新课标高考中均值不等式典型问题归纳

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）10-0146-02

新课标改革后，均值不等式部分有较大精简，但是均值不等式求最值题型一直是高考数学中常见题型，我们经常提到的是“一正二定三相等”。在解题的过程中，有题目需要凑，有题目需要构造，还有题目需要用函数性质，本文从基本概念到典型问题给予探究。

一、公式的意义

1.对于任意实数a，b，a2+b2≥2ab当且仅当a=b时，等号成立。

证明：a2+b2-2ab=（a-b）2，当a≠b时，（a-b）2>0；当a=b时，（a-b）2=0，当且仅当时，等号成立。

2.如果a，b，是正数，那么■≥■，当且仅当a=b时，有等号成立。此结论又称均值不等式或基本不等式。

证明：a+b-2■=（■）2+（■）2=（■-■）2≥0，即a+b≥2■，所以■≥■。

说明：1）我们称■的算术平均数，称■为a，b的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

2）a2+b2≥2ab和■≥■成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数。

3）“当且仅当”的含义是等价。

二、均值不等式的几何解释

对于任意正实数a，b，以AB=a+b的线段为直径做圆，在直线AB上取点C，使AC=a，CB=b，过点C作垂直于直线AB的弦DD′，连接AD、DB、如图已知RtACD-RtDCB，那么DC2=AC+BC，即CD=■。这个圆的半径为■，显然■≥■，当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立。

三、均值不等式推导极值定理

（1）若x+y=s（和为定值），则当x=y时，xy取得最大值是■；

证明x，y都是正数，■≥■，有x+y=s，xy≤（■）2=，当且仅当x=y时，xy取得最大值是■；

（2）若xy=p（积为定值），则当x=y时，x+y取得最小值是2■；

证明x，y都是正数，■≥■，当且仅当x=y时，等号成立，又xy=p，x+y≥2■。

注意：利用极值定理求最大值或最小值是应注意：

①注意均值不等式的前提条件：函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式； ②求积xy最大值时，应看和x+y是否是定值；求和x+y最小值时，看xy是否为定值；③通过加减的方法配凑成使用算术平均数与几何平均数定理的形式；④注意“1”的代换；⑤等号是否成立： 只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值，否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值。

运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等。

四、对勾函数与均值不等式

函数y=ax+■（a>0，b>0）在（-∞，-■）或（■，+∞）上单调递增；在（-■，0）或（0，■）上是单调递减

五、典型例题

（1）基本应用

均值不等式的简单应用是常见题目，要注意“正、定、等”的具体概念和使用。

【例1】若x>0，则2+3x+■的最小值是____。

答案：2+4■

（变式1）求函数y=■（x>0）的最大值，以及此时x的值。

答案：当x=2■时，y=1-2■

点评：第一题是一道基础题目，均值不等式最基本应用就是针对两个分子分母乘积为定值的代数式进行运算的。变式1涉及到了系数为负数的时候变化。

（2）项数变形

在利用均值不等式时，有时往往需要对项数加以变形处理，使之满足均值不等式的要求，为利用均值不等式求解创造条件。

【例2】求函数y=3x2+■的最小值。

解析：

y=3（2+x2）+■-6≥2■=8■-6[3（2+x2）=■取等号]

所以当x=±■，ymin=8■-6

点评：目标求和的最值，尽可能凑定积，使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号，是解决本题的关键之所在。

练习1： 已知x>■，求函数f（x）=2x+1+■的最大值。

分析：题目中，又（2x+1）・■不是定值，所以要对常数加以增减、拆、凑等处理。

解析：

f（x）=2x+1+■=2x-5+■+6

≥2■+6=8，

当且仅当2x-5=■时，即x=3时等号成立，

所以当x=3时，函数f（x）的最大值为8。

练习2：设x>-1，求函数y=■的最小值。

解析：

y=■=x+1+■+5

≥2■+5=9（x+1=■取等）

所以仅当x=1时，ymin=9。

点评：先尽可能的让分子变量项和分母相同进而凑出乘积定值的两部分，必要的时候也可以进行换元法。

（3）取不到等号（均值不等式失效情形的处理）

对策：在求解的过程中，有时会出现“凑出了‘常数’却取不到‘等号’”的现象，建议用对勾函数图象或者单调性的办法。

【例3】已知x≥3，求y=x+■的最小值。

答案：显然，函数在当x≥3时是单调递增函数，所以在时x=3，y=■即为最小值。

练习：（2013年北大附中高一下学期期中考试）求函数y=■（x∈R）的最小值。

解析：由y=■=■+■，令t=■≥3，则易证y=f（t）=t+■（t≥3）为增函数ymin=f（3）=3+■=■。所以当■=3，即x=0时，ymin=■。

（4）“1”的使用

【例4】已知x，y均为正数，x+y=2，求■+■的最小值。

答案：由于x+y=2，所以■=1，■+■=（■+■）・（■）

展开获得：2+■（■+■）≥2+■・2■=2+2■

当且仅当x=■-1，y=3-■时取到等号。

点评：这道题属于固定题型，“1”的构造方法常见于本题。

（5）配凑法

均值不等式给了两个形式，而如何使用，经常需要构造，根据题目已知或者所求进行变形，属于比较困难的题目。

【例5】（2010年北京丰台1模）设a>0，b>0，a+b+ab=24，则（ ）

A. a+b有最大值8 B. a+b有最小值8

C. ab有最大值8 D. ab有最小值8

答案：显然a+b+ab≤a+b+■，即：24≤a+b+■

设t=a+b，（t>0），则24≤t+■，容易解出t≥8，故选择B项。

总结：新课标改革以后，均值不等式部分题型相对精简了内容，题型主要是上述题目，只要同学们抓住关键题型，深刻理解均值不等式的含义，相信这部分内容会很快融会贯通。