一类二元分形函数的分形性质

摘要：分形函数的研究在分形几何中占有重要的地位，在分形函数的研究中分形维数的讨论则是一个重要的数学手段。由迭代产生的分形函数的维数已基本解决。文章对另一类分形函数进行了研究，并用网立方体与函数相交的方法对该分形函数的Box维数的上下界、填充维及Hausdorff维数上界进行了估计，同时讨论了该分形函数Holder条件，并把结果推广到了Bush函数，最终使该分形函数的一些分形性质得到了解决。

关键词：b-进制；分形函数；Box维数；Hausdorff维数；填充维数

一、引言

19世纪，人们了解了连续和可微的性质及二者之间的关系，随之一个处处连续、点点不可微的函数是否存在成为研究热门。在一代代科学家的研究推动下，近年来，随着一门新兴的数学分支-分形几何的诞生及迅猛发展，无处可微连续函数已成为分形几何的一类重要研究对象，对于分形函数复杂性的分析在分形学中不仅具有重要的理论意义，而且具有重要的应用价值。杨晓玲、王宏勇等人研究了Kiesswetter函数、Bush函数等一些分形函数的有关问题。杨卫国对Bush函数进行了推广，构造了一类新的函数并证明了它的连续不可微性，本文将在《一类连续不可维函数的分形性质》研究的基础上对由《一类无处可微连续函数》构成的二元分形函数的一些分形性质进行研究讨论。

二、基本概念

定义1：设x∈[0，1]，其b进制小数表示为：

x=0.x1x2……xn…＝

xn∈{0，1，2，…，b-1}

定义函数：

u＝f（x）＝ uk（ ）k ①

其中λ＞0，b是大于2的整数，u1=1，当k≥2时

uk＝uk-11- uk-1

文献《一类无处可微连续函数》证明了该函数若满足λ＞1时，b＞1+λ；0＜λ≤1时，b＞1+ 则是一类无处可微连续函数。

定义2：设F是Rn上任意非空的有界子集，Nδ（F）是直径最大为δ，可以覆盖F的集的最少个数，则F的上下计盒维数分别定义为：

dimBF=

dimBF=

如果这两个值相等，则称这共同的值为F的计盒维数或盒维数。记为dimBF=。

定义3：设E 为Rn中的一非空有界集，对δ>0，集合E 的一个δ-填充指的是球心在E上，半径最多为δ的互不相交的可数球族。对s≥0，定义Pδs（E）＝sup{Σ|Ui|s：{Ui}}为E的δ-填充}，那么PSδ（E）为δ的非增函数，故可取极限ps0（E）＝ Psδ（E），但P0S（E）不是一个测度，因为它不满足可数可加性。为此，定义Ps（E）＝inf P0s（Ei）：E?奂∪ Ei。其中下确界是对E的所有可数覆盖集而取。这是Rn上一个测度，称为s维填充测度。集合E 的填充维数dimp（E）=inf{s：Ps（E）＝0}＝sup{s：Ps（E）＝∞}。

定义4：由《一种新的Bush型分形曲面及其维数》构造如下二元函数：

I2=[0，1]×[0，1]?奂R2，对任意x，y∈[0，1]，其分形b-进制表达式分别为：

x=0.x1x2…xk…=

xk∈（0.1，…，b-1）②

y=0.y1y2…yk…＝

yk∈（0.1，…，b-1）③

定义I2的二元函数：

z=g（s，y）＝p（x，y）f（x）+q（x，y）f（y）④

p（x，y），q（x，y）为定义在I2的两个具有连续偏导数的函数，且对任意（x，y）∈I2都有p（x，y）≠0，f（x）是①所定义的函数，显然④所定义的函数是I2上的连续函数，且当λ＞0，b＞1+λ或λ≤1，b＞1+ 时是处处连续不可微的。

令G表示g（x，y）的图像，G＝graph={（x，g（x，y））：（x，y）∈I2}，令osc（g，Δ）为g（x，y）在任意区间Δ?奂I2上的最大，osc（g，Δ）＝sup{θ|g（x，y）-g（x'，y'）|：（x，y），（x'，y'）∈Δ}。

