数学问题表征形式的教学探索

摘 要：对问题进行表征是问题解决的一个首要环节，提高学生的问题表征能力是提高学生解题能力的有效途径之一。问题表征从水平上可分为初始表征和深层表征。从形式上可分为内在表征和外部表征，其中外部表征又分为文字、符号、图形(表)和操作四种方式，结合实例说明了四种外在表征在教学中的应用，并建议在平常的教学中要引导学生对问题进行适当的多元表征。

关键词：数学问题；表征；探索

表征，在辞海中的解释是“揭示；阐明”。同时，它又是认知心理学中的一个重要的概念，意指知识在学习者头脑中的呈现和表达方式，是一个以已有的知识和经验为基础的建构过程。表征是客观事物的反映，又是被加工的客体。同一事物，其表征形式不同，对它的加工也不同。著名的科学家、认知心理学家和人工智能的创始人西蒙（Simon）指出：“表征包含了两个方面的含义：信息和对信息的加工。”

问题表征是指解题者通过审题,认识和了解问题的结构,通过联想,激活头脑中与之相关的知识经验,从而形成对所要解决的问题的一种完整的印象。

对一个问题作出的表征不是固定不变的，在问题解决过程中，随着信息的积累，可以从不适宜的表征过渡到适宜的表征，数学问题从形式上看以简单地分为两种：一种是内在表征,即学习者将外在的问题信息转化为头脑中内在的命题形式，其外在的表现就是学习者能有自己的话陈述问题的条件和目标。另一种是外在表征，即将问题以文字、符号、图表、模型等具体的东西表示出来。外在表征以内在表征为基础。外在表征以内在表征为基础。外在表征可以大大减轻工作记忆的负担，有利于问题的解决。数学问题的有效解决往往依赖于对问题的适宜表征，如何对数学问题进行外在表征呢？下面介绍几种外在表征的形式在教学中的应用。

一、文字表征

数学问题一般都以十分严谨而精练的数学语言表述，因此解释信息就成为表征问题的一项非常重要的工作。学生首先要用自己的语言重述问题，即用自己熟悉的方式对问题进行编码，使得许多问题成分变为自己熟悉的信息，从而便于理解和思维操作。

集合论是现代数学的基础，集合语言是现代数学的基本语言.学好集合语言是高中学生学好后继各章节知识的前提。但因集合语言的高度抽象性，使得许多学生在表征问题时出现困难。这题如果先引导学生用自己的语言写出两个集合A、B分别代表是什么？集合A表示由所有曲线x2+mx-y+2=0上的点构成的集合，集合B表示线段x-y+1=0（0≤x≤2）上所有点构成的集合，A∩B≠Φ的含义是什么？表示两条曲线有公共点，即方程x2+mx-y+2=0x-y+1=0（0≤x≤2）有解，只有把这些问题回答正确了，该题也就解决了。

二、符号表征

就是将待解决问题中的有关术语和关系转换成字母或数学符号，实现问题的数学化，从而促进问题的解决。这不仅是一种解决问题的方法，而且是一种解题指导思想。

例2. n个茶杯开口向上，将四个茶杯翻转一次称为一次运动，问能否通过有限次运动，将所有茶杯开口向上？

本题中最关键的信息是“杯开口向上”与“杯口向下”两种状态。为表征问题，我们将“杯口向上”“杯口向下”两种状态分别用+1，-1两种符号来表示，这使得问题数学化，每次运动就是将其中四个数改变符号，亦即用-1分别去乘4个数。从而原问题就转化为：能否通过有限次运动将n个+1全部变成-1。现在来考虑n个数的乘积：由于每次运动相当于将四个数都乘以-1，而（-1）4=1，故不论经过多少次运动，n个数的乘积将保持不变，从而不能把n个+1变为n个-1，也就是不能使n只杯口变为全部开口朝下。

题中用符号来表征问题可以说是问题得以解决的关键。同时用符号来表征问题还可以起到简约思维的作用，因为符号的准确和形式化的特点能更好地满足数学思维的需要。

三、图形表征

绘制适当的图形，是对问题进行表征的有力手段.实际上，绘制图形和表格是解决较复杂问题时常用的一种表征方式，因为图形和表格可以清楚地呈现信息间的关系或规律，从而有利于发现解题的结果或方向。斯蒂恩美说过，如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。

本题借助于数形结合的数学思想，使得问题得以成功解决。数和形是“连理枝，比翼鸟”，华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割离分家万世休。”

四、操作表征

学生通过操作获取感性认识，再通过思考、辩论、反思等，逐步推动感性认识上升为理性认识，最终实现对问题的理解。通过这样的学习可以激发学生的学习兴趣，培养探究能力，增主动学习精神。

例如，椭圆第一定义起始课。课前，教师先让每个学生准备两根图钉，一条细线和一块硬纸板。课堂上要求学生动手操作，固定绳子一端，绷紧绳子，则另一端点的轨迹是什么？如果固定绳子的两端，那么到绳子的两端距离之和等于绳长的点的轨迹又是什么呢？学生在动手操作中形成直观印象，进而获得直接体验。学生在操作的过程中去体会和表征椭圆。在这样的学习过程中，学生对知识的理解是深入的，对学习的态度是积极的。

通常说来，比较复杂的数学题往往需要文字表征、符号表征、图形表征和操作表征结合起来使用，才能得到有效解决。因此，在平时教学过程中，我们应该有意识地加强几种表征方式之间的转换.如集合中有关子集、补集、交集、并集的文字语言、符号语言、图形语言，要求学生能够灵活转换。立体几何的教学中，要求学生首先用自己的语言去表述点、线、面之间的位置关系，再去画出图形，最后给出符号表示。平时数学教学中的一些难点，也要尽可能地从不同方式进行表征，来帮助学生建构起相应的心理意义。

我国中学生多元表征能力普遍不高，这可能是我国长期以来强调题海战术的后遗症所致，学生离开了平时常见的习题形式，遇到新的表征形式便不知如何下手。教师在平时教学中要重视概念、知识发生过程的教学，在解题教学中要引导学生学会抓住问题的关键；对于同一个知识点要注意用不同的形式对问题进行表征，养成利用文字、符号、图形等方式表征问题的习惯；还要让学生认识到问题表征过程常常不是能一步到位的，往往需要经过多次的反复和深化，在表征问题时要学会运用分析与综合、直觉与逻辑相结合的思维方法，不断地进行探索、猜想和验证，直到找到一条适宜的表征途径。

参考文献：

［1］张国栋.数学解题过程与解题教学［M］.北京:北京教育出版社，1996-11.

［2］方金秋.数学学习的规律与方法［M］.北京:北京教育出版社，1996-11.

（作者单位 无锡高等师范学校）