求函数解析式方法例析

【摘要】在高中代数复习教学中，经常遇到求f(x)解析式一类问题，其基本模式为：已知y=f[g(x)]或y=f[f(x)]，求f(x)。这是求函数解析式中最常见的题型，它的解法较多，技巧性较强，但此类问题在高中数学教科书中几乎没有，却又与课本上的函数问题密切相关。因此，笔者归纳出几种求f(x)解析式的方法。

【关键词】函数解析式方法

Analyze the way for getting the analytical form of a function through examples

Li Jihua

【Abstract】In the senior algebra review teaching, we often meet the problem of getting the f(x) analytical form, of which the basic mode is given that y=f[g(x)] or y=f[f(x)], f(x)=? That is the most familiar question in the analytical form of a function. The ways for solving it are more than one and the skillfully quality is strong, but we can not see it in the senior mathematic teaching material and it is nearly correlative with the function question of the teaching book. Therefore, the author has summed up several kinds of method for solving the f(x) analytical form.

【Keywords】Analytical form of a functionMethod

函数的解析式是函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量之间的桥梁。在高中代数复习教学中，经常遇到求f(x)解析式一类问题，其基本模式为：已知y=f[g(x)]或y=f[f(x)]，求f(x)。这是求函数解析式中最常见的题型，它的解法较多，技巧性较强，但此类问题在高中数学教科书中几乎没有，可它与课本上的函数问题又密切相关，所以现根据本人的学习归纳出如下几种求f(x)解析式的方法，不尽全面，仅供参考。

1．待定系数法。已知f(x)是某种函数或由题意分析可判断出为某种函数，可先设出其表达式，通过求其系数的方法确定f(x)。

例1、设f(x)为一次函数，且f[f(x)]=9x+8，求f(x)。

解：f(x)为一次函数

可设f(x)=ax+b(a≠0)

则f[f(x)]=a f(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=9x+8

则解得 或

f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4

例2、已知f(x)为有理整函数，且f(x+1)+f(x-1)= 2x2-4x+4，求f[f(x)]。

解：由已知f(x)是有理整函数，且x+1与x-1在f的作用下，再进行运算后是二次函数。又x+1作自变量与由x作自变量，不改变有理整函数为次数，所以f(x)为二次函数，因此可设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)

则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1) +c=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x+4

解得

f(x)=x2-2x+1=(x-1)2

则f[f(x)]=[f(x)-1]2=[(x-1)2-1]2=x4-4x3+4x2

2．换元法。在y=f[g(x)]的解析式中，设t=g(x)解出x关于t的解析式u(t)=x代入f[g(x)]解析式中，从而求得f(x)。

例3、已知g(x)=x2-1且当x≠0时，f[g(x)]= ，求f(x)。

解：

可设t=x2-1则x2=t+1

则

此题亦可用配凑法如下：

例4、已知函数f(x)满足 （其中a>0，a≠1，x>0)，求f(x)的表达式。

解：令t=logax（a>1，t>0；0

则x=at

；（a>1，x>0；0

难点举例（读者可自行完成）

已知f（2-cosx）=cos2x+cosx，求f(x-1)（换元法或配凑法）

3．方程组法。当已知函数在f的作用下有倒数，互为相反数关系时，可把x换成 ，将x换成-x，再通过解方程组的方法求f(x)。

例5、若 ，求f(x)。

解：因条件中x2与 是倒数关系，所以可用 换成x得：

……（1）

又 ……（2）

由（1）（2）得

设x2=t，则 ，

例6、已知af(2x-3)+bf(3-2x)=2x，且a2≠b2，求f(x)

解：已知条件中2x-3与3-2x互为相反数关系，所以可先换元再用相反数代换即可解得

令2x-3=t，则 ，代入得

af(t)+bf(-t)=t+3……（1）

以-t代t得，af(-t)+bf(t)=3-t……（2）

由（1）（2）得

难点举例：

已知 ，（a、b、c∈R，abc≠0，a2≠b2），求f(x)。

4．特殊值法。当条件所给的函数式满足形如：

f[g(x)]+f[v(x)]+u(x)=0时，可令g(x)或v(x)取某一特殊值，如0或1等，再用上面所介绍的其它求函数解析式方法可解得f(x)。

例7、已知f(0)=1，f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1)求f(x)的解析式。

解：令a=0，代入得：f(-b)=f(0)-b(1-b)

f(0)=1，f(-b)=b2-b+1

设-b=x，则f(x)=x2+x+1

5．递推法。当函数式满足或经过变形后满足f(x+1)-f(x)=u(x)的形式且x∈N，可用下述累加法，此种形式类似于等差数列求和。

例8、若 ，且当x≥2时满足 （a>0，x∈N），求f(x)。

解： 递推得

即

除上述方法外，还有其它求函数解析式的方法，如奇偶法、数学归纳法、微分法、不等式法等等，这里不再一一叙述，总之，函数概念的核心是对应法则，而对应法则在高中数学里的主要表现形式是解析式，因而掌握求函数解析式的方法，可以加深对函数概念的认识与理解，促使学生形成相应的转化与化归的数学思想。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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