中学数学“合情推理”探讨

【摘 要】新的数学课程标准认为：学生应"经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力"。可见数学对发展推理能力的作用。但是，长期以来数学教学注重采用“形式化”的方式发展学生的论证推理能力，忽视了合情推理能力的培养。

【关键词】合情推理；归纳推理能力；类比推理能力

长期以来在数学传统的教育教学对“合情推理”不够重视，长期以来数学教学注重采用“形式化”的方式发展学生的论证推理能力，忽视了合情推理能力的培养。哪么什么是合情推理？所谓合情推理（Plausible Reasoning）又称似真推理，是一种合乎情理的、好像为真的推理。它的清晰程度不能与论证推理相比，它没有固定的逻辑标准，并且只是笼统的，通人情的，是与个人的情绪、爱好、知识等主观因素有关的一种推理。新的数学课程标准认为：学生应"经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力"。可见数学对发展推理能力的作用。本文就是我在多年的教学中对合情推理的一些认识。

一、数学课程中学生的不合逻辑的“合情推理”

1.教学中不合逻辑现象的存在

在平时的教学活动中我们经常碰到类似这样的情况：

如：在探索三角形相似的条件时，有这样一个条件：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。在课本的想一想部分，提出这样一个条件和上面的条件差不多要学生去判断：如果这个角是这两条边中其中一条边的对角时是不是条件仍然成立？

学生在操作过程都得出了自己的答案，但答案却出现两种，一种是相似，另一种却是不相似。而且各自的理由都充分。

其实产生这样结果的根源在于学生在实际的操作中把那个角画的位置不同

如下图：

产生这样的结果并不能一下子评判谁对谁错，因为夹杂的因素都是有理的。

2.产生不合逻辑现象的原因

产生类似于这种现象的原因大体是因为每个学生所处的文化环境、社会背景、家庭背景和个体思维方式的不同，因此学生在课堂学习活动中的表现也不尽相同。面对这看似不合逻辑、不合常规，却又合情合理的推断，我们不禁产生了困惑：这样的推理该不该提倡？是按传统“形式化”的方式发展学生的论证推理能力，还是引导学生发展提倡这种近似不合逻辑的“合情推理”。

二、为什么发展学生合理推理

数学家波利亚（G.Polya）指出：“论证推理是可靠的、无可置疑的和终决的。合情推理是冒风险的、有争议的和暂时的”。首先，是实施新课标的需要。《数学课程标准》中明确：归纳和类比是合情推理的主要形式，并指出：第一学段“初步学会选择有用的信息进行简单的归纳和类比”，第二学段“进行归纳、类比与猜测，发展初步的合情推理能力”，第三学段“体会证明的必要性，发展初步的演绎推理能力”。其目的是有序地培养学生的推理能力，但中学阶段以发展初步的演绎推理能力为主。其次，是由学生的认知特点决定的。鉴于中学生的年龄与认知特点，他们不可能通过具有严格标准的逻辑推理来发现和掌握数学原理和概念。因此，在中学数学教材中大量地采用了像数学猜想、枚举归纳、类比迁移等合情推理的方法。再次，是学生学习数学的过程要求。数学家波利亚（G.Polya）说过：“数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍能反映出数学发明过程的话，那么应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”

三、如何发展学生合情推理

既然学生这种不合逻辑的“合情推理”是要引导和开发利用的，那学生合情推理能力我认为就应该从以下几个方面去发展！

1.从特殊到一般，发展学生的归纳推理能力

把某类事物中个别事物所具有的规律作为该类事物的普遍规律，这种思维过程中由特殊到一般的推理称为归纳推理或称归纳法。这是一种从个别到一般、从实验事实到理论的一种寻找真理和发现真理的手段。

在教学法则、定律、公式、结语及解题时经常要进行归纳推理，而且一般用的是不完全归纳法，用不完全归纳法得出的结论不一定正确，还有待严格的证明。但是，不完全归纳法比较适合中学生的年龄特点，易于接受。因此，在中学数学教学中经常应用这种形式的推理。

