数学开放题的教学

摘要：数学教学应建立在对学生积极鼓励，引导学生进行自主探索的以学生为本的创造型方式之上，而通过开放性问题的教学可以适应这种新要求，开放性问题的主要功能就是培养开放性思维能力，引起学生的猜想，讨论和争论，多途径寻找解题方法，满足学生的探究需要。

关键词：数学开放题；教学；开放性问题

中图分类号：G633.68文献标识码：B文章编号：1672-1578（2015）05-0238-02

数学开放题的教学方式和方法的探索、研究相继成为全面推进素质教育，深入开展教学改革的热点。要培养学生高层次的思维品质，提高学生发现、提出问题，进而分析、解决问题的能力，在数学学科教学中"引进"开放性问题，实行开放题教学，研究开放性题教学方式方法是必要的、有益的。

数学开放题有许多独到的教育价值。它能使几乎每个学生都有解决问题的机会，都能通过尝试解决问题去获得一些知识或者方法，从而使得"数学教育面向全体学生"这一新教育概念具备了一定的可操作性；它可以引发课堂内的数学交流，使得数学课堂真正成为学生从事数学活动的场所，通过交流大大加深对知识的理解。数学开放题有利于因材施教。学生之间的数学知识和能力差异是客观存在的。为了在课堂上尽可能的照顾到这种差异，已经有过许多的数学教学实验研究，如采用分层设计练习题的方法，这样有利于因材施教，但长期这样做，教师的工作量大，实际上难以做到。而开放题由于答案的不唯一性，解答时，有些答案可能容易得到，有些答案却难以找到；有些解答者可能是盲目地瞎凑，找到一个算一个，而有些解答者则试图寻找规律，有序地考虑问题，尽可能地避免答案的重复和遗漏，如此等等，正是开放性的这种层次性，能适应多层次的学生，为因材施教提供了很好的材料，还有利于让学生在解决问题的过程中获得对知识的生动理解，对数学技能的牢固掌握，从而培养其创新意识和能力。

"开放性问题应该是一个问题系列"。在教学中可以先抛出一个范围较广的问题，以激发学生的思维活动，然后通过问题系列，逐渐深入。

例如：在学习完"切线长定理"后，可向学生投放如下问题：

P点是圆O外一点，PA，PB是圆O的切线，你能从图中发现那些结论？然后让学生思考几分钟，接着教师可组织学生从边、角等不同角度研讨如下问题：

①连接AB，则AB与OP关系怎样？

②设OP与AB交于点C，则AC与BC关系怎样？

③设PO延长线与圆O交于点D，则AD，BD关系怎样？

④角AOB与角APB关系怎样？

⑤在AB上任取一点M，则角AMB与角APB关系怎样？

⑥在⑤中，过点M作圆O的切线交PA，PB分别于点E，F，角EOF与角APB关系关系如何？PEF的周长与PA，PB的关系怎样？从而将开放性问题适当组织成探究性问题，在研讨过程中，有的同学还可找出图中所有的直角三角形和等腰三角形、全等三角形和相似三角形，有的利用射影定理和相似推出若干组比例式和等积式等等，课后通过含有该图背景的综合题加以巩固，解题成功率大面积提高。

好的开放性问题是激发发散思维，培养创新能力的良好载体，开放性问题的教学要求开放性的教学模式与之相适应。即使一般的数学知识的传授，若采用"开放式"教学，可进一步优化课堂教学结构，提高教学效率。

例如：某中学由于深入开展素质教育，教学质量稳步提高。近年来，虽然高中毕业生的人数不变，但高考上线人数却逐年增加，具体数字如下：

年 份：2009201020112012

上线人数：116172220260

试预测该校2013年上线人数。

对于问题的解答，多数学生是从数学本身特点寻找规律。比如，注意到从左到右，相邻两数字之间依次为56、48、40，据此推测每年增加的上线人数依次减8，，2013年应有292人上线。这一方面说明，学生已有相当的观察分析和逻辑推理能力，但另一方面也反映了他们对随机概念还缺乏起码的了解。此时以"影响高考上线的因素有哪些？""前面的推理方法合乎情理吗？"进行启发和质疑。经过思考，多数同学顿悟，很快作出了否定的答案，其中有同学断言"2013年上线人数"只有到今年高考以后才能揭晓，现在无法准确预测。此时，教师再进一步点拨："可以近似预测吗？""如何近似预测？"，使问题讨论逐步深化。对此问题探索、讨论、争鸣、辨析使课堂气氛空前热烈，达到高潮，使"最大限度地保留原始数据提供的信息"这一最优标准顺理成章地成为结论，同时"平均值法"也就自然产生了。

学生在上述讨论的过程中，领悟到探索的价值，认识到这种获取新知识的方法与传统演绎法的差异，体现了群体中的个体优势，鼓励和倡导了创造性思维，开放的目的已经达到，学生的思维被激活，充分体现开放的活力。

在开放性问题的教学中，由于问题的不确定性和答案广泛性，需要展示的内容较多，因而时间安排必须紧凑；因此，多媒体教学更具优势，增大课堂容量，激发学生思维，同时采用小组学习、个人学习、竞赛式、成果发表式、质疑答辩式、游戏活动、教师讲解等交叉进行，灵活选用。

开放性问题的教学已为广大教师所重视，随着众多教师的积极参与和运用，开放性问题的内涵与题库会越来越丰富，必将对学生思维能力的培养和良好个性的形成起到更大的作用，对数学方法的改革产生更积极更深远的影响。