数学教学中对书本例题的使用例谈

我国著名的教育家叶圣陶先生说过：“教材只能作为教课的依据，要教得好，使学生受益，还要靠教师的善于运用。”新课标对教材的使用提出了新的要求：要求“用教材教”而不是“教教材”；不是简单地学教材，而是把教材作为“引子”，作为“材料”；不是把教材奉为神圣不可侵犯的“圣经”，也不能“无教材论”，采取“舍本逐末”的做法，而是根据实际情况对其进行必要的取舍与加工，即要求“用好教材，超越教材”。以下是笔者在教学中对课本例题处理的一个案例。

书本例题：

已知椭圆C：+，直线L：4x-5y+40=0。椭圆C上是否存在一点，使它到直线l的距离最小？最小距离是多少？

此题是人教出版社A版高中数学选修2-1教材第47页例7，本节是直线与椭圆的第一节课，主要内容是如何判断直线与椭圆的位置关系、弦长问题等。但是如果课上按部就班地只讲以上例题显然不能达到教学的目标，还需要再补充别的习题。为此我是这样运用这个例题的。

一、复习中走进例题

我上课时先给出以下问题：

（1）已知直线L：4x-5y+m=0，椭圆C：+=1的焦点F1，F2在x轴上，椭圆Ｃ上存在一点p，使∠F1PF2=60°，S=3.求椭圆C的方程。

解：F1PF2中，设∠F1PF2=?琢，|PF1|=m，|PF2|=n，

在F1PF2中，由余弦定理可知，（2c）2=m2+n2-2mncos?琢=（2a）2-2mn-2mncos?琢，mn=.S=mnsin?琢=××sin?琢==b2tanQ∠F1PF2=60°，?琢=60°，b2×=3，b2=9

椭圆C：+=1.

这个问题的解决得益于椭圆的定义，PF1+PF2=2?琢，再结合余弦定理使问题解决。最后总结出了焦点三角形的面积公式：S=b2tan.可以发现当焦点三角形顶角已知时，其面积只与b有关，而和a无关。当学生正在为得出这样一个结论而开心的时候我又给出了第2个问题。

二、拓展追问中完成教学任务

（2）试讨论直线l：4x-5y+m=0与椭圆C交点的个数。

问题（2）给出后我叫学生自己独立进行思考，我在下面看学生是如何解题的。我发现有部分学生是受判断直线与圆交点个数的影响，想用圆心到直线的距离与半径进行比较大小的方法来做。但是在求出了原点到直线l：4x-5y+m=0的距离后不知道与哪个量进行比大小了。之后我进行讲解，讲解了椭圆与圆的不同之处，本题要判断直线l与椭圆C交点的个数，需要借助方程组解的情况。

解：4x-5y+m=0+=1联立得：25x2+8mx+m2-225=0.

=22500-36m2.

当m=±25时，=0，此时直线l与椭圆C相切；

当-25

当m25时，

通过第（2）题发现许多学生的解题计算能力不强，出现了许多错误，同时提醒同学不要使用计算器。问题解决以后我问，如m=20时直线l与椭圆C的位置关系是什么？学生回答是相交的。好的，我总结道，此时是相交于两点，那么就有如下问题。

（3）当m=20时，求直线l被椭圆C所截弦长。

学生进行独立思考之后我发现仍有部分同学试图用垂径定理来做，在受阻后改用求交点坐标或者利用弦长公式来求。

解：4x-5y+m=0+=1联立得：25x2+160x+175=0，=8100.

所求弦长为|x2-x1|=×=.

我对这种设而不求的解题方法进行了总结后，又给出了下面的问题：

（4）直线l被椭圆C所截弦长为，求直线l的方程。

解：4x-5y+m=0+=1联立得：25x2+8mx+m2-225=0.

=22500-36m2.

所求弦长为|x2-x1|=×=.

解得m=±20.

问题解决后我试问学生为什么会有两个解？从几何图像上进一步给出解释。如果解出的m不是±20，而是m=-20和m=40，那么该怎么办？让学生学会检验，知道m=40时，此时直线l与椭圆C相离了，所以m=40要舍去。接着我继续给出了第5题。

三、回归课本、超越课本

（5）当m=40时，求椭圆C上的点到直线l距离的最值。

解：4x-5y+m=0+=1联立得：25x2+8mx+m2-225=0.

=22500-36m2 . 当m=±25时，=0.此时直线l与椭圆C相切；

椭圆的两条切线方程为4x-5y+25=0和4x-5y-25=0.

因此椭圆C上的点到直线l距离的最小值为

dmin==，

椭圆C上的点到直线l距离的最大值为

dmax==.

第（5）小题不仅仅解决了书本例题中求椭圆C上的点到直线l距离的最小值，还进一步求出了距离的最大值。体现了回归课本而超越课本的思想。

现把这5题问题汇总一下，就是如下一个题目：

已知直线L：4x-5y+m=0，椭圆C：+=1的焦点F1，F2在x轴上，椭圆C上存在一点P，使∠F1PF2=60°，S=3.

（1）求椭圆C的方程；

（2）试讨论直线l与椭圆C交点的个数；

（3）当m=20时，求直线l被椭圆C所截弦长；

（4）直线l被椭圆C所截弦长为，求直线l的方程；

（5）当m=40时，求椭圆C上的点到直线距离的最值。

把例题进行以上改编，就是借助教材中例题已经提供的素材与背景，采用拓展追问的方式，引发学生深层次的思维活动，实现“纵向到底”的功效。这种方法的好处是能够培养学生的数学探究能力，发展学生的思维深刻性，运用这种方法的关键是师生都要有强烈的问题意识，勇敢地猜想，大胆地提问，小心地求证。进行改编时，要保证所编题目的可操作性，比如以上题目第（3）小题要保证计算数字不要太繁琐，第（1）小题中，如果是令∠F1PF2=120°，S=9，若运用焦点三角形面积公式，仍然可以得到b2=9，但是这样p点其实是不存在的，因为椭圆+=1的焦点三角形的最大面积才是12，而12

“用教材教，而不是教教材”真正的意图是要求教师能够更加灵活地、更富有创造性地使用教材，这就要求教师首先要认真钻研教材，理解教材编写者的意图，吃透教材的精神与实质，把握好教学的重难点，做到“以生为本”“用教材教”。其次要能够读出教材文本的“弦外之音”，读懂教材编写者的“未尽之言”。如果把教材文本呈现的内容看作是“露出海面的冰山一角”，那么“不是教教材”就要求教师能够把“海面以下的巨大冰山托出海面”，让学生领略到“整座冰山”。