圆锥曲线第二定义在解题中的应用

摘 要：新课程改革要求在数学教学中构建数学知识体系，全面提高学生数学思维能力的运用。圆锥曲线是高中数学学习的内容，同时也是高考内容考查的重点。利用圆锥曲线第二定义解题，不仅可以提高解题效率，而且有利于培养学生分析问题和解决问题的能力。

关键词：圆锥曲线；第二定义；应用

现在高中教材中的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种。它们不仅是平面解析几何教学中的重点和难点，而且也是高考压轴题经常涉及和考查的对象。三种圆锥曲线的定义既是教材重要的基本内容，也是解决许多问题的一种方法。圆锥曲线的第二定义把焦点、准线和离心率巧妙地联系起来，在解相关的题目时，如能巧妙运用第二定义，能起到化繁为简的作用，使问题简洁明快的得以解决，在解题中起到事半功倍的效果。

一、圆锥曲线的第二定义

圆锥曲线第二定义也称其为统一定义，其定义为平面内与一个定点和一条定直线的距离之比为常数e（e＞0）的点的轨迹，其中定点是曲线的焦点，定直线是对应于焦点的准线，e为离心率。当e＞1时，轨迹为双曲线；当e=1时，轨迹为抛物线；当0＜e＜1时，轨迹为椭圆。从定义中我们可以看出第二定义揭示了圆锥曲线之间的内在联系，它刻画了点与点的距离、点到线的距离之间的数量关系。它不仅是研究圆锥曲线图像与性质的基础，而且还在解决众多的数学问题中，具有不可低估的特殊功能。

二、圆锥曲线的第二定义在解题中的应用

有关圆锥曲线的问题运算量大，求解过程复杂，如能正确、灵活地运用圆锥曲线的相关定义去分析解题，往往会使问题化繁为简，提高解题思路的精确率。圆锥曲线的第二定义可应用于求解离心率、最值、轨迹问题以及相关的证明题。下面我们介绍其相关的一些应用。

1.证明焦半径公式

已知圆锥曲线方程以及曲线上一点的横坐标，求解这一点与圆锥曲线焦点之间的距离。我们常规的做法是利用圆锥曲线的方程求出焦点坐标，根据这点的横坐标求解出这点坐标，然后利用距离公式得出结果。如果方程比较复杂，那势必增加运算量。然而，利用第二定义能很容易得出结果，我们常称其为焦半径公式。

4.轨迹问题

圆锥曲线问题中有由曲线求方程， 以及由方程研究曲线的性质两类基本问题。由曲线求方程也称求轨迹方程是圆锥曲线中最基本也是最重要的问题，同时也是高考考查的重点与热点问题。利用圆锥曲线的第二定义求轨迹方程就是根据动点满足的条件特征，利用圆锥曲线的第二定义判断该动点的轨迹是椭圆、双曲线或抛物线，从而确定轨迹方程的形式，再根据题中的条件确定方程中的参数就可求出动点的轨迹方程。

例：如图，正三棱锥S-ABC中，侧面SAB与底面ABC所成二面角为α，动点P在侧面SAB内，PQ底面ABC于Q，且PQ=PS×sinα，则动点P的轨迹为（ ）

A.线段 B.圆弧 C.双曲线一部分

D.抛物线一部分

解：如图，过P作PDAB于D点，连接ＤＱ，易知DQAB，∠PDQ=α，在RtPDQ中，有PD=PQ/sinα，又PQ=PSsinα，所以PD=PS，即Ｐ到定点与到定直线的距离相等（e=1），所以P点的轨迹为抛物线的一部分。

三、结束语

圆锥曲线在高考中占据了很大的一个比重，尤其每年的压轴题都涉及圆锥曲线的性质，是区分成绩的关键环节。圆锥曲线的第二定义从另外一个角度揭示了圆锥曲线上的每一个点的运动规律以及数量关系，在解析几何问题中，运用圆锥曲线定义可以较好地解决焦半径、准线、离心率等相关问题。运用圆锥曲线第二定义解题，通过数形结合，不仅能够抓住问题的本质，而且还能避免问题的复杂性，有利于相关问题的巧妙解决。

参考文献:

［1］程森旺.圆锥曲线定义在解题中的应用.高等教育，2010（25）：93-94.

［2］张秀英.浅谈圆锥曲线定义解题.中国科技创新导刊，2010（32）：96-96.

（作者单位 赵标：安徽省五河县第二中学 丁邦凤：上海市嘉定区中光高级中学）

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文