提高学生数学“归纳推理”能力的探索

“类比推理”与“归纳推理”作为“合情推理”的两翼，对培养学生的创新意识具有重要意义.笔者对“归纳推理”的教学做了一些探索，通过教学案例分析，并结合有关教育理论构建“归纳推理”的教学模式.

1. 在新授课教学中的运用

注重知识的形成过程，暴露思维过程是数学教学的基本原则，不少数学结论是用归纳方法得出的，教师要创设情景，正确引导，让学生体验发现的快乐.

例1：探索集合子集的个数.

高一数学，讲到子集个数时，很多教师直接给出结论，理由是没有学排列组合知识.其实，这一内容可引导学生按如下方法观察、归纳、猜想，最终得到结果.

环节1：创设问题情景：从简单情形入手，感受集合子集个数与集合元素个数的关系.

空集的子集个数为 ， 一元集{a}的子集个数为 ，二元集{a，b}的子集个数为 ， 三元集{a，b，c}的子集个数为 .

环节2：观察比较，发现规律，提出猜想.

从上面的结果，能否发现一般规律，猜测：n元集的子集个数为 .

环节3：验证猜想：你发现的结论对特殊情形成立吗？不成立，请再探索？成立的话，尝试证明.

环节4：引导学生观察，发现内在联系.

二元集{a，b}的子集与一元集{a}的子集的关系如何？

三元集{a，b，c}的子集与二元集{a，b}的子集的关系如何？

……

n元集{a，b，c，…}的子集与（n—1）元集{a，b，…}的子集的关系如何？

经过探究，学生不难发现：

二元集{a，b}有4个子集：Φ，{a}，{b}，{a，b}.前两个子集是一元集{a}的子集，而后两个子集是在一元集{a}的两个子集中，分别通过添加b（二元集{a，b}比一元集{a}多出的元素）得到的.

三元集{a，b，c}的8个子集中有4个子集（Φ，{a}，{b}，{a，b}）是二元集{a，b}的4个子集，其余的子集是在二元集{a，b}的4个子集中，分别通过添加c（三元集{a，b，c}比二元集{a，b}多出的元素）得到的.即在Φ，{a}，{b}，{a，b}这4个集合中加入元素c，可以得到三元集{a，b，c}的另外四个子集： {c}，{a，c}，{b，c} ，{a，b，c}.

环节5：证明结论：可否证明n元集的子集个数为2n？

设n元集的子集个数为f{n}，则可得出f{n}与f{n—1}的关系：

从子集个数上看，每增加一个元素，子集的个数就加倍，这样我们就可以得到一个规律，即对有关自然数问题，由1到2，由2到3……由n到n+1的递推规律.利用这条规律，可以发现f（n）=2f（n—1），这样即有：f（2）=2f（1），f（3）=2f（2）=22f（1），f（4）=2f（3）=23f（1），f（5）=2f（4）=24f（1）……以此类推，可知f（n）=2f（n—1）=2n—1f（1）=2n，因此，n元集的子集个数为2n.

经历探究获得的结果，比教师硬塞给学生现成知识更有用，学生不仅收获了结果，还掌握了发现的方法以及证明的方法，既有归纳，又有演绎，是活的知识与活的方法.

2. 在研究性学习中的运用

利用课本或资料中一些典型题目，引导学生课外进行研究性学习，通过归纳发现更深刻的数学问题，从而培养学生的探索能力.

例2：“自然数方幂和公式”的发现.

有这样一道题：用数学归纳法证明：12+22+…+n2=.那么，该结论是如何发现的呢？请进行研究，并将结论推广.

环节1：创设情景，引导发现.

由于我们已经知道了S1（n）=1+2+…+n=，自然可以考虑它与题目之间的内在联系，不妨从最简单的具体数开始.设S2（n）=12+22+…+n2， 将Sn列表如下：

由已知结果探索未知，主要是探究S2（n）与S1（n）的联系.作差？ 规律不明显. 可考虑作商，考虑的值的变化规律：

当n=1时，有=1；当n=2时，有=；当n=3时，有=；当n=4时，有=.猜测=，从而S2（n）=12+22+…+n2=.

环节2：检验猜想.

取一些数进行验证，不难发现当n=5，6，7时结论都正确，再取一些比较大的自然数进一步验证，均可知该结论正确.

环节3：证明猜想.

（1）利用数学归纳法证明（略）.

（2）由于（k+1）3—k3=3k2+3k+1，分别取k=1，2，3，…，n得：

23—13=3×12+3×1+1，33—23=3×22+3×2+1，43—33=3×32+3×3+1，…，（n+1）3—n3=3×n2+3×n+1.

以上等式相加得：（n+1）3—13=3×（12+22+…+n2）+3×（1+2+…+n）+n，

化简得：S2（n）=12+22+…+n2=.

本方法是根据立方和公式，采取裂项求和的思想，具有一定的灵活性.

环节4：回顾反思，扩大成果.

发现规律的方法还有其他方法吗？

S1（n）=1+2+…+n=是关于n的二次函数，可猜想S2（n）=12+22+…+n2是关于n的三次函数.

假如这样，可以设S2（n）=12+22+…+n2=an3+bn2+cn，

取n=1，2，3，4得一个方程组，即可求出a=，b=，c=.

当n=4，5，6时公式成立，因此，对任意的正整数均有S2（n）=

12+22+…+n2=

成立.最后再根据数学归纳法进行证明.

环节5：本题采取的方法是将高次与低次进行类比（降次类比），通过归纳发现一般规律.

思考：除了上述发现的方法外，还有其他证明的方法吗？

至此，可进一步探索：13+23+…+n3=？，14+24+…+n4=？及1k+2k+…+nk=？

这样，学生一步一步向前推进，每次得到新结果又反思回顾，产生新的猜想，学生的研究能力与数学素养在探索中提高，在研究中发展.

教师只有牢固树立归纳推理的意识，把“归纳推理”渗透在日常的教学中，才能有效地培养学生的归纳推理能力，才能实现归纳与演绎能力同步发展.由于归纳推理的结论不一定正确，因此，在教学中要注意以下问题：

其一，要引导学生重视归纳时特例的数量要尽可能多，从多个特例中去概括、发现规律.历史上有很多错误的猜想都是因为特例的数量太少而导致错误，如著名的费尔马猜想就是只通过前四个自然数，提出形如[2][2][n]+1（n为正整数）为素数的结论，后被数学家欧拉用一个特例，[2][2][5]+1=274177×67280421310721便否定了这个猜想.

其二，要按照归纳推理的基本步骤，归纳的结论要验证，并尽量用演绎推理给出证明，通过证明使学生的归纳与演绎能力得到同步发展.