引理1：dimPF≤dimBF；

引理2：设F?奂Rn是紧集，且对所有与F相交的开集

dimB（F∩V）=dimBF，则dimPF＝dimBF；

引理3：设E是Rn中非空有界集，则dimHE≤dimBE。

三、主要定理

定理1：G的Box维上下界满足条件：

0＜λ≤1，b＞ ，3-logb ≤dimBG≤dimBG≤3-logb1+λ；

λ＞1，b＞1+λ，3-logb1+λ≤dimBG≤dimBG≤3-logb 。

证明：对任意（x，y）∈I2，x，y的b-进制表示式分别为②、③。存在一个充分大的n，使得xn＜b-1，yn＜b-1，将区间I进行bn等份，得到b2n个小立方体Δij，i，j＝1，2，…，bn。Δij每边的边长为b-n。设Nn（G）为边长为b-n的网立方体与G相交的个数，则对任意的（x，y），（x'，y'）∈Iij，

x=0.x1x2…xkxk+1…

x'＝0.x1'x2'…xk'xk+1'…

y=0.y1y2…ynyn+1…

y'＝0.y1'y2'…yn'yn+1'…

且有xk＝x'k，yk＝y'k1≤k≤n，b-n-1≤|x'-x|≤b-n，b-n-1≤|y'-y|≤b-n。

当0＜λ≤1时，

f（x）-f（x'）≤21+n+1⑤

f（y）-f（y'）≤21+n+1⑥

令M1=sup{|f（x）|：x∈I}，M2为|p（x，y）|，|q（x，y）|，|px（x，y）|，|py（x，y）|，|qx（x，y）|和|qy（x，y）|在I2上的上界，则有：

|p（x，y）-p（x'，y'）|≤M2（|x-x'|+|y-y'|）≤2M2b-n⑦

|q（x，y）-q（x'，y'）|≤M2（|x-x'|+|y-y'|）≤2M2b-n⑧

根据⑤、⑥、⑦、⑧，我们有：

|g（x，y）-g（x'，y'）|≤|f（x）p（x，y）-p（x'，y'）|+|p（x'，y'）f（x）-f（x'）|+|f（y）q（x，y）-q（x'，y'）|+|q（x'，y'）f（y）-f（y'）|≤4M1M2b-n+4M2（1+ ）（1+ ）n+1≤M3[b-n+（1+ ）（ ）n+1]

取M3＝max{4M1M2，4M2}＞0

即osc（g，Δij）≤M3[b-n+（1+ ）（ ）n+1]

Nn（G）≤ [ +2]

≤ M3（1+（1+ ）（ ）n+1bn）+2

＜ [M3（1+ （ ））nbn）+2]≤ （M3+1） （ ）nbn＜2（M3+1） （ ）nb3n

所以：

dimBG≤≤3-logb（1+λ）⑨

[a]表示a的整数部分。

当λ＞1时，

|f（x）-f（x'）|≤4λ（ ）n+1和|f（y）-f（y'）|≤4λ（ ）n+1

|g（x，y）-g（x'，y'）|≤|f（x）p（x，y）-p（x'，y'）|+|p（x'，y'）f（x）-f（y）|+|f（y）q（x，y）-q（x'，y'）|+|q（x'，y'）f（y）-f（y'）|≤4M1M2b-n+8M2λ（ ）n+1≤M'3[b-n+λ（ ）n+1]

取M'3＝max（4M1M2，8M2），即osc（g，Δij）≤M'3[b-n+λ（ ）n+1]

Nn（G）≤+2≤ [M'3（1+λ（ ）n+1bn）+2]≤ [M'3（（ ）n bn+2（ ）n bn）+2（ ）n bn≤ （ M'3+2） （ ）n bn=（3M'3+4）λ（ ）n+1b3n

