数学“再创造”的教学策略

【摘要】从历史上数学创造的角度，探讨了数学课堂中实施“再创造”的教学策略.

【关键词】数学“再创造” 动机 猜想 数学化 数学应用

荷兰著名数学教育家汉斯？弗赖登塔尔反复强调，学习数学正确的方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来。要实现“再创造”的教学策略，最好是在数学发展史中去寻找材料，从数学创造来看数学“再创造”。

如何让数学创造进入课堂，探讨数学“再创造”的教学策略，形成系统的、可操作的教学模式，乃是一个值得研究的课题。本文拟在这方面作一番尝试，遵循学生的认识规律，提出数学“再创造”的四条教学策略。

1激发学生从事数学“再创造”的动机

数学创造的动机分为：外部动机与内部动机。外部动机来自日常生活、生产等问题对数学家的的挑战，如《九章算术》中的问题，无理数的引进，微积分的创立均属此列；内部动机来自数学活动中人们对数学美的追求，数论、虚数、非欧几何、群论都是出于内部动机而创立的。教学中我们借鉴数学创造的动机分为外部动机和内部动机的思想，从数学的实际应用价值与数学自身魅力两方面来激发学生从事数学“再创造”的动机。

学生对数学美的追求将成为他们进行数学“再创造”的强烈动机.数学美的基本特性有和谐性、简单性和奇异性.数学知识当中蕴涵着反映以上基本特征的丰富美学因素。为了追求和谐美，人们将每个数学分科进行公理化，且公理体系必须满足相容性，或对同类问题要求统一的数学表达式；为了追求简单美，人们发明了大量简洁、优美的数学符号，创造了具有“世界普适性”的数学语言，并尽量把复杂问题进行化简；为了追求奇异美，人们总是研究一些奇特的、新异的数学对象，如不动点、奇点、拐点等特殊点，或一个新的数学理论，一条新的数学定理，一种新的算法、证法。教学中一般是在新旧知识的联系和矛盾上切入新知识，使学生面对问题，从而激发学生“再创造”的动机.

2注重猜想在数学“再创造”中的作用

数学上的所有创造都是从猜想开始的。在数学“再创造”过程中，猜想同样很重要。但传统的数学教学往往忽视这一点，片面强调演绎的作用，偏向于培养学生的逻辑思维能力，这对学生创造能力的培养是很不利的。通过观察与实验，学生把握客观事物的空间形式或数量关系，凭借直观、直觉与想象发现规律，建立猜想。如圆周角的教学，明确圆周角与圆心三种位置关系是定理证明的关键，教学中可演示教具（或运用计算机作图模拟演示），在图形的连续变化中引导学生观察，把握三种不同的位置关系.一种具体的实验方案是：在一块木板上画一个圆，把一根橡皮筋的两端分别钉在圆的适当两点上，然后用一支铅笔紧靠橡皮筋，使得笔尖在圆上滑动。

3引导学生进行数学化的“再创造”

传统的数学教学往往让学生学习现成的形式体系和公理系统，学生难以理解。弗赖登塔尔认为：“与其让学生学习公理体系，不如让学生学习公理化；与其让学生学习形式体系，不如让学生学习形式化。一句话，与其让学生学习数学，不如让学生学习数学化。”由此可见，数学化包括形式化和公理化两方面的工作.

3.1形式化的“再创造”

形式化就是把数学研究对象的某些特征进行抽象，用数学语言、图形或模式表达出来，建立数学模型。对一些比较简单的形式化工作，还是有必要让学生来“再创造”一回（哪怕是象征性的“再创造”），使学生领会到数学的抽象性。如函数概念的教学，先分别建立圆面积与半径，路程与时间，成本与产量，邮资与重量等具体的变量间的关系式，然后分析这些解析式（必要时联系相应的图象）的共同特征，对变量的变化范围，变量间的依存关系进行抽象，并借助适合的数学符号，建立一般的函数定义。

3.2公理化的“再创造”

要求学生对整个学科进行公理化的“再创造”是不现实的，但总可在一些较小的范围内，局部地完成公理化的工作，并逐步扩大范围，使公理化的程度越来越高。历史上人们对平行公理（第五公设）思考得最久，但并不能由其他公理来证明它，只是找到了一些与之等价的命题作为平行公理。在平行线这一知识单元的教学中，就可让学生尝试公理化。公理化的“再创造”与其说让学生学习公理，倒不如说让学生树立公理化意识，领会数学的严谨性，提高数学素质。

4实现数学应用从“再创造”到创造

4.1数学应用的“再创造”就是学生解决前人（或教师）已经解决的数学问题或实际问题。学生课后做练习题是必要的，可巩固所学知识，加深对知识的理解。课堂上学生的“再创造”往往是在教师的指导下，同学之间互相协作完成的。课后布置一些类型相似、难度相当（或更浅）的习题，让学生各自独立解决，那才是真正的“再创造”，学生真正扮演一回数学家的角色。除习题演练外，数学应用的“再创造”还应包括问题解决的内容。问题解决即运用数学知识解决一些非常规的，具有开放性、挑战性的数学问题或实际问题。如“当a为何整数时，x2-ax+36或在整数范围内分解因式？”，“正方体的截面是什么图形？”，“如何识别有奖游戏的奥秘？”等都是较好的数学问题。

4.2数学“再创造”仅是一种教学策略，具有很强的教育功能，培养学生的创造意识与创造能力，希望他们日后能有所创造发明，才是“再创造”的真正目的。今天的“再创造”将促成明天的创造，主观意义的“再创造”将会导致客观上的创造。

以上四条策略之间有着紧密的依存关系，它们。既可在一堂课内完成，也可在一个教学阶段上完成。在整个数学“再创造”过程中，动机是前提和基础，猜想是关键，数学化是重点，数学应用则是目的和归宿。因此，数学“再创造”的教学策略是一整套系统的教学模式，具有广泛的适用范围.