数学建模在高等数学教学中的体现

【摘要】数学的思想和方法与计算机技术的结合，使数学的内容物化为计算机的软件技术，从而使人们认识到学会数学的重要性，而数学建模就是用数学方法去解决实际问题，数学思维的建设显的尤其重要，如何在高等数学课程教学中体现数学模型建设更重要。

【关键词】数学建模 高等数学 教学

【中图分类号】O13 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）10-0150-01

一、数学建模的重要意义

在人们认识世界和改造世界的过程中，对数学的重要性及其作用逐渐形成了自己的认识和看法，并不断的发展。尤其是数学的思想和方法与计算机技术的结合，使数学的内容物化为计算机的软件技术，从而使人们认识到学会数学的重要性。高等数学课程的教学就不能仅仅是传授学生数学知识，教给他们一套从定义到定理的体系，而应该教会学生数学的思想方法，结合实际问题说明数学的来龙去脉，他们才觉得高等数学不是枯燥无味的，对现在的学习和今后的数学建模都是大有益处的。

数学建模是数学在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型。数学建模是指对现实世界的一些特定对象，为了某特定目的，做出一些重要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构，用它来解释特定现象的现实性态，预测对象的未来状况，提供处理对象的优化决策和控制。今天新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，使数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予了更为重要的意义。

二、数学建模思想在高等数学课程教学中的运用

高等数学教学的重点是提高学生的数学思维，学生的数学思维主要体现为：抽象思维和逻辑推理的能力；数学模型是工程问题与数学问题之间的桥梁，也是数学思维与工程思维综合的结果，所以将数学建模思想和方法融入高等数学课程教学中是非常重要的。如今在一些教材中也渐渐的补充了与实际问题相对应的例子，如：科学出版社出版的《大学数学（文科类）》在每章中补充了一个数学模型。其实这就是实际应用中的一个简单的建摸问题。

下面我们就具体的例子来看看高等数学的数学建模的应用。

我们有如此的生活经验： 把四条腿的椅子往不平的地面上一放， 通常只有三只脚着地， 放不稳， 但只要稍微挪动几次， 就可以四脚着地放稳了。

如图所示， 我们以A、B、C、D表示椅子的四只脚， 以正方形 ABCD表示椅子的初始位置， 以原点为中心按逆时针将其旋转θ角，到位置A′B′C″D′，设椅脚与地面的竖直距离为d ， 则d是否为零可以作为衡量椅脚是否着地的标准， 而旋转椅子就是调整这一距离， 因此d是角θ的函数， 即 d = d（θ）。

由于椅子腿是中心对称的， 所以只要考虑两组对称的椅脚与地面的竖直距离就可以了。

设A、C两脚与地面距离之和为d1（θ）， B、D两脚与地面距离之和为d2（θ）， 有

d1（θ）≥0 ， d2（θ）≥0，

可以假设（1）d1（θ）， d2（θ）均是连续函数；（2）d1（θ）， d2（θ）中至少有一个为零，即d1（θ）・d2（θ）=0，不妨设θ=0时

d1（θ）>0 ， d2（θ）=0，

将椅子旋转90o后对角线AC与BD交换， 于是有

d1（■）=0 ， d2（■）>0，

设辅助函数f（θ）=d1（θ）-d2（θ），则f（θ）在[0，■]上连续， 且

f（0）=d1（0）-d2（0）>0， f（■）=d1（■）-d2（■）

故由零点定理可知， 至少存在一点θ0∈（0，■）， 使得f（θ0）=0， 从而

d1（θ0）=d2（θ0）

所以在旋转椅子时至少会有一次四个脚同时落地， 即可以放稳。

数学建模的思想引入高等数学的教学中，其主要目的是通过数学建模的过程来使学生进一步熟悉基本的教学内容，培养学生的创新精神和科研意识，提高学生应用数学解决实际问题的思想和方法。

三、数学建模思想在高等数学教学中的渗透

数学模型引入高等数学可以通过分析、计算或逻辑推理，正确、快速地求解数学问题，同时用数学语言和方法去抽象、概括客观对象的内在规律，构造出待解决的实际问题的数学模型。在讲述有关内容时与相应的数学模型有机结合，将看来十分枯燥的教学内容与丰富多彩的外部世界架起桥梁，可以收到事半功倍的效果。如讲解导数应用的过程中，可安排边际成本、边际利润、易拉罐的形状等实际问题的例子；讲解积分应用可介绍曲顶柱体的体积、单位流量、转动惯量等例子。

在数学概念中渗透数学建模思想，一切数学概念都是从客观事情的某种数量关系或空间形式中抽象出来的模型，数学概念是因为实际需要而产生是其他定理和应用的前提，因此在教学中应重视从实际问题中抽象出数学概念的过程，让学生从模型中切实体会到数学概念是因有用而产生出来的。在各章节学完之后，适当选编一些实际应用问题，引导学生进行分析，通过抽象、简化、假设、确定变量、参数、确立数学模型，解答数学问题，从而解决实际问题，有利于教学中贯彻理论和实际相结合的原则。教学中科学根据不同的内容选编不同的数学模型进行案例教学，可以先启发学生在课堂中观察、思考、再引导学生建立数学模型。选编案例时应遵循目的性、趣味性、代表性、科学性等原则。