（一）总结规律。如：

按下图方式摆放桌子和椅子：

…………………………

从中发现规律：每增加一张桌子就要增加四张椅子。所以摆n张桌子就有4n+2个位子。

（二）概括特征。如：

1的平方就是求1×1

2的平方就是求2×2

3的平方就是求3×3

4的平方就是求4×4

5的平方就是求5×5

……………………

由此得出：一个数的平方就是等于这个与它本身相乘！

（三）归纳。

如：

①■=2■，■=3■，■=4■，……

若■=6■（a、b均为实数），请推测a= 、b=

由此我们可以很容易的推测出a=6、b=35

②已知1=12，1+3=22，1+3+5=32由此你能得出什么结论？

由此我们可以得出：1+3+5+7+……+（2n-1）=n2

其实我们还可以利用归纳推理总结数量关系，归纳定理、推出公式等等。教学中要有计划地培养学生的归纳能力，对于中学生来说，要以丰富的感性材料入手，先由教师讲解归纳的过程，逐步过渡到在教师引导学生对简单问题进行简单的归纳。

2.从特殊到特殊，发展学生的类比推理能力

类比推理是根据两个不同的对象的某些方面（如特性、属性、关系等）相同或相似，推出它们在其他方面也可能相同或相似的思维形式，它是思维进程中由特殊到特殊的推理。这也是一种寻找真理和发现真理的基本而重要的手段。

在数学思维活动中，类比的表现形式是多种多样的。通常可分为简单的类比与复杂的类比两类。简单的类比即形式的类比。如由“在分数上规定分母不能为零”，类比推出“分式的分母不能为零”。复杂的类比即实质的类比，这种类比能拓宽学生的知识面，引导他们挖掘数量间隐藏着的内在联系，掌握数量间可能引起的变化规律。如下图：

P为AB的黄金分割点，请你用面积的方法证明黄金比。

从黄金分割中我们知道黄金比其实是：

AP2=AB×PB

用面积的方法去正证明只是知识的延伸！

我们可以先以AP画正方形①。以PB、AB为边画长方形②如图：

①

②

之后我们通过切割会发现这两个图形的面积是相等。从而我们就可以从黄金比里找到另一种隐含的数量间的关系，即其可以表示这三条线段所组成图形的面积。

借助旧知识进行类比推理，可将学生的原有认知结构向横向拓展、向纵向延伸，不仅能加深对知识的理解和掌握，而且能培养学生初步的推理能力。

在中学数学中，常见的类比有：直线和平面的类比、平面和空间的类比、数和形的类比、有限和无限的类比等。类比之所以能进行并行之有效，就在于它抓住了事物普遍存在的相似性，把相差甚远的两类对象按其内在联系的相似性加以类比。

如：把直线和平面比较：

直线平面

直线是由点组成的平面是由直线组成的

通过比较我们不仅发现直线和平面之间的关系，也进一步的明确了点到线，线到面的知识点！

类比的结果不一定正确，因为类比仅仅是推测，而不是证明。因此，类比的结果还要经过证明或检验。由于学生受年龄的限制，一般不给予严密论证，而采用实例验证。

3.发展学生的数学猜想能力

合理的推理其实是需要大胆的猜想的！牛顿曾说过：“没有大胆的猜想，就没有伟大的发现。”猜想又是合理推理最普遍、最重要的一种，归纳也好、类比也好都包含猜想的成分。传统的“形式化”教学留给学生思维活动的内容和时间太少，不仅削弱了学生认知的发生过程，而且导致学生思维禁锢，不敢或不能提出猜想。这与培养学生的创新能力的时代要求是相悖的。为了发展学生的创造性思维，教师应该教给学生思维方法，鼓励学生对具体问题和具体教材进行分析，通过观察、实验、类比、归纳等手段提出猜想。这样，不仅有助于学生掌握数学知识，满足学生的求知欲望，而且学会探求知识的方法。

总之，合情推理是创新思维的火花，操作探究是创新的基本技能，我们在教学中要充分挖掘新教材教学资源，用火花去点燃学生的学习激情，用技能去武装学生的手脑。使课堂教学真正成为师生富有个性化的创造过程。

【参考文献】

[1]作者：G.波利亚，《数学与猜想（第二卷）》科学出版社1984年版

[2]作者：曹汝成《中学数学思想方法概论》华南理工大学出版社 2000年版