以数学控制模型为视角的加减速控制方法研究

摘 要：本文对几种常用的加减速方法进行了对比研究，并对步进电机加减速控制曲线进行总结。并从数学控制模型展开详细论述和对比，借助数学工具和矩频特性分析了各方法的优缺点和适用场合。最后提出了在控制方法上的思路：结合两种或多种曲线模型确定是一个可持续发展的曲线模型。

关键词：步进电机 加减速控制 数学模型 指数型

1.对步进电机的研究背景及意义

步进电机是一种将具有一定序列规律的电脉冲转化为角位移或者线位移的电磁执行机构，其动作原理是依靠气隙磁导的变化来产生电磁转矩，常用开环控制，并具有快速停启能力强、精度高、惯性小和无误差积累等优点。

在开环控制系统下，输入一个脉冲信号就得到一个规定位置的增量，这样的控制系统与传统直流控制系统相比，成本明显降低，且几乎不必重新调整系统，就能获得很高的控制精度，既简单又可靠。

但是在这种开环控制方式下，负载对控制电路没有任何反馈，这就需要步进电机每次都能够及时响应励磁的变化。出于系统对快速性的要求，必须为电机提供合理准确的加减速运行曲线，找到尽可能合理的加减速控制数学模型，进一步提高步进电机的运行效率[1]。

2.加减速控制总体介绍

由步进电机矩频特性曲线可以知道，步进电机的输出转矩随着脉冲频率的加大而减小，启动频率越高，启动转矩越小，电机的带负载能力就越小，那么在启动时就容易引起漏步、失步现象。为了减少失步现象，同时又能够达到所需运行速度，关键就在于在加速或减速过程中所需要的转矩既能够充分利用各频率下步进电机能够提供的转矩，又需要不超过该转矩值[2]。

一般情况下，电机的极限频率比较低，但是运行速度又要求比较高，若电机以要求达到的速度启动，启动频率将会超过极限频率，从而导致堵转现象[3]。所以为了控制步进电机更好地运行，需要建立一个加速-恒速-减速的控制模型。

3.加减速控制曲线模型介绍

目前，不少学者都对加减速控制过程进行了深入研究，也分别提出了一些加减速控制算法的模型，目前国内外的步进电机控制算法曲线模型主要有以下几种：直线型、阶梯型、S型和指数型[4]。下面对这四种加减速模型作详细介绍：

3.1直线型加减速模型

直线型又可分为三大类：当运行时间较长时，有加速-匀速-减速三个过程；若运行时间比较短，则只有加速-减速两个过程；其中，无匀速的控制模型还可以分为加速到最高速度就减速和加速到介于起跳速度和最高速度之间就减速两类情况。

在这种控制方式下，电机以一个恒定加速度运行，速度以直线规律变化,但是由于速度呈现直线上升或下降规律，不完全符合步进电机的速度变化规律，存在阶跃现象，加减速控制方法并不理想。，所以这种控制方法主要适用于电机运行速度比较慢，对升降速过程要求不高的场合[5]。

3.2 阶梯型加减速模型

对于这种加减速控制方法，在《基于单片机的步进电机加减速的控制方法》一文中，雷秀和李世忠对其有过具体研究，其主要思想如下：

在该种加减速模型下，电机的运行总是在经历加速、匀速或减速、匀速阶段。假设步进电机以频率f0启动后，以加速度加速，设至t1时刻达到最大频率fm，后匀速运行，直到t2时刻减速，在tm时刻停止运行，总运行补数为N，以此反复运行。

在该控制方法下，脉冲逐级给进，电机速度相应逐级上升，但是电机存在有很多的匀速阶段，这就浪费了电机在该阶段的加速性能，而且电机速度越高，这种阶梯式的加速方式就越难进行，在高频阶段步进电机可能会产生失步现象[6]。

3.3 S型加减速模型

在《基于S型曲线的步进电机加减速的控制》一文中，北京交通大学的杨超和张冬泉对该控制方法做了具体研究，介绍如下：

S型曲线模型主要包括以下七个阶段：加加速阶段、匀加速阶段、减加速阶段、匀速阶段、加减速阶段、匀减速和减减速阶段[7]，如图2所示：

下式描述了该模型的速度曲线，其中，变量表示每个阶段起始时刻步进电机的速度[8]：

这种S型加减速曲线模型中的任何一点的速度变化都是连续的[9]。这就可以避免柔性冲击，控制精度高，从启动至加速的光滑过渡使电机和整个机械系统的使用寿命提高，但该方法计算量较大，不能够同时满足对运行时速度的快速性要求，适用于速度精度控制要求较高的场合[10]。

3.4 指数型加减速模型

在指数型控制中，开始阶段加速度最大，它随着电机运行速度的加大而变小，即电机运行速度上升得越来越慢[11]。设步进电机的阻力转矩T1=Kt，负载转矩是加速转矩J，那么负载的运动方程即为[12]：

J=T0-Kt （2）

假定转速是从零开始升速的，即当初始值t=0,=0为时，式（2）的解为

w=(1-e-t/),= （3）

若驱动脉冲的频率用f来表示，由=K带入式（4），可得：

f(t)=fm-fme-t/ （4）

由式（4）可知升速算法：

fr=fm- fme-t/ （5）

在程序运行时，若运行速度为fg，从式（5）可以算出电机的升速时间：

tr=tr=[Infm-In(fm-fg)] （6）

将升速段均匀地离散化为n段，由式(6)可以得到上升时间为tr，则相邻两次速度变化的时间间隔均为tr=tr/n，其中n即为阶梯升速的阶梯数[14]。

每一个阶梯的频率为

fk=fm-fme-ktr/(k-1,2,3,…,n)，

各个阶梯速度的运行步数为

Nk=fk*t=fk*tr/n （7）

则升速的总部署Nr为

Nr=Nk (8)

