如何求曲线的极坐标方程及参数方程

摘 要：数学和哲学是有联系的，运用哲学思想、方法论可以很快地解决数学问题。利用联系、变化、发展的观点，观察、看待、解决曲线的极坐标方程及参数方程问题，并且给出五个典型例题加以说明.

关键词：极坐标方程；参数方程；运动；变化

哲学的唯物辩证法告诉我们，世界上的一切事物都处在普遍联系之中，没有孤立存在的事物，整个世界就是一个普遍联系的统一整体.要求我们坚持用联系的观点看问题，具体地分析事物之间的联系.根据事物的固有联系，改变事物的状态，改变条件，创造条件，建立新的具体联系.数学和哲学是有联系的，运用哲学思想、方法论可以很快地解决数学问题.下面用唯物辩证法思想、方法论帮助我们分析问题、解决问题，进而简单、快捷地求出曲线的极坐标方程及参数方程.

一、运用唯物辩证法思想、方法解决求曲线极坐标方程问题

1.一般的，求曲线极坐标方程步骤是：

①建立适当的极坐标系；

②在曲线上任取一点M（ρ，θ）；

③根据曲线上点所满足的条件写出等式；

④用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；

⑤证明所得的方程是曲线的极坐标方程.

在具体求曲线极坐标过程中，步骤③：根据曲线上点所满足的条件写出ρ，θ的等式是个难点.这就需要运用哲学上的唯物辩证法思想，利用联系发展的观点，观察、看待、解决这个问题.

2.为求曲线上任一点M（ρ，θ）满足的关系式，我们细分三个步骤：

①运用联系的观点：联系点M的极坐标ρ，θ的几何特征，即ρ为点M到极点O的距离，θ为OM与极径OA所成的角；

②运用运动变化的观点观察问题：为求曲线上任一点M（ρ，θ）满足的关系式，让点M在曲线上运动起来.然后观察点M在运动的过程中哪些量是变化的，如，ρ，θ变化；哪些量是不变化的，其中不变的量实际上是曲线的固有特征；

③再运用联系发展的观点解决问题：将②中变化的量与不变化的量建立新的具体联系，进而得到ρ，θ等式.

3.下面看几个具体例子：

例1.如图1，在极坐标系下半径为a的圆的圆心坐标为C（a，0）（a>0），求此圆的极坐标方程.

分析：（）取M（ρ，θ）是圆上除O、A以外的任意一点（联系点M的极坐标ρ，θ的几何特征）

二、运用唯物辩证法思想、方法解决求曲线参数方程问题

一般的，求曲线参数方程步骤是：

①建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标（x，y）；

②写出适合条件的点M的集合；

③用坐标表示集合，列出方程；

④化简方程为最简形式；

⑤证明所得的方程是曲线的参数方程.

求曲线参数方程的难点是“引入参数”.运用我们前面提到的哲学思想世界上的一切事物都处在普遍联系之中，没有孤立存在的事物，整个世界就是一个普遍联系的统一整体.用变化、发展、联系的角度看待问题，“引入参数”这个难点很容易突破.

例4.如图4所示，设圆O的半径是r，点M从初始位置M0出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，求圆的参数方程.

分析：（）设M（x，y）是圆上任意一点

（）让点M在圆上动起来，观察，当点M在直线上运动时，哪些量是变化的？哪些量是不变化的？（如图）

点M坐标，∠MOX=θ是变化的；OM=r是不变的.

（）建立变化量与不变量间的关系.即

求解过程略.

例5.已知边长为a的等边三角形ABC的顶点A在y轴的非负半轴上移动，顶点B在x轴的非负半轴上移动，求顶点C在第一象限内的轨迹的参数方程.

分析：（运用运动变化的观点观察问题）

如图，（）设C（x，y）为轨迹上任一点.

（）观察：当点A，B在y轴和x轴非负轴上运动的过程中，哪些量是变化的？哪些量是不变化的？

变化的量：∠ABO的大小，∠CBD的大小，C点的坐标

不变化的量：线段AB，BC的长度，∠ABC的大小

（）建立变化量与不变量间关系.过点C作x轴垂线即可.

因此，方程（1）为顶点C轨迹的参数方程.

通过上面五个例题展示，我们可以体会到，运用联系、变化、发展的观点分析问题，任何求曲线轨迹方程的问题都可以迎刃而解，而且思路变得简单，统一；运用马克思主义哲学指导数学学习和数学教学，就可以使我们在高中数学学习中避免或减少失误，少走弯路；以马克思主义哲学思想为武器，用马克思主义哲学的观点去分析、解剖数学内容和数学的教学过程，用马克思主义哲学的思想去统帅数学的思想和方法，才能透彻明了地看待数学问题的思路，清晰、辩证地讲解数学演绎的逻辑过程，才能掌握好数学的思想和精神.

参考文献：

贾庆军.世纪金榜：高中新课程全程学习方略：数学・选修.陕西出版集团未来出版社，2011.

（作者单位 宁夏回族自治区银川市育才中学）