：上节课我们学习了因数，现在我们来回顾一下，请同学们依次在下列表格中填写出8的因数和10的因数。

（在师生互动下写出如下表格的第一行。）

师：很好，下面我们来学习一个新概念――真因数，真因数指除去它本身的因数。如8的真因数是1，2，4；10的真因数是1，2，5。（边说边完成表格。）

师：请同学们试着写出下列各数的真因数：4，6，12，14。

在师生互动下写出：

4：1，2

6：1，2，3

12：1，2，3，4，6

14：1，2，7

师：现在请同学们算算上面这些数各自的真因数之和，你能发现它与原来的数有什么关系吗？有没有什么比较特别的数？

2~3分钟后，有学生说：“6是与众不同的一个数：1+2+3=6，其和正好等于它本身。而其他数的真因数之和不是大于就是小于原数。”

师：好。现在让我们两人一组去找找看在15~30中有没有和6一样――其真因数之和等于本身这样独特性质的数？

教学目的：让学生体验如何去找完美数，一个一个去算，体会数学家找这些完美数的过程。然后学生会发现在这些他们计算的数中，28也是具有这样性质的数：28＝1＋2＋4＋7＋14。由此引出完美数的概念。

完美数，就是一些特殊的自然数，它所有的真因素（除了自身以外的因数）之和恰好等于它本身。

师：由此我们可以知道，6和28都是完美数。其实，在所有两位数中，已经没有其他完美数了。

而像12这样小于它的真因数之和的叫做亏数（不足数）；大于真因数之和的（如14）叫做盈数或过剩数。

隐藏在数中的精彩――故事一：

同学们，你们知道吗？（一边指着完美数一边说）宗教学者将它们视为宇宙经纬的一部分：上帝创造世界用了6天，月亮绕地球一周需28天。古希腊人也非常重视完美数的研究。大约在公元前100年，有一个叫尼可马修斯的数学家写了第一本专门研究数论的书《算术入门》，其中写道：“也许是这样：正如美的、卓越的东西是罕有的，是容易计数的，而丑的、坏的东西却滋蔓不已；所以盈数和亏数非常之多，而且紊乱无章，它们的发现也毫无系统……”现在数学家已发现，完全数非常稀少，至今人们只发现47个，而且都是偶完美数。前5个完美数分别是：6，28，496，8128，33550336。

当告诉学生第3个完美数是496，第4个数是8128时，他们都露出非常惊讶的表情，“难道中间就没有完美数了吗？”有学生问。当说出第5个数是33550336时，他们真的不敢相信了，有学生直呼：“哇，不是吧！”有的还说：“不行，我得回去算算。这么多数中间，难道都没有一个完美数吗？”

师笑而不语，问：同学们有没有发现这些完美数有什么共同特征？

生1：老师，我知道，他们都是偶数。

师：嗯，是的，而且末尾都是6和8的偶数。

生2：老师，那有没有是奇数的完美数呢？

师：这依然是完美数世界的一个谜，等待着你们去发现呢！

生：哦，这么神奇啊，到现在科学家们都没找到一个奇完美数吗？

同学们都很惊讶。

教学片段二：亲和数的引入

师：接下来让我们继续追寻数之世界的传奇。听，有下面的一小段数学故事

故事二：

其实在古代，人类就对某些数字有着非常特别的情结。纪元前的一些人类部落把220和284两个数字奉若神明。在那个时期，男女青年择偶时，往往先把这两个数分别写在不同的木签上，他们若分别抽到了220和284，便被确定为终身伴侣；否则，他们便被认定天生无缘，只有分道扬镳。这种结婚方式固然是古老部落的陋俗，但在某种迷信色彩的背后，却隐匿着人们对于这两个数字的敬畏。表面上，这两个数字似乎没有什么神秘之处，其实不然。