故dimBG=≤3-logb ⑩

另一方面，取（x'，y）为Δij左边上的点，x'可表示为：

x'=0.x'1x'2…x'nx'n+1…

则存在足够大的n使x'n+1＜b-1，设：

=0.x'1x'2…x'nb-1000…； =0.x'1x'2…x'nb-1b-100…

对 ， ∈Ii，有| - |＜b-n。

当0＜λ≤1时，|f（ ）-f（ ）|≥（ ）n+2

显然

（ ，y），（ ，y）∈Δij

|g（ ，y）-g（ ，y）|=|p（ ，y）f（ ）+q（ ，y）f（y）-p（ ，y）f（ ）-q（ ，y）f（y）≥p（ ，y）f（ ）-f（ ）|-|f（ ）[p（ ，y）-p（ ，y）]+f（y）[q（ ，y）-q（ ，y）]≥p0（ ）n+2-2M1M2| - |＞p0（）n+2-2M1M2b-n＝b-n（P0 ）n+2bn-2M1M2）

取P0＝min{|p（x，y）|：（x，y）∈I2}＞0，

当n取足够大时，且b＞ 时，我们有P0（ ）n+2bn＞4M1M2。

故当n充分大时有： |g（ ，y）-g（ ，y）|≥ （ ）n+2

osc（g，Δij）＞ （ ）n+2{11}

Nn（G）≥≥ （ ）n+2b3n

故：

dimBG＝≥3-logb {12}

当λ＞1时

|g（ ，y）-g（ ，y）|＝|p（ ，y）f（ ）+q（ ，y）f（y）-p（ ，y）f（ ）-q（ ，y）f（y）|＞P'0（ ）n+2-2M1M2b-n=b-n（P0（ ）n+2bn-2M1M2）

取P'0＝min{p（x，y）：（x，y）∈I2＞0

同样，当n足够大且b＞1+λ时，我们有：

P0（ ）n+2bn＞4M1M2

则有|g（ ，y）-g（ ，y）|≥ （ ）n+2

即

osc（g，Δij）≥ （ ）n+2{13}

Nn（G）≥≥

（ ）n+2 b3n

G=≥3-logb（1+λ）{14}

由⑨、⑩、{12}、{14}定理得证。

定理2：当λ＝1时，dimPG＝dimBG＝3-logb2

证明：由定理1，当λ＝1易知dimBG=3-logb2且只证等式右边即可。由引理2将I2进行b2n0等份，每份记为Δij，i，j＝1，2，…，bn0。记Gi0j0，i0，j0＝1，2，…，bn0为V∩G所含的一体。则对任意与G相交的开集V存在一个，Δi0j0，i0，j0＝1，2，…，bn0使得G在Δi0j0的图象GΔi0j0∈V∈G。

讨论Gi0j0的上盒维数。对充分大n＞n0大把Δi0j0等分成b2（n-n0）个立方体σij，i，j=1，2，…，bn-n0每立方体边长为b-n。由{13}我们有：

osc（g，σij）≥ （ ）n+2{13}

Nn（Gi0j0）≥≥ b3np0（ ）n+2

故dimBGi0j0＝≥3-logb {15}

dimB（V∩Gi0j0）≤dimBGi0j0≤dimBG≤3-logb（1+λ）{16}

由{15}、{16}可得：

3-logb ≤dimB（V∩G）≤dimBG≤3-logb（1+λ）{17}

当λ＝1时，由{17}dimB（V∩Gi0j0）＝dimBG成立，由引理2得

dimBG＝dimPG＝3-logb2。

参考文献：

1、杨卫国.一类无处可微连续函数[J].数学实践与认识,1989(2).

2、王晓明.一类连续不可维函数的分形性质[J].安徽工业大学学报,2006(3).

3、Falconer K.Fractal Geometry Mathe-matical foundations and application[M].Willey,1990.

4、王宏勇,陈刚.一种新的Bush型分形曲面及其维数[J].工程数学学报,2000(4).

＊本文为基金项目：国家自然科学基金资助项目(10571076)。

（作者单位：无锡工艺职业技术学院基础部）

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”