高中概率论中的一个易错概念

摘要：在教学中经常碰到不可能事件和必然事件，我们都知道其相应的概率分别是0和1；但概率是0和1时，常有人相应地误以为它们一定对应着不可能事件和必然事件。本文讨论的就是这种错误思想的成因，和用具体例子来正确认识这个问题。

关键字：概率的统计定义 概率的古典定义 概率的公里化定义 测度

概率论是研究自然界、人类社会及技术过程中大量随机现象规律性的一门数学分支。随着现代科学技术迅速发展，这门学科得到蓬勃发展，在自然科学、经济、人文、管理、工程技术等众多领域有越来越多的应用。

但在我们高中阶段引入概率知识后，本人发现很多学生在学习了概率的初步知识后认为“概率是0相应的事件就不发生”，在本人的教学学习活动中也发现不少教师在这一概念上不甚清楚，甚至给出“概率值是1相应的事件必然发生”这样犯了科学性错误的结论。下面我们先来看两个例子。

例1．抛掷一颗骰子（假设骰子的质地是均匀的），它落地时 向上的数可能是1，2，3，4，5，6中六个数字之一，求结果是3的平方的概率。

例2．在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任 取6件，求取得的6件产品都是次品的概率。

如以上这样的例子，其所求中的事件都是不可能事件，不可能发生的，相应的概率值都是0，因此造成很多人认为“概率是0相应的事件就不发生”。

接下来我们再看两个例子。

例3．在自然数集里任取一个数，求取到的数恰好是2的概率。

例4．在闭区间 上任取一个数，求取到的数恰好是 的概率。

在这两个例子中，我们很容易得到所求事件的概率都是0。但是我们也很显然的知道，在例3和例4当中的事件并不是不可能发生的，不是不可能事件，在这两个例题中的事件都有可能发生！“概率是0相应的事件就不发生”这个结论在这两个例题中是错误的！

是什么原因造成这种结果呢·其实是我们在教学过程中没有很好的把握概率学中的基本概念，没有深刻理解概率的定义。

其实概率的定义有多种形式,如以下三种定义形式：

1.概率的统计定义：在相同的条件下做大量的重复试验，一个事件出现的次数k和总的试验次数n( )之比，称为这个事件在这n次试验中出现的频率。当试验次数n很大时，频率将‘稳定’在一个常数附近。n越大，频率偏离这个常数大的可能性越小。这个常数称为该事件的概率。

2.概率的古典定义为：在随机试验中有这样一类随机试验，试验的结果只有有限多个，且这些试验结果出现的可能性都是等可能的，称这样的试验为古典型随机试验。对于古典型随机试验，如果试验的全部结果有n个，其中有且仅有m﹝m n﹞个结果导致随机事件A发生，则称比值m/n为随机事件A的概率。

3.概率的公理化定义为：概率是定义在 F上的一个非负的、规范的、可列可加的集函数。

在高中课程中我们学习了概率的统计定义和古典定义。如果使用统计学派的定义，那在我们讨论时，频率与概率两个概念的区别要弄清楚，概率是频率的极限，而若频率是一个无穷小量，那么它的极限即概率为0，但并不意味着这件事情不会发生，这是概率统计课程中的小概率原理。也就是说，在作统计推断时，认为在一次试验中，概率很小的事件几乎不会发生，若该事件发生了，就认为事件的概率不是很小，这种合乎情理的推理原理称为小概率原理。小概率原理之所以合乎情理，它的理论依据是伯努利大数定律。伯努利大数定律指出：事件A发生的概率与其发生的频率很接近，这样概率很小的事件发生的频率也很小，因而在一次试验中就认为A不会发生。但如果重复进行了次数足够多的实验，小概率事件还是会发生。概率为0的事件有两种，一种是频率和概率都为0的不可能事件，另一种是“频率”为无穷小量的“零概率”事件，当实验的次数足够多，后一种事件可能发生，这就是0概率事件可能发生。

在古典概率中对于概率的定义中很重要的一点是：随机试验只有有限个不同的基本事件。因此在古典概型中，0概率事件不可能发生，必为不可能事件，“概率是0相应的事件就不发生”这个结论在古典概型中是正确的！而例3和例4相应于例题中的问题而言不是古典概型，没有满足古典概型中要求所有可能结果“有限”这个条件。

例3中所求的概率值可以认为属于频率的极限值，是根据概率的统计定义得到的；例4中的概率值可以看作是由概率的公里化定义得到的，点 的测度是0。

所以简单地认为“概率是0相应的事件就不发生”，这实际上是对数学中的概念定义不清造成的理解歧义。因此，0概率事件可能发生也可能不发生。从而，根据对立事件的相互关系，我们还可进一步地得到结论：概率是1的事件可能发生也可能不发生！如：

例5．在闭区间Ω=[0,1]上任取一个数，求事件A：取到的数在区间[0,1)内的概率。

解：按照几何概率：

例6.有一个随机点在Ω={(x,y)|x2+y2≤1,x∈R,y∈R}上随意游动, 令A={(x,y)|x2+y2

解: 按照几何概率:

在上面两个例题中A的概率虽然都为1,但在例5中可能取到点1；在例6中有可能取到 上的点。也就是说，事件A发生的概率即使为1也不一定发生，概率是1的事件不一定是必然事件！

参考书目：

（1）《概率论与数理统计教程》魏宗舒等编

（2）《概率论基础及其应用》王梓坤

（3）《高中新课程必修课教与学》王林全等

（4）《实变函数与返函分析基础》程其襄