加强课堂渗透 培养学生用数学方法处理物理问题的能力

摘要:物理与数学密不可分,灵活运用数学中的如:三角形相似、二次函数配方、二次方程根的判别式、等比等差数列求和公式、基本不等式的推论、比例、三角函数、二次函数求根公式等规律或结论处理不同类型物理问题,会使物理情景简化,避免繁锁计算,达到事半功倍的效果。

关键词:数学规律或结论在物理解题中的应用

物理与数学密不可分,运用数学方法对解决物理问题至关重要。应用数学知识处理物理问题的能力也是高考要求的五种能力之一,所以,作为老师,课堂上要渗透并培养学生对不同物理题型灵活运用不同数学方法去处理解决的能力;作为学生,在平时的学习中既要认真学好物理知识,还要努力提高自己的数学推理运算能力,注意数学知识和物理知识的结合。现从八个方面举例分析如下:

一、利用相似三角形在解题中的应用

例:如图示,将质量为m的小球,用长为L的轻绳吊起来,并靠在光滑的半径为R的半球体上,绳的悬点A到球面的最小距离为d(忽略小球半径)。

(1)求小球对绳子的拉力和对球体的压力。

(2)若L变短,问小球对绳子的拉力和对半球体的压力如何变化?

分析与解答:1)对小球进行受力分析:小球受三力处于平衡状态。通常问题中三力中的两力若有垂直关系,则可用三角函数知识解决。但本题中小球所受三力角度是任意的,却处于平衡状态,所以诸如此类问题一般用力的三角形与几何三角形相似列对应相似比列式解决最好。由图知,涂上阴影的大小两个三角形相似,

于是有:

得:

(2)由上两式知:L变短,F变小,N不变。

二、利用二次函数配方法求极值在解题中的应用

大家都知道对于函数y=ax2+bx+c将其配方后有:

利用此结论解决物理问题会有意想不到的效果。

例1如下图,一物块以v0=10m/s沿光滑地面滑行,然后沿光滑曲面上升到顶端水平高台上并由高台飞出,问高台高度多大时,小物块水平飞行的距离s最大?最大距离是多大?(g=10m/s2)

分析与解答:物体从滑上高台到从高台上飞出过程机械能守恒。设物体从高台上飞出的速度为v,则有:

由平抛运动规律可知:

由上式可知:当h=时,s最大。即:h==2..5m时,最大飞行距离s=2• =5m

例2:已知电源电动势为E,内阻为r,外电路总电阻R,学了闭合电路欧姆定律后经常涉及讨论电源的输出功率,有 P出=I2R,又I=,将其代入得:

P出= 将该式进行配方处理

得:P出= =

可看出,当R=r时, P出有最大值。即Pmax= =。

此时电源的效率η=== =50%

三、根的判别式在解题中的应用

对于二次方程ax2+bx+c=0,当判别式=b2-4ac≥0时,有实数根,利用此性质会给解题带来方便。

例1如图1示电路,滑动变阻器的总电阻R=8Ω,电源电压U=4V,

图1图2

内阻不计,问变阻器的触头P在何位置时,电路中的总电流强度最小,这个最小电流值是多少?

分析与解答:滑动变阻器的阻值R可看成被滑片P分成左右部分的R2、R1并联而成,这样可将图1改画为图2,其中R1+R2=R。当滑片P滑动时,电路上电流强度可由I=求出。

解电路上的总电阻为:

将上式整理得R12-R1R+RR总=0.

此式可看成关于R1的二元一次方程,R1必有实数解。则

=b2-4ac=R2-4RR总≥0,故R总≤=2Ω

可见 R总的最大阻值为2Ω。由欧姆定律知,当电路上的电阻最大时,其对应的电流则为最小,

当然,此题也可利用二次函数配方法求解得出。

例2 两分别带电荷的相同金属小球,相距较远距离时的静电力为F,将两球接触后再放回原处,相互静电力仍为F。则两球原来所带电荷为:

A.可能为不等量同种电荷

B.不可能为异种电荷

C.可能为不等量异种电荷

D.可能为等量异种电荷

分析与解答:首先设两小球带电量大小分别为Q1、Q2,相距为r。

则原来的静电力为F=KQ1Q2/r2(1)

(1)若两小球带同种电荷,则接触后

每个带电量都为 ,再放回原处其静电力为

F=K (2)

即 Q1 Q2=

由基本不等式的推论知必有Q1=Q2即两小球必为等量同种电荷

(2)若两小球带异种电荷,则接触后每个带电量大小都为再放回原处其静电力为

F=K (3)

即:Q1Q2=

整理得Q12-6Q1Q2+Q22=0(4)

这里可将(4)式看成以Q1为未知量的一元二次方程,要使方程有解,须≥0由于=b2-4ac=36Q22-4Q22=32Q22>0,Q1有不等根。

可知若两小球带异种电荷,则为不等量异种电荷。

由此可知此题应选C

四、利用等差等比数列的求和在解题中的应用

对于a1、a2、a3…、an若为等差数列,则Sn= ;若为等比数列,值为q,则Sn= 将其应用于解答多体问题,会感到很方便。

例1如图光滑水平面上钉两根铁钉A和B相距0.1m,长1m的柔软细绳栓在A上,另一端系一0.5的小球,小球初始位置在AB连线A的一侧,把细线拉紧给小球以2m/s的垂直细线方向水平速度,使其做圆周运动,由于铁钉存在使线慢慢地绕在A、B上,若线不断裂,小球从开始运动到细线全部缠在AB上需要多长时间?