当说到这儿的时候，师故意停顿了一下。

这时，很多学生已经迫不及待了，老师，这两个数到底有什么神秘的呀，你快说呀！

师：好，这两个数有什么特殊之处呢？让我们一起来发现隐藏在其间的秘密吧……现在我们把班上的同学分成两个组，分别来算算220和284的真因数。

班上学生自然地被分成两组，一组算220的真因数，一组算284的真因数，它们的真因数很快就算出来了：

220：1，2，110，4，55，5，44，10，22，11，20，

284：1，2，142，4，71。

师：有哪位同学发现了隐藏在其中的神秘宝藏？……友情提醒，请同学们分别计算这两个数的真因数之和……

生：老师，真的很神奇耶！我们发现220的全部真因数之和恰好等于284；而284的全部真因数之和又恰好等于220。

然后黑板上的文字呈现如下：

220=1+2+4+71+142

284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110

这个发现让许多学生非常兴奋，觉得世界上真有这么巧的事情存在。有学生说：“老师，世界上真有这样的两个数存在啊，太神奇了，还有这样的数吗？”“是啊，老师，这样的数还有吗？”同学们都问道。

师：是的。像220和284这样的一对数，数学家称它为亲和数，有的书上也叫友好数。让我们先说一下亲和数的定义吧。

亲和数的定义：设有一个数对（c，d），如果c是d的所有真因数的和，而d是c的所有真因数的和，我们就称这个数对（c，d）是亲和数。

师：现在老师可以给你们看一个神奇的图表（电子版展示图表如下）。

故事三：

亲和数其实可以有许多许多对。我们上面看到的数对（220，284）则是最小的一对亲和数。远在1747年的时候，一个叫欧拉的大数学家找到了30对亲和数，后来又扩展到了60对，不仅列出了数表，还公布了全部的计算过程，令数学家们拍案叫绝。同学们知道吗？其实当时的大数学家们竟然漏了一对很小的亲和数：1184和1210。这是一个名叫白格黑尼的中学生在1866年发现的。当时他才16岁……你们看，小小少年竟然发现数学大师们的疏漏……

于是这又迎来学生片刻数学兴趣的高潮。1184和1210的真因数似乎不大容易算，同学们不是漏了这个就是漏了那个。终于，在诸多同学的共同努力下，大家一起计算和验证了1184和1210确实是一对亲和数，同学们都显得兴奋异样。

二、数学思考的再拓展――数学的黑洞

师：我们把一个数m的所有真因数之和记作p（m）。我们把它称作p的函数。则有p（6）=6，p（28）=28，p（220）=284，p（284）=220。

我们可以通过图1来说明。

这个表示的是2环的数链，我们可以把它记为p2（220）=220，那么，请同学们思考一下，是否有这样的数m存在，使得p3（m）=m？知道这是什么意思吗？

生：老师，我知道，就是一个数经过3次真因数之和的计算回到它本身。

师：是的，我们也可以通过图2来说明。

这个表示的是3环的数链。那请同学们想想，是否会有这样的数链存在呢？

在一些学生热情的提议下，我们开始寻找这样的3环的数链之旅：有的同学组成小组，利用团结合作的方式，而有的同学自己在冥思苦算，力图独立完成探究，还有的在小声地商量着……

10分钟后的话题回旋。

师：好，同学们有谁找到了这样的数？或者，你们有没有什么别的发现？

生1：老师，我算来算去最后都回到了1。

生2：老师，我也是。

生3：老师，我们都是……

我们在黑板上列出一些同学计算的过程如下：

20221410871

32311

3042546678901442594533159431

师：呵呵，这个非常独特的现象就是数学上有名的“数学的黑洞”上面的计算之旅或多或少告诉大家，在p－函数的镜像中看，1是数学上的一种黑洞。经过上面的计算过程，绝大多数最后都回到1。而6，28，220，284…这些数则是剩下的少数派――完美数与亲和数，演绎着逃离黑洞的奇迹。相关于完美数与亲和数更多的数学童话，请同学们查阅课堂外广阔的网络世界……

这是一个大约60分钟的数学拓展课堂。课后我们做了一个简单的问卷调查。相关的数据说明，学生们对这样的课堂是充满期待和非常欢迎的。课结束后，同学们都咋咋称奇，讶异于这些数字的神奇，体会着数学的神秘。这一数学拓展课堂让许多同学耳目一新，不仅丰富了知识，拓展了视野，而且大大地提高了数学学习的热情。选择在比较紧张与相对枯燥的中学数学教学的闲暇，添加一些数学的趣味话题和数学故事的点滴，做一点数学拓展课堂的尝试，对于中学生拓展数学知识与视野，对于他们数学学习热情的提高和数学学科德育教育无疑是大有益处的。我们真诚的希望，这样的数学课堂再多一些。

（作者单位 上海市复兴实验中学 华东师范大学数学系）

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文