用该指数规律加减速控制方式能够充分保证步进电机的运行稳定，同时能够兼顾S型曲线控制方式不能够达到的升降快速性要求。采用该指数型加减速控制算法基本与理论结果相符。但是其计算过程复杂，且加速时间较长。

4.直线与抛物线相结合的加减速控制模型

在综合比较和总结了以上各加减速控制方法的优劣后，觉得单一的一种曲线模型控制形式已经满足不了步进电机在加减速控制过程中的需求，于是我们提出了一种新的加减速方式—直线与抛物线相结合的加减速控制模型。

首先模型图如下图3所示：

步进电机的升速过程如图3所示，升速曲线共有三段组成，第一、第三段位抛物线，第二段为直线。则三段曲线的方程如下：

（10）

为了使步进电机运行平稳，应该使各段加速度曲线之间过渡平稳，即过渡处函数的斜率及函数值均应该相等，由此便可得各段曲线的参数。

设=fc-f2=f1-f0,f=0.05*(fc-f0) （11）

则对曲线C1有：

f1=f0+f=b(t1-t0)2+fc =2b(t1-t0) （12）

可得：b=,t1=+t0

对曲线C2有：

f1=fc-f=-b(t2-tc)2+fc=-2b(t2-tc) （13）

同样可得：：b=,t2=+tc

利用各段曲线的f-t函数关系式，对f(t)函数进行积分。即可得各段曲线所对一个的控制脉冲数：

那么加速段的总脉冲数为：

P=Pc1+Pl+Pc2 （17）

利用脉冲计步法，选定每个频率接地所需的脉冲数P，即可得到加速段的频率阶梯数： N=P/P （18）

设时刻时，步进电机控制器发出第N脉冲：

(19)

从式（19）中可看到，N的表达式是t的方程。故可以采用牛顿迭代法求得控制器所发出的第N个脉冲的时刻：

（20）

将式（20）迭代若干次，就可以求得足够精确的t(n)。后将之带入式（10），就可以求得每一个n所对应的f(n)，并由f和T的倒数关系求得T(n)（定时器的装载值）。

5.总结

本文对国内外的步进电机加减速控制方法进行了全面分析和研究，可知步进电机速度控制方式主要有直线型、阶梯型、S型和指数型。当以直线型控制时计算最简便，加速时间短，但会出现冲击震荡的现象；阶梯型控制方法则存在很多的匀速阶段，浪费了电机本身的加速性能，可能会出现震荡而引起失步；S型方式比较平缓，控制精度相对较高，不易产生冲击震荡的现象，但是不能更好的满足电机运行快速性的要求，适用于对精度要求较高的场合；指数型控制方法较符合步进电机固有的特性曲线，该方法不仅冲击震荡小，且能够满足电机快速启停的要求，但是加速时间还是比较长。

以上四种步进电机加减速控制的方法各有千秋，且每一种都不仅延续了前一种的优点，且能够有所创新，越来越接近理想的控制曲线，但是不得不说，每一种都有着各自的弊端，远非理想。

所以我们觉得单一的一种曲线模型控制形式已经满足不了步进电机在加减速控制过程中的需求，而日后一个可持续发展的模型思想是可以结合两种或多种曲线模型，发掘一个最符合电机运行需求的控制方式。

参考文献：

［1］黄勇，廖宇，高林.基于单片机的步进电机运动控制系统设计.电子测量技术.湖北民族学院信息工程学院.2008.

［2］王建，张玉峰，李磊.步进电机加减速控制技术研究[J].工矿自动化，2006，06.

［3］黄兆斌，黄云龙，余世明.几种步进电机加减速方法的对比研究及其应用.机电工程.浙江工业大学.2011.

［4］王建，张玉峰，李磊.步进电机加减速控制技术研究.西安科技大学，陕西西安.2006.

［5］李晓菲，胡泓，王炜，程云涛.步进电机加减速控制规律.机电产品开发与创新.哈尔滨工业大学.2006.

［6］李世忠，雷秀.基于单片机的步进电机加减速的控制方法.内蒙古工业大学.2005.

［7］周明安，朱光忠.宋晓华.步进电机驱动技术发展及现状[J].机电工程技术，2005,2.

［8］杨超，张冬泉.基于S曲线的步进电机加减速的控制.北京交通大学.2011.

[9] 姜德美，谢守勇，甘露萍.步进电机改动控制算法设计[J].西安大学学报自然科学版.2007.

[10] 黄楚芳，陈鸿.步进电机加减速控制器的设计.山西电子技术.中北大学，仪器科学与动态测试教育部重点实验室.2009.

[11] 李海波，何雪涛.步进电机升降速的离散控制[J].北京化工大学学报（自然科学）2003,30卷，01期.

[12] 赵奉先.提高步进电机运行速度的研究[J].仪表技术与传感器，2000,02.

[13] 黄诗涌，王晓初，廖永进，徐震，易理告.一种高性能的步进电机控制系统设计[J].微计算机信息，2006，卷22,16期.

[14] 陈学军.步进电机细分驱动控制系统的研究与实现.电机与控制应用，2006,06.