分析与解答:小球交替绕A、B做匀速圆周运动,因线速度不变,随转动半径的递减0.1m,有:总路程s=π(r1 +r2 +r3+…+rn )

而r1 +r2 +r3+…+rn== =5.5m

t= = ≈8.64s

例2光滑水平面上自左向右等距离依次放着质量为2n-1m的一系列物体(n=1,2,3,…)另一质量为m的物体A以水平向右的速度v运动,若A物与物体1相撞后粘在一起并依次撞下去,且每次碰后即粘在一起,求发生n次碰撞后,A物具有的动能。

分析与解答:物体相碰撞过程所受外力之和为零,整个过程动量守恒。取碰前为初状态,碰n次后为末状态。m1=m,m2为质量是2n-1m的一系列物体的总质量。

(利用等比数列求和公式)于是有m2= =m(2n―1)

由m1v=(m1+m2)v′v′=

碰后A物具有的动能 EKA′= mv′2=

五、基本不等式的推论在解题中的应用

1.a>0,b>0,当ab=定值,则a=b时,a+b最小

2.a>0,b>0,当a+b=常量,则a=b时,ab 最大,a与b相差越多乘积越小。

例1已知均匀杆每米重3N,今将其一端O支起,并将一重P=30N的物-体挂在距支点0.2m的A点。为保持杆水平在杆的末端施一向上的力F,当杆长等于多少时,F取最小值?这个力是多少?

分析与解答:设杆长为x米,由固定转轴的平衡条件可知:

Fx=P•OA+3x•x/2F=6/x+1.5x

6/x•1.5x=9是一定值,6/x=1.5x时,F最小。

即x2=4,x=2时,F值最小,其值为 +×2=6N

例2 科学探测表明,月球上至少存在丰富的O2,Si,Al,Fe等资源。设想人类开发月球后不断将其上矿藏搬到地球上。假定经长期开采后,月地仍可看成均匀球体,月球仍沿开采前轨道绕地球运动,与开采前相比,月球与地球间引力怎样变化?

分析与解答:搬运矿藏后,会使地球质量比月球大得更多,但它们的质量总和不变。设其质量分别为m1和m2,由万有引力定律有F=G

再由m1+m2=定值时,当m1=m2,m1、m2的乘积最大,m1、m2相差越多,乘积越小知,不断开采月球后,由于月球到地球的距离不变,引力将减小。

六、比例的方法在解题中的应用

解决物理问题常用解析的方法,即:利用物理公式,一步一步地从已知向未知求解。但有时巧妙地采用比例法求解,会使其过程更简洁,从而起到事半功倍的效果,这就要抓住联系两比例式的中间纽带。

例一个单摆在地面上的周期为T,当将此单摆放到离地面某一高度的地方时,周期为3T。则此高度为地球半径的多少倍?

分析与解答:同一单摆的周期与重力加速度g有关,而摆球放在离地不同高度的位置时的重力加速度g不同。这里g值就是联系单摆周期和地理位置的纽带,所以列比例式有:

由g= 有:= (1)

又由g= 有:= (2)

由(1)(2)两式有= h=2R

七、三角函数在解题中的应用

物理学习中常碰到一些物理量可表示为cosθ•sinθ的形式,此类物理量在问题中常涉及到求极值,这时用三角函数法求解就显得非常方便与容易。但这类问题要求学生能熟练掌握几种常用的公式变换及一些特殊角度的三角函数值。

例 一根长度为L的杠杆(如图示),A端所挂重物为G,为保持杠杆平衡,用一根定长为S的绳子拉住,已知S

分析与解答:解此题的关键是求出动力臂L1。过交点O作

S的垂线OM,则动力臂L1=S•cosθ•sinθ。

解根据杠杆原理得G•L=F1•S•sinθ•cosθ

F1==

上式中当sin2θ的值为最大时,F1极小,故当θ=45°,即绳子与水平方向的夹角为45°时,绳子的拉力有极小值,F1=

八、二次函数求根公式在解题中的应用

利用一元二次方程求根公式得到的解可能为正值可能为负值,若将解与物理量联系起来,分析解是否具有物理意义会使物理问题的分析简洁明了。

例在平直轨道上的甲、乙两物体相距为s,同时、同向开始运动,甲以初速度v1、加速度a1做匀加速直线运动,乙做初速度为零、加速度为a2的匀加速直线运动。假设甲能从乙旁边通过。试讨论在1)a1=a2时,2)a1>a2时,3)a1

分析与解答:解答本题首先应理解题意分析运动的性质,找出两个物体可能相遇的位移关系并加以讨论。

甲的位移 s甲=v1t+a1t2

乙的位移s乙=a2t2

相遇时两个物移关系为:

s甲=s+s乙

整理得:(a1-a2)t2+v1t-s=0

讨论:

(1)当a1=a2时,t=,上式有唯一解,说明甲、乙两物体只能相遇一次。

(2)当a1>a2时,t=,t有两解,但t的负值无意义,另一解是正值,说明甲、乙两物体只能相遇一次。

(3)当a1

作者单位:陕西省汉中市